13
4. Podstawowe prawa gazowe
Powietrze w zamkniętym zbiorniku wytwarza nacisk na jego ściany; wielkość tego nacisku
wyrażamy przez podanie wartości ciśnienia (absolutnego). Stan fizyczny powietrza w
zamkniętym zbiorniku jednoznaczne określają trzy parametry:
· temperatura
T
,
· ciśnienie
p
,
· objętość
V
.
Zależność masy m gazu zawartego w zamkniętym zbiorniku od temperatury, ciśnienia i
objętości wyraża w przybliżeniu równanie stanu gazu (prawo Clapeyrona)
T
R
m
V
p
gdzie: R - stała gazowa (dla powietrza R = 287 Nm/kgK).
Abstrakcyjny czynnik, którego własności są zgodne z prawem Clapeyrona nazywa się gazem
idealnym. W obliczeniach inżynierskich traktuje się powietrze jako gaz idealny.
Z prawa Clapeyrona wynika szereg zależności opisujące tzw. przemiany gazowe.
Jeżeli objętość zbiornika, w którym zamknięta jest pewna ilość powietrza zostanie
zmniejszona od
1
V do
2
V z zachowaniem niezmiennej temperatury, to ciśnienie wzrośnie od
początkowej wartości
1
p do
2
p . Taka zmiana stanu zawartej w zbiorniku ilości powietrza
nazywa się przemianą izotermiczną. Zależność pomiędzy parametrami stanu początkowego i
końcowego przemiany izotermicznej wyraża prawo Boyle’a i Mariotte’a
2
2
1
1
V
p
V
p
jeżeli
.
const
T
lub
.
const
V
p
Ogrzewanie powietrza, w wyniku czego wzrośnie jego temperatura od wartości
1
T do
2
T ,
przy zachowaniu stałej wartości ciśnienia w zbiorniku, powoduje wzrost jego objętości
powietrza, proporcjonalny do wzrostu temperatury. Taka zmiana stanu powietrza nazywa się
przemianą izobaryczną. Zależność pomiędzy parametrami stanu początkowego i końcowego
przemiany izobarycznej wyraża prawo Gay–Lussaca
2
2
1
1
T
V
T
V
lub
2
1
2
1
T
T
V
V
jeżeli
.
const
p
lub
.
const
T
V
Wzrost temperatury powietrza od wartości
1
T do
2
T , przy niezmiennej objętości, powoduje
wzrost ciśnienia w zbiorniku, proporcjonalny do wzrostu temperatury. Taka zmiana stanu
powietrza nazywa się przemianą izochoryczną. Zależność pomiędzy parametrami stanu
początkowego i końcowego przemiany izochorycznej wyraża prawo Charlesa
2
2
1
1
T
p
T
p
lub
2
1
2
1
T
T
p
p
jeżeli
.
const
V
lub
.
const
T
p
14
Wymienione trzy prawa, opisujące zmiany stanu gazu w zamkniętym zbiorniku, można
wyrazić w postaci jednego równanie, zwanego ogólnym równaniem stanu gazu.
2
2
2
1
1
1
T
V
p
T
V
p
lub
.
const
T
V
p
Prawo Boyle’a i Mariotte’a wyraża związek pomiędzy parametrami stanu początkowego
(objętością
1
V i ciśnieniem
1
p ) pewnej masy powietrza o temperaturze T i parametrami
stanu końcowego (objętością
2
V i ciśnieniem
2
p ), jeżeli temperatura powietrza w stanie
końcowym jest taka sama jak w stanie początkowym. Wiadomo jednak, że podczas sprężania
pewnej masy powietrza o temperaturze otoczenia jego temperatura wzrasta, po czym, w
wyniku oddawania przez ogrzane powietrze ciepła do otoczenia, ponownie osiąga
temperaturę otoczenia. W stanie przejściowym prawo Boyle’a i Mariotte’a nie jest spełnione.
Zależność pomiędzy objętością
1
V i ciśnieniem
1
p oraz objętością
2
V i ciśnieniem
2
p , kiedy
1
2
T
T
, wyraża równanie
n
n
V
p
V
p
2
2
1
1
Wartość wykładnika n zależy od ilości ciepła doprowadzonego (lub odprowadzonego) do
powietrza poddawanego przemianie. Przemiana taka nazywa się przemianą politropową; n -
wykładnikiem przemiany politropowej. Szczególnym przypadkiem przemiany politropowej
jest przemiana dokonująca się przy braku przepływu ciepła pomiędzy powietrzem
poddawanym przemianie i otoczeniem. Przemiana taka nazywa się przemianą adiabatyczną.
Wykładnik przemiany adiabatycznej przyjęto oznaczać symbolem
, przy czym
4
,
1
.
W przypadku przemiany adiabatycznej obowiązuje równanie
2
2
1
1
V
p
V
p
Procesy szybkiego sprężania lub rozprężania mogą być traktowane jako przemiany
adiabatyczne.
Z równania przemiany adiabatycznej wynikają zależności:
2
1
1
2
V
V
p
p
lub
1
2
1
1
2
p
p
V
V
Wstawiając jedną z nich do ogólnego równania stanu gazu otrzymuje się dla przemiany
adiabatycznej:
1
2
1
1
2
V
V
T
T
lub
1
1
2
1
2
p
p
T
T
Pojemność cieplna (danego ciała) – ilość ciepła niezbędna do ogrzania danego ciała o 1 K.
Ciepło właściwe (kilogramowe) – ilość ciepła niezbędna do ogrzania 1 kg substancji o 1 K.
W przypadku gazów rozróżnia się:
- ciepło właściwe przy stałej objętości
C ,
- ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu
p
C
.
Ponieważ przy ogrzewaniu przy stałym ciśnieniu część energii cieplnej jest zużywana na
pracę rozszerzania gazu równą
)
(
1
2
V
V
p
, to
C
C
p
.
15
Przy ogrzewaniu gazu bez zmiany jego objętości należy dostarczyć ciepło
)
(
1
2
1
T
T
C
m
Q
Przy ogrzewaniu gazu pod stałym ciśnieniem (ze zmianą jego objętości) należy dostarczyć
ciepło
)
(
1
2
2
T
T
C
m
Q
p
Zatem równanie energii ma postać
)
(
)
(
)
(
1
2
1
2
1
2
V
V
p
T
T
C
m
T
T
C
m
p
Z prawa Clapeyrona otrzymuje się:
p
T
R
m
V
1
1
oraz
p
T
R
m
V
2
2
Zatem
)
(
)
(
1
2
1
2
T
T
R
m
V
V
p
Po uwzględnieniu tego wyrażenia, z równania energii otrzymuje się:
R
C
C
p
lub
R
C
C
p
.
Dla powietrza:
R
C
p
2
7
R
C
2
5
Energia wewnętrzna
U
- iloczyn masy gazu, jego temperatury i ciepła właściwego przy
stałej objętości (ilość ciepła potrzebna do ogrzania danej ilości gazu bez zmiany jego
objętości od zera bezwzględnego do jego temperatury)
C
T
m
U
u
m
U
, gdzie
T
C
u
u - energia wewnętrzna właściwa – energia wewnętrzna 1 kg substancji.
Energia wewnętrzna danego ciała jest funkcją tylko jego temperatury.
Entalpia I - iloczyn masy gazu, jego temperatury i ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu
(ilość ciepła potrzebna do ogrzania danej ilości gazu przy stałym ciśnieniu od zera
bezwzględnego do jego temperatury)
p
C
T
m
I
i
m
I
, gdzie
T
C
i
p
i - entalpia właściwa – entalpia 1 kg substancji.
)
(
1
2
V
V
p
U
I
I zasada termodynamiki
Ciepło doprowadzone do układu może być zużyte na zwiększenie energii wewnętrznej lub
wykonanie pracy bezwzględnej.
16
W przypadku przemiany izotermicznej
.
const
T
więc
0
U
, zatem dostarczone ciepło
przekształca się na pracę bezwzględną lub włożona praca przekształca się w ciepło
odprowadzane na zewnątrz.
W przypadku przemiany adiabatycznej
0
Q
, zatem włożona praca zużywana jest tylko na
przyrost energii wewnętrznej lub praca bezwzględna jaką wykonuje rozprężający się gaz
dokonuje się kosztem zmniejszenia jego energii wewnętrznej.
Na podstawie I zasady termodynamiki można wyznaczyć wartości ciepła właściwego
C i
p
C
.
Obliczmy jaką pracę wykonuje powietrze zawarte w cylindrze o powierzchni przekroju A
zamkniętym tłokiem, rozprężające się adiabatycznie od ciśnienia początkowego
1
p do
ciśnienia końcowego
2
p .
Siła oddziaływania powietrza na tłok wykonuje pracę na drodze od położenia początkowego
1
x do położenia końcowego
2
x . Praca
L
jaką wykona powietrze jest
2
1
2
1
V
V
x
x
dV
p
dx
A
p
L
Uwzględniając, że
V
V
p
V
V
p
p
1
1
1
1
,
otrzymuje się
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
V
V
V
p
dV
V
V
p
dV
p
L
V
V
V
V
Uwzględniając, że
1
2
1
1
2
p
p
V
V
otrzymuje się
1
1
2
1
1
1
5
,
2
p
p
V
p
L
W wyniku wykonania przez powietrze pracy zmniejsza się jego energia wewnętrzna o
)
(
2
1
T
T
C
m
U
Uwzględniając, że
1
1
1
T
R
V
p
m
oraz
1
2
1
1
2
p
p
T
T
, otrzymuje się
1
1
2
1
1
1
p
p
R
V
p
C
U
Z równania
U
L
otrzymuje się
R
C
5
,
2
.
R
R
C
C
p
5
,
3