Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
1
ML_Stateczność
Stateczno
Stateczno
ść
ść
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
1
ML_Stateczność
Stateczno
Stateczno
ść
ść
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
2
ML_Literatura
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
3
ML_Oznaczenia
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
4
ML_Rys. 1.
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
5
ML_...
II-go
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
6
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
7
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
8
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
9
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
10
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
11
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
12
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
13
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
14
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
15
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
16
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
17
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
18
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
19
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
20
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
21
ML_Równania Eulera
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
22
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
23
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
24
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
25
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
26
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
27
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
28
ML_Kąty Eulera
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
29
ML_...
kąt odchylenia
kat pochylenia
kąt przechylenia
Ψ
Θ
Φ
⇒
⇒
⇒
Ψ
Θ
Φ
⇒ ⇒
!!!
!!!
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
30
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
31
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
32
ML_...
g
1
g
1
g
1
x
cos
sin
0
y
sin
c
x
os
0
z
0
0
y
1
z
ψ
ψ
ψ
ψ
Ψ
⎡ ⎤ ⎡
⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎥
= −
⎢ ⎥
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⇒
⎢
⎥
⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎣ ⎦ ⎣
⎢⎣ ⎦
⎦
⎥
⎥
1
1
2
2
1
2
x
cos
0
sin
y
0
1
0
z
si
x
y
z
n
0
cos
θ
θ
θ
θ
θ
−
⎡ ⎤ ⎡
⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⇒
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎣ ⎦ ⎣
=
⎢
⎢⎣ ⎦
⎦
⎥
⎥
2
2
3
3
2
3
x
1
0
0
y
0
cos
sin
z
0
s
x
z
in
cos
y
Φ
φ
φ
φ
φ
⎡ ⎤ ⎡
⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⇒
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣
⎥
−
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦
⎣ ⎦
⎦
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
33
ML_do układu ruchomego
3
3
3
cos cos
cos sin
sin
x
x
sin sin cos
sin sin sin
y
sin cos
y
cos sin
cos cos
z
z
cos sin cos
cos sin sin
cos cos
sin sin
sin cos
θ
ψ
θ
ψ
θ
φ
θ
ψ
φ
θ
ψ
φ
θ
φ
ψ
φ
ψ
φ
θ
ψ
φ
θ
ψ
φ
θ
φ
ψ
φ
ψ
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥
+
+
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
+
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎢
⎥
+
+
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
34
ML_...
ψ
−
θ
−
φ
−
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
35
ML_do układu nieruchomego
⎡
⎤
−
+
+
⎢
⎥
+
+
⎢
⎥
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥
+
−
+
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
+
+
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
ψ
θ
ψ
φ
θ
ψ
ψ
ϕ
θ
φ
ψ
φ
ψ
ψ
φ
θ
ψ
φ
ψ
θ
ψ
θ
ϕ
θ
θ
φ
φ
θ
3
3
3
sin
cos
sin
sin
cos cos
cos
sin
sin cos cos
x
x
cos cos
cos
sin
y
cos sin
y
sin sin
sin
sin
sin cos
z
z
sin
cos sin
cos cos
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
36
ML_związki kinematyczne
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
37
ML_...
⎡ ⎤
−
⎡ ⎤ ⎡
⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
p
1
sin
0
q
0
cos
cos sin
r
0
sin
cos cos
φ
θ
ϕ
θ ϕ θ
ϕ
θ ϕ ψ
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
38
ML_...
−
⎡ ⎤
−
⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
−
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣
⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
1
1
0
sin
p
0
cos
cos sin
q
0
sin
cos cos
r
φ
θ
θ
ϕ
θ ϕ
ψ
ϕ
θ ϕ
−
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
=
−
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣
⎦ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
1
1 sin sec
cos sec
p
0
cos
sin
q
1 sin tan
cos tan
r
φ
ϕ θ
ϕ θ
θ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ θ
ϕ θ
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
39
ML_...
⎡
⎤
−
+
+
⎢
⎥
+
+
⎢
⎥
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥
+
−
+
⎢ ⎥
⎢ ⎥
= ⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
+
+
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
ψ
θ
ψ
φ
θ
ψ
ψ
ϕ
θ
φ
ψ
φ
ψ
ψ
φ
θ
ψ
φ
ψ
θ
ψ
θ
ϕ
θ
θ
φ
φ
θ
sin
cos
sin
sin
cos cos
cos
sin
sin cos cos
x
u
cos cos
cos
sin
y
cos sin
v
sin sin
sin
sin
sin cos
z
w
sin
cos sin
cos cos
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
40
ML_prędkości aerodynamiczne
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
41
ML_Siły ciężkości
⎡
⎤
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
g
x
g
y
g
z
F
sin
F
mg cos sin
F
cos cos
θ
θ
ϕ
θ
ϕ
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
42
ML_Siły aerodynamiczne
sin
cos
cos
cos
sin
sin
z
x
s
Ps
z
x
s
Ps
X
P
P
P
Z
P
P
P
α
α
α
α
α
α
=
−
+
= −
+
−
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
43
ML_Równania kompletne
g
Ps
x
x
F
F
X
m U QW
RV
⎛
⎞
+
+
=
+
−
⎜
⎟
⎝
⎠
D
g
Ps
y
y
F
F
Y
m V
RU
PW
⎛
⎞
+
+ =
+
−
⎜
⎟
⎝
⎠
D
g
Ps
z
z
F
F
Z
m W
PV
QU
⎛
⎞
+
+ =
+
−
⎜
⎟
⎝
⎠
D
⎡ ⎤
−
⎡ ⎤ ⎡
⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
−
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
p
1
sin
0
q
0
cos
cos sin
r
0
sin
cos cos
φ
θ
ϕ
θ ϕ θ
ϕ
θ ϕ ψ
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
44
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
45
ML_Linearyzacja równań
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
46
ML_Linearyzacja prędkości translacyjnych
{ } { } { }
0
0
0
0
w
w
w
U
u
V
V
v
V
v
W
w
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=
+
=
+
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
{ }
{ }
0
0
w
w
w
u
d
d
d
V
V
v
v
dt
dt
dt
w
≡
⎧ ⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎧
⎫
=
+
=
⎨
⎬
⎨ ⎬
⎩
⎭
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
D
D
D
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
47
ML_Linearyzacja prędkości kątowych
{ } { } { }
0
0
0
0
P
p
Q
q
R
r
ω
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
Ω = Ω +
=
+
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
{ } { } { }
0
0
0
0
E
E
e
Φ
ϕ
Θ
ϑ
Ψ
ψ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=
+
=
+
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
48
ML_Linearyzacja sił i momentów
{ } { } { }
0
0
0
0
X
X
F
F
F
Y
Y
Z
Z
Δ
⎧
⎫ ⎧
⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
=
+ Δ
=
+ Δ
⎨
⎬ ⎨
⎬
⎪
⎪ ⎪
⎪
Δ
⎩
⎭ ⎩
⎭
{ } { } { }
0
0
0
0
L
L
G
G
G
M
M
N
N
Δ
⎧
⎫ ⎧
⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
=
+ Δ
=
+ Δ
⎨
⎬ ⎨
⎬
⎪
⎪ ⎪
⎪
Δ
⎩
⎭ ⎩
⎭
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
49
ML_Linearyzacja sinusów i kosinusów
(
)
(
)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
cos
cos
sin
sin
cos
sin
Θ ϑ
Θ
ϑ
Θ
ϑ
Θ ϑ
Θ
Θ ϑ
Θ
ϑ
Θ
ϑ
Θ ϑ
Θ
+
=
+
≈
+
+
=
−
≈
−
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
50
ML_Równania po linearyzacji - siły
(
)
(
)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
X
X
mg sin
cos
m u W q
Y
Y
mg
cos
m v U r
Z
Z
mg cos
sin
m w V q
Δ
Θ ϑ
Θ
Δ
ϕ
Θ
Δ
Θ ϑ
Θ
⎛
⎞
+
−
+
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
+
+
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
+
+
+
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
D
D
D
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
51
ML_Równania po linearyzacji - momenty
0
0
0
x
xz
y
xz
z
L
L
J
J r
M
M
J q
N
N
J
p J r
Δ
Δ
Δ
+
=
−
+
=
+
= −
+
D
D
D
D
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
52
ML_Równania po linearyzacji – zw. kinematyczne
0
0
1
q
p
r tg
r
sin
ϑ
ϕ
Θ
ψ
Θ
=
= + ⋅
=
D
D
D
0
0
q
p
sin
r
sin
ϑ
ϕ ψ
Θ
ψ
Θ
=
= −
=
D
D
D
D
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
53
ML_Równania w locie ustalonym
0
0
0
0
0
0
0
0
X
mg sin
Y
Z
mg cos
Θ
Θ
−
=
=
+
=
0
0
0
0
0
0
L
M
N
=
=
=
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
54
ML_Równania przyrostów - siły
(
)
(
)
0
0
0
0
0
X
mg
cos
m u
Y
mg
cos
m v U r
Z
mg
sin
m w V q
Δ
ϑ
Θ
Δ
ϕ
Θ
Δ
ϑ
Θ
−
=
⎛
⎞
−
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
−
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
D
D
D
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
55
ML_ Równania przyrostów - Momenty
x
xz
y
xz
z
L
J
J r
M
J q
N
J
p J r
Δ
Δ
Δ
=
−
=
= −
+
D
D
D
D
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
56
ML_ Równania przyrostów – Zw. kinematyczne
0
0
1
q
p
r tg
r
sin
ϑ
ϕ
Θ
ψ
Θ
=
= + ⋅
=
D
D
D
0
0
q
p
sin
r
sin
ϑ
ϕ ψ
Θ
ψ
Θ
=
= −
=
D
D
D
D
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
57
ML_Pochodne sił i momentów
X
X
X
X 0
X
X 0
dU
dW
.....
U
W
∂
∂
=
+ Δ =
+
+
+
∂
∂
dU
u, dW
w
≈
≈
Pochodne aerodynamiczne
Małe zaburzenia
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
58
ML_Równania ruchu samolotu
0
u
w
q
0
0
0
v
p
r
0
0
u
w
q
0
m u W q
X u
X w
X q
mg cos
m v U r W p
Y v
X p
Y r
mg cos
m w U q
Z u
Z w
Z q
mg sin
ϑ
Θ
ϕ
Θ
ϑ
Θ
⎛
⎞
+
=
+
+
−
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
+
−
=
+
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
−
=
+
+
−
⎜
⎟
⎝
⎠
D
D
D
x
xz
v
p
r
y
u
q
w
z
xz
v
p
r
J p J r
L v
L p
L r
J q
M u
M w M q
J r J
p
N v
N p
N r
−
=
+
+
=
+
+
−
=
+
+
D
D
D
D
D
D
D
0
0
p
r tan
q
r
sin
ϕ
Θ
ϑ
ψ
Θ
= +
=
=
D
D
D
u
w
0
0
v
0
p
0
r
o
v
x
p
xz
r
v
xz
q
u
w
0
0
q
u
p
x
r
0
w
y
q
d
m
Y
mW
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Y
mU
Y
mg cos
dt
d
d
L
J
L
J
L
0
dt
d
m
X
X
mg cos
mW
X
dt
d
Z
m
Z
mg sin
mU
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
s
dt
d
d
N
J
Z
i
0
0
N
J
N
0
dt
dt
d
0
1
tan
dt
d
M
M
0
J
M
dt
d
0
0
0
1
d
t
t
d
Θ
Θ
Θ
Θ
−
−
+
−
−
−
−
−
−
+
−
−
−
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
0
d
0
n
dt
r
u
0
w
q
v
p
ψ
ϕ
ϑ
Θ
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎧ ⎫
⎢
⎥
⎪ ⎪
⎢
⎥
⎪ ⎪
⎢
⎥
⎪ ⎪
⎢
⎥
⎪ ⎪
⎢
⎥
⎪ ⎪
⎢
⎥ ⎪ ⎪
⎢
⎥
=
⎨ ⎬
⎢
⎥ ⎪ ⎪
⎢
⎥ ⎪ ⎪
⎢
⎥ ⎪ ⎪
⎢
⎥ ⎪ ⎪
⎢
⎥ ⎪ ⎪
⎢
⎥ ⎪ ⎪
⎩ ⎭
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
59
ML_Równania ruchu – rozprzężenie ruchów
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
60
ML_Ubezwymiarowienie równań ruchu.
Czas aerodynamiczny
m
ˆt
VS
ρ
=
Gęstość względna samolotu
ch
m
Sl
μ
ρ
=
- w ruchu sumetrycznym
- w ruchu niesymetrycznym
H
ch
l
l
b
2
⎧
⎪
= ⎨
⎪⎩
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
61
ML_Bezwymiarowe pochodne
Bezwymiarowe pochodne od prędkości translacyjnych
u
u
e
X
x
SV
ρ
=
Bezwymiarowe pochodne od prędkości kątowych
q
q
e H
X
x
SV l
ρ
=
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
62
ML_Bezwymiarowe pochodne
Bezwymiarowe pochodne momentów
u
u
H
M
m
SVl
ρ
=
Bezwymiarowe pochodne od przyspieszeń
w
w
2
H
M
m
Sl
ρ
=
D
D
q
q
2
H
M
m
SVl
ρ
=
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
63
ML_Bezwymiarowe prędkości, czas i momenty
bezwładności
Bezwymiarowe prędkości translacyjne
e
u
u
V
=
Bezwymiarowe prędkości kątowe
ˆ
p
t p
=
Bezwymiarowy czas
t
t
ˆt
=
Bezwymiarowe momenty bezwładności
x
x
J
j
b
m
2
=
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
64
ML_...
Bezwymiarową postać równań dostaniemy dzieląc przez:
2
e
V S
ρ
równania sił przez:
2
e
ch
V Sl
ρ
równania momentów przez:
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
65
ML_R.r. symetrycznego
q
0
u
w
1
q
0
w
w
0
1
y
q
u
w
w
1
1
x
d
W
x
x
x
dt
V
u
z
d
U
z
z
x tan
w
dt
V
0
q
j
m
d
d
m
m
m
0
dt
dt
d
0
0
1
dt
ϑ
ϑ
μ
Θ
μ
ϑ
μ
μ
⎡
⎤
−
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎧ ⎫
−
−
−
−
⎢
⎥ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎢
⎥
=
⎨ ⎬
⎢
⎥ ⎪ ⎪
−
−
−
−
⎢
⎥ ⎪ ⎪
⎩ ⎭
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
D
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
66
ML_R.r. niesymetrycznego
p
0
0
r
v
2
2
p
x
xz
r
v
2
2
2
2
p
xz
z
r
u
2
2
2
2
0
y
d
W
U
y
y
x
dt
V
V
v
l
j
d
j
d
l
l
0
p
dt
dt
0
r
n
j
d
j
d
n
m
0
dt
dt
d
0
1
tan
dt
ϕ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
ϕ
μ
μ
μ
μ
Θ
⎡
⎤
−
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎧ ⎫
−
−
−
−
⎢
⎥ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎢
⎥
=
⎨ ⎬
⎢
⎥ ⎪ ⎪
−
−
−
−
⎢
⎥ ⎪ ⎪
⎩ ⎭
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
67
ML_...
0
z
2
mg cos
1
x
y
C
SV
2
ϑ
ϕ
Θ
ρ
=
=
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
68
ML_ Rozwiązanie
(
)
i
t
t
0
0
A
A e
A e
η ω
λ
+
=
=
- tlumienie
- częstoć wlasna
η
ω
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
69
ML_...
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
tan
0
0
0
0
1
q
u
w
q
w
w
t
y
q
u
w
w
x
W
x
x
x
V
u
z
U
z
z
x
w
V
e
q
j
m
m
m
m
ϑ
ϑ
λ
λ
μ
λ
μ
λ
λ
ϑ
μ
μ
λ
⎡
⎤
−
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎧ ⎫
⎢
⎥ ⎪ ⎪
−
−
−
−
Θ
⎢
⎥ ⎪ ⎪
=
⎢
⎥ ⎨ ⎬
⎢
⎥ ⎪ ⎪
⎢
⎥ ⎪ ⎪
−
−
−
−
⎩ ⎭
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
D
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
70
ML_...
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
q
u
w
q
w
w
y
q
u
w
w
x
W
x
x
x
V
z
U
z
z
x tan
V
det
j
m
m
m
m
ϑ
ϑ
λ
μ
λ
Θ
μ
λ
λ
μ
μ
λ
⎡
⎤
−
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
−
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
D
4
3
2
4
3
2
1
0
A
A
A
A
A
0
λ
λ
λ
λ
+
+
+
+
=
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
71
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
72
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
73
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
74
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
75
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
76
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
77
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
78
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
79
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
80
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
81
ML_...
Zbigniew Klepacki
Politechnika Rzeszowska
KSiSL
82
ML_...