Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”
WETI, kierunek AiR, 1 sem., r. ak. 2009/2010
1. [4p.] Obliczyć objętość bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi OX obszaru ograniczonego
krzywą o równaniu
h(x) =
0,
x < −2
2 − |x|, −2 ¬ x ¬ 1
2
1−x
,
x > 1
oraz prostą y = 0. Wykonać rysunek otrzymanej bryły.
2. [4p.] a) Dla jakich wartości parametru a układ równań
a
2
x + 3y + 2z = 0
ax − y + 4z = 0
a(a − 1)x + 3y − 6z = 0
y + 4z = 0
posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Wyznaczyć te rozwiązania.
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy trójkątnej dolnej i macierzy skalarnej stopnia
n 4 oraz obliczyć wartości wyznaczników tych macierzy.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) Znaleźć punkt symetryczny do punktu A(1, −2, 0) względem prostej o równaniu
x − 1
2
=
y − 2
4
=
z − 3
5
[2p.] b) Podać (wraz z uzasadnieniem) po jednym przykładzie wektorów równoległych i prostopad-
łych w R
3
.
4. [4p.] Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę
I
C
ze
πz
(z
4
− 81)
2
dz
gdzie C jest krzywą opisaną równaniem |z + 3| = 2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Sprawdzić, czy funkcja f (x, y) = x
2
+ xy + y
2
+ 1
x +
1
y , x 6= 0 i y 6= 0, ma w punktach
P
1
(
3
√
3,
3
√
3), P
2
(
1
3
√
3
,
1
3
√
3
) ekstrema lokalne. Jeśli tak, to określić ich rodzaj.
[2p.] b) Wyznaczyć gradient dowolnie wybranej funkcji trzech zmiennych, nie będącej funkcją
stałą.
6. [4p.] Obliczyć
Z
D
Z
q
1 − x
2
− y
2
dxdy, gdzie obszar D opisany jest nierównościami: x
2
+y
2
−x ¬ 0
i y 0 . Wykonać odpowiedni rysunek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Narysować na płaszczyżnie zespolonej zbiór punktów spełniających
warunek
|1 − iz| ¬ Re
√
3
2
−
1
2
i
!
12