- 1 -

2. PODSTAWY TEORII OBWODÓW 

ELEKTRYCZNYCH

2.1. PODSTAWOWE WIELKOŚCI ELEKTRYCZNE

NAPIĘCIE ELEKTRYCZNE

Różnicę  potencjałów  dwóch  punktów  A  i  B  pola  elektrycznego 

nazywamy 

napięciem elektrycznym  u  

między tymi punktami,

B

A

AB

V

V

u





(2.1)

Ponieważ napięcie elektryczne





BA

A

B

B

A

AB

u

V

V

V

V

u















(2.2)

jest  wielkością  skalarną  opatrzoną  znakiem,  nazywamy  je  skalarem 
zwrotnym. Jednostką napięcia elektrycznego jest wolt (V).

UWAGA:

Przyjmuje  się,  że  strzałka  na-pięcia 
związana 

z 

dwoma 

punktami 

środowiska,  posiada  grot  skierowany 
do  punktu  o  wyższym  potencjale.  Jeśli 
punkt, do którego skierowany jest grot 
strzałki  napięcia  posiada  potencjał 
niższy  to  oznacza,  że  wartość  tego 
napięcia jest ujemna.

A

B

u

AB

V

A

V

B

V

A

> V

B

Strzałkowanie napięcia

- 2 -

PRĄD ELEKTRYCZNY

Pod pojęciem prąd elektryczny, rozumiemy:

 zjawisko  uporządkowanego  ruchu  ładunków  elektrycznych 

przez badany przekrój poprzeczny środowiska występujące pod 
wpływem działającego pola elektrycznego;

 wielkość  skalarną  stanowiącą  skrót  terminu  natężenie  prądu 

elektrycznego.

Natężeniem  prądu  elektrycznego    i

    nazywamy  granicę  stosunku 

ładunku  elektrycznego 



q  przenoszonego  przez  cząstki  naładowane 

w ciągu pewnego czasu 



t poprzez dany przekrój poprzeczny środowiska, 

do rozpatrywanego czasu, gdy czas ten dąży do zera, tzn.

t

d

q

d

t

q

i

t









0

lim

(2.3)

Jednostką prądu elektrycznego jest amper (A), [i] = 1A = 1C/1s.

UWAGA:

Prąd  elektryczny  jest  skalarem 
zwrotnym  –  oznacza  się  go  za 
pomocą 

strzałki 

o 

grocie 

skierowanym  do  obszaru  o 
niższym 

potencjale 

(strzałka 

prądu wskazuje umowny kierunek 
przepływu ładunku dodatniego), a 
więc 

prąd 

strzałkuje 

się 

odwrotnie niż napięcie. 

u

i

środowisko w którym

występuje prąd

Strzałkowanie prądu

- 3 -

MOC I ENERGIA ELEKTRYCZNA

Z każdym elementem przewodzącym, oprócz prądu i oraz napięcia u, 

związana jest także moc p określona wzorem

i

u

p



(2.4)

Ponieważ    u  =  u(t),  i  =  i(t),  zatem  także  p  =  p(t),  co  podkreśla  się 

często mówiąc 

moc chwilowa

. Jednostką mocy jest wat (W).

Przy standardowym strzałkowaniu prądu oraz napięcia moc określona 

zależnością (2.4) jest mocą pobieraną przez element z otoczenia.

Jeśli w chwili t

0

0

)

(

0



t

p

0

)

(

0



t

p

oznacza to, że moc jest faktycznie

pobierana

przez element z otoczenia

oddawana

przez element do otoczenia

Energia  pobrana

  przez  element  w  przedziale  czasu  od  t

1

  do  t

2

  jest 

całką z mocy pobieranej. Oznaczając ją symbolem W(t

1

, t

2

) piszemy:





 

dt

t

p

t

t

W

t

t





2

1

2

1

,

(2.5)

Jeśli

W(t

1

, t

2

) > 0

W(t

1

, t

2

) < 0

oznacza to, że w przedziale czasu < t

1

, t

2

> element faktycznie

pobrał

energię z otoczenia

oddał

energię do otoczenia

- 4 -

2.2. PARAMETRY PIERWOTNE I ELEMENTY IDEALNE

Parametry pierwotne opisują podstawowe zjawiska fizyczne

występujące w układzie elektrycznym

Parametry pierwotne (cechy fizyczne) są mierzalne.

Elementy idealne to takie elementy, w których zachodzi tylko jedno 

zjawisko fizyczne. Każdy element idealny charakteryzowany jest 

tylko jednym parametrem pierwotnym

REZYSTANCJA  R

Jest  to  wielkość  fizyczna  charakteryzująca  zdolność  układu  do 

(jednokierunkowej)  zamiany  energii  elektrycznej  na  energię  cieplną 
(DYSYPACJA - ROZPRASZANIE).

Rezystancję można definiować w oparciu o moc rozpraszaną p

R

(t):

 

 

t

i

t

p

R

R

df

2



(2.6)

Jednostką rezystancji jest om (

).

Często posługujemy się innym parametrem zwanym konduktancją G, 

związaną z rezystancją relacją

R G = 1

(2.7)

jednostką konduktancji jest simens (S), [G] = 1S = 1



-1

.

IDEALNY 

REZYSTOR

 

jest 

elementem  o  dwóch  zaciskach,  w  którym 
zachodzi  jedynie  proces  dysypacji  energii 
elektrycznej. 

Oznacza 

to, 

że 

jest 

charakteryzowany tylko rezystancją R.

u

R

R

Między prądem i napięciem (parą wielkości zaciskowych) idealnego 

rezystora występuje proporcjonalność wyrażona 

prawem Ohma

R

R

R

R

R

u

G

u

R

i

i

R

u







1

lub

(2.8)

- 5 -

INDUKCYJNOŚĆ  L

Jest  to  wielkość  fizyczna  charakteryzująca  zdolność  układu  do 

wytwarzania  pola  magnetycznego  (gromadzenia  energii  w  polu 
magnetycznym - AKUMULACJA).

.

const

i

L

df







(2.9)

Jednostką indukcyjności jest henr (H), [L]=1Wb/1A=1V

1s/1A=11s=1H

IDEALNA  CEWKA

  jest  dwójnikiem,  w 

którym  zachodzi  jedynie  proces  akumulacji 
energii w polu magnetycznym. Oznacza to, że 
opisuje ją tylko indukcyjność L.

u t

L

( )

L

i t

L

( )

Napięcie na zaciskach cewki opisuje zależność:

 

 





 

dt

t

i

d

L

t

i

L

dt

d

dt

d

t

u

L

L

L









(2.10)

POJEMNOŚĆ  C

Wielkość  określająca  zdolność  układu  do  gromadzenia  ładunku 

elektrycznego  pod  wpływem  przyłożonego  napięcia  -  lub  inaczej  do 
gromadzenia energii w polu elektrycznym (AKUMULACJA).

.

const

u

q

C

df





(2.11)

Jednostką pojemności jest farad (F), [C] = 1C/1V = 1A

1s/1V = 1F.

IDEALNY 

KONDENSATOR

 

jest 

dwójnikiem,  w  którym  zachodzi  jedynie 
proces 

akumulacji 

energii 

w 

polu 

elektrycznym. Oznacza to, że opisuje go tylko 
pojemność C.

u t

C

( )

C

i t

C

( )

Prąd kondensatora opisuje zależność:

 

 





 

dt

t

du

C

t

u

C

dt

d

dt

dq

t

i

C

C

C







(2.12)

- 6 -

NAPIĘCIE ŹRÓDŁOWE  

u

0

jest  parametrem,  występującego  w  układzie  elektrycznym,  procesu 

przemiany  innego  rodzaju  energii  (mechanicznej,  chemicznej,  świetlnej 
itp.) w energię elektryczną, a zatem jest parametrem opisującym własności 
generacyjne  występujące  w  układzie.  Tę  własność  niezależną  od  innych 
uwarunkowań układu opisuje zależność

 

 

t

u

t

u

i

0





(2.13)

Jednostką napięcia źródłowego jest wolt (V).

IDEALNE 

ŹRÓDŁO 

NAPIĘCIA

element  o dwóch końcówkach  (zaciskach),  w 
którym  zachodzi  wyłącznie  generacja  energii 
uzewnętrzniająca  się  pod  postacią  napięcia 
źródłowego  u

0

  (występującego  pomiędzy 

zaciskami 

elementu), 

niezależnego 

od 

obciążenia (prądu w układzie).

u t

( )

i t

( )

u t

0

( )

PRĄD ŹRÓDŁOWY  

i

Z

Własności  generacyjne  układu  elektrycznego  mogą  być  również 

charakteryzowane parametrem nazywanym natężeniem prądu źródłowego 
lub krótko - prądem źródłowym.

Wartość  parametru  zwanego  prądem  źródłowym  jest  niezależna  od 

stanu pracy układu elektrycznego, co zapiszemy w postaci

 

 

Z

Z

u

t

i

t

i





(2.14)

Jednostką prądu źródłowego jest amper (A).

IDEALNE ŹRÓDŁO PRĄDU

 element o 

dwóch  końcówkach  (zaciskach),  w  którym 
zachodzi 

wyłącznie 

generacja 

energii 

uzewnętrzniająca  się  pod  postacią  prądu 
źródłowego  i

Z

  niezależnego  od  obciążenia 

(napięcia na zaciskach).

u t

( )

i t

( )

i t

Z

( )

- 7 -

2.3.

ŁĄCZENIE ELEMENTÓW IDEALNYCH

SZEREGOWE

RÓWNOLEGŁE

1

2

n

...

...

1

2

n

REZYSTORÓW







n

k

k

R

R

1













n

k

k

n

k

k

R

R

G

G

1

1

1

1

;

CEWEK







n

k

k

L

L

1







n

k

k

L

L

1

1

1

KONDENSATORÓW







n

k

k

C

C

1

1

1







n

k

k

C

C

1

ŹRÓDEŁ

NAPIĘCIA







n

k

k

u

u

1

0

0

możliwe tylko w jednym 

przypadku

ŹRÓDEŁ

PRĄDU

możliwe tylko w jednym

przypadku







n

k

k

Z

Z

i

i

1

- 8 -

2.4. ELEMENTY  R, L, C  W OBWODACH PRĄDU 

HARMONICZNEGO



REZYSTOR

Przy występowaniu prądu harmonicznego

 





i

m

t

I

t

i









sin

(2.15)

w rezystorze o rezystancji R, na jego zaciskach pojawi się napięcie 

 

 









u

m

i

m

t

U

t

I

R

t

i

R

t

u



















sin

sin

(2.16)

przy czym amplituda przebiegu napięcia

m

m

I

R

U



(2.17)

a faza początkowa

i

u







(2.18)

Czyli przesunięcie fazowe 



 między przebiegami u(t) i i(t) wynosi zero:

0







i

u







(2.19)

Napięcie na

idealnym rezystorze

jest w fazie z prądem

0

u t

( )

U

m

t

i t

( ),



u



i

I

m

- 9 -

W POSTACI SYMBOLICZNEJ

Symboliczna wartość chwilowa prądu

i

j

m

m

t

j

m

e

I

I

e

I

t

i









gdzie

)

(

(2.20)

napięcia

t

j

m

t

j

m

e

U

e

I

R

t

i

R

t

u











)

(

)

(

(2.21)

Zatem

m

m

I

R

U



(2.22)

co oznacza, że

I

R

U



U

G

I



(2.23)

Przedstawiając  symboliczne  wartości  skuteczne  w  postaci 

wykładniczej, otrzymujemy

i

u

j

j

e

I

R

e

U







(2.24)

Z przyrównania modułów w wyrażeniu (2.24) znajdujemy

I

R

U



U

G

I



(2.25)

a z przyrównania argumentów

i

u







(2.26)

Pomnożenie  wskazu  I  przez  R
powoduje wydłużenie tego wskazu R
razy.  Wobec  tego  wskaz  napięcia 

I

R

U



znajduje  się  na  tej  samej 

prostej co wskaz I

U

I



u

=



i

- 10 -



CEWKA INDUKCYJNA

Przy przepływie prądu w cewce idealnej o indukcyjności L napięcie na 

jej zaciskach wyraża zależność (2.10)

 

 

dt

t

i

d

L

t

u



Przyjmując, że w cewce występuje prąd harmoniczny

 





i

m

t

I

t

i









sin

(2.27)

napięcie na cewce wynosi

 





u

m

i

m

t

U

t

I

L

t

u



































sin

2

sin

(2.28)

Z powyższej zależności wynika, że amplituda przebiegu napięcia

m

m

I

L

U





(2.29)

natomiast faza początkowa

2











i

u

(2.30)

Czyli  przesunięcie  fazowe 



  między  przebiegami  u(t)  i  i(t)  cewki 

indukcyjnej wynosi:

2















i

u

(2.31)

Napięcie na zaciskach

idealnej cewki

wyprzedza prąd

o 90

o

0

u t

( )

,

t

i t

( )



i



u

/2

- 11 -

Dla 

cewki indukcyjnej - symboliczna wartość chwilowa prądu

i

j

m

m

t

j

m

e

I

I

e

I

t

i









gdzie

)

(

(2.32)

napięcia

 

 

t

j

m

t

j

m

e

U

e

I

L

j

dt

t

i

d

L

t

u













(2.33)

Zatem

m

m

I

L

j

U





(2.34)

co oznacza, że

I

L

j

U





   

U

L

j

I



1



(2.35)

Przedstawiając  symboliczne  wartości  skuteczne  w  postaci 

wykładniczej, otrzymujemy

















2









i

u

j

j

e

I

L

e

U

(2.36)

Z przyrównania modułów w wyrażeniu (3.36) znajdujemy

I

X

I

L

U

L







   

U

B

U

L

I

L







1

(2.37)

reaktancja indukcyjna

susceptancja indukcyjna

a z przyrównania argumentów

2











i

u

(2.38)

Pomnożenie  wskazu  I  przez  j



L

powoduje  wydłużenie  wskazu  I
i jego obrót o 90

o

 „w przód”

2















i

u

U

I



i



u

 

= /2

- 12 -



KONDENSATOR

Gdy  istnieje  napięcie  u(t)  na  zaciskach  idealnego  kondensatora  o 

pojemności C, to prąd płynący przez kondensator opisuje zależność (2.12)

 

 

dt

t

u

d

C

t

i



Przyjmując, że na zaciskach kondensatora występuje napięcie

 





u

m

t

U

t

u









sin

(2.39)

prąd płynący przez kondensator wynosi

 





i

m

u

m

t

I

t

U

C

t

i



































sin

2

sin

(2.40)

Z powyższej zależności wynika, że amplituda przebiegu prądu

m

m

U

C

I





(2.41)

natomiast faza początkowa

2











u

i

(2.42)

Zatem  przesunięcie  fazowe 



  między  przebiegami  u(t)  i  i(t) 

kondensatora wynosi:

2

















i

u

(2.43)

Prąd płynący przez

idealny kondensator

wyprzedza napięcie

o 90

o

0

u t

( )

,

t

i t

( )



i



u

/2

- 13 -

Dla kondensatora - symboliczna wartość chwilowa napięcia

i

j

m

m

t

j

m

e

U

U

e

U

t

u









gdzie

)

(

(2.44)

prądu

 

 

t

j

m

t

j

m

e

I

e

U

C

j

dt

t

u

d

C

t

i













(2.45)

Zatem

m

m

U

C

j

I





(2.46)

co oznacza, że

U

C

j

I





I

C

j

U



1



(2.47)

Przedstawiając  symboliczne  wartości  skuteczne  w  postaci 

wykładniczej, otrzymujemy

















2









u

i

j

j

e

U

C

e

I

(2.48)

Z przyrównania modułów, znajdujemy

U

B

U

C

I

C







   

I

X

I

C

U

C







1

(2.49)

susceptancja pojemnościowa

reaktancja pojemnościowa

a z przyrównania argumentów

2











u

i

(2.50)

Pomnożenie wskazu I przez 
1/j



C powoduje wydłużenie 

wskazu  I i  jego obrót  o 90

o

„wstecz”

2

















i

u

U

I



i



u

 

=- /2

- 14 -

2.5.

PODSTAWOWE PRAWA W POSTACI SYMBOLICZNEJ

Prawo Ohma

Symboliczna  wartość  skuteczna  napięcia  U  dwójnika 
równa się iloczynowi impedancji dwójnika Z i wartości 
skutecznej prądu I w nim płynącego:

I

Z

U



(2.51)

Impedancja  (opór  zespolony)  Z  charakteryzuje  przewodnictwo 
elektryczne dwójnika przy przepływie prądu sinusoidalnego.

Podstawiając  w  (2.51)  symboliczne  wartości  skuteczne  w  postaci 

wykładniczej, otrzymujemy





i

u

i

u

j

j

j

e

I

U

e

I

e

U

I

U

Z

















(2.51)

czyli:



















i

u

Z

I

U

Z

arg

,

(2.52)

Zatem



j

e

Z

Z



   

X

j

R

Z





(2.53)

rezystancja

reaktancja 

Impedancję 

Z 

można 

przedstawić 

geometrycznie 

na  płaszczyźnie  zmiennej 
zespolonej 

za 

pomocą 

trójkąta impedancji.

Z



Im

Re

R

X

- 15 -

Prawo Ohma można także przedstawić następująco:

Symboliczna  wartość  skuteczna  prądu  I  płynącego 
przez dwójnik równa się iloczynowi admitancji dwójnika 
Y i wartości skutecznej napięcia U na jego zaciskach:

U

Y

I



(2.54)

Admitancja  (przewodność  zespolona  –  jej  jednostką  jest  simens  S) 
dwójnika równa się odwrotności jego impedancji:

Z

Y

1



(2.55)

co oznacza, że





j

j

e

Z

e

Z

Y







1

1

(2.56)

czyli:











Y

U

I

Z

Y

arg

,

1

(2.57)

Zatem



j

e

Y

Y





  

B

j

G

Y





(2.58)

konduktancja

susceptancja 

Admitancję 

Y 

można 

przedstawić 

geometrycznie 

na  płaszczyźnie  zmiennej 
zespolonej 

za 

pomocą 

trójkąta admitancji.

Y

-



Im

Re

G

B

- 16 -

I prawo Kirchhoffa - prądowe prawo Kirchhoffa (PPK)

Algebraiczna  suma  symbolicznych  wartości  chwilowych 
prądów  i

n

(t)  we  wszystkich  gałęziach  dołączonych  do 

jednego, dowolnie wybranego węzła obwodu jest w każdej 
chwili czasu równa zeru:







n

k

k

k

t

t

i

1

0

)

(





(2.59)

gdzie:



k

  = 

1 („+” jeśli prąd  elektryczny  ma zwrot do węzła; „-” jeśli zwrot 

jest przeciwny, od węzła)

Jest  ono  także  słuszne  dla  symbolicznych  amplitud  (2.59a)  oraz 

symbolicznych wartości skutecznych (2.59) odpowiednich prądów:







n

k

k

m

k

I

1

0



(2.59a)







n

k

k

k

I

1

0



(2.59b)

II prawo Kirchhoffa - napięciowe prawo Kirchhoffa (NPK)

Algebraiczna  suma  symbolicznych  wartości  chwilowych 
napięć  u

n

(t)  na  wszystkich  elementach,  tworzących 

dowolnie  wybrane  oczko  obwodu  jest  w  każdej  chwili 
czasu równa zeru:







n

k

k

k

t

t

u

1

0

)

(





(2.60)

gdzie:



k

  = 

1  („+”  jeśli  zwrot  napicia  jest  zgodny  z  przyjętym  za  dodatni 

kierunkiem obiegu oczka; „-” jeśli jest przeciwny)

Jest  ono  także  słuszne  dla  symbolicznych  amplitud  (2.60a)  oraz 

symbolicznych wartości skutecznych (2.60b) odpowiednich napięć







n

k

k

m

k

U

1

0



(2.60a)







n

k

k

k

U

1

0



(2.60b)

- 17 -

2.6. POŁĄCZENIA DWÓJNIKÓW



Połączenie szeregowe

n dwójników

I

Z

I

Z

I

Z

I

Z

I

Z

U

U

U

U

n

k

k

n

n























1

2

1

2

1





(2.61)







n

k

k

Z

Z

1

(2.62)



Połączenie równoległe

n dwójników

U

Y

U

Y

U

Y

U

Y

U

Y

I

I

I

I

n

k

k

n

n























1

2

1

2

1





(2.63)













n

k

k

n

k

k

Z

Z

Y

Y

1

1

1

1

lub

(2.64)

- 18 -

2.7. TWIERDZENIE THEVENINA I NORTONA W POSTACI 

SYMBOLICZNEJ

TwierdzenieThevenina

(o zastępczym źródle/generatorze napięciowym)

Dowolny  aktywny  dwójnik  klasy  SLS  można  zastąpić 
obwodem  równoważnym,  złożonym  z  szeregowego 
połączenia idealnego źródła napięcia o napięciu źródłowym 
U

0

 i impedancji wewnętrznej Z

W

, przy czym:

- napięcie źródłowe U

0

 jest równe napięciu na rozwartych 

zaciskach dwójnika (napięciu stanu jałowego U

SJ

)

- impedancja  wewnętrzna  Z

W

,  jest  równa  impedancji 

zastępczej  (impedancji  wejściowej  Z

AB

)  dwójnika 

pasywnego 

(bezźródłowego) 

otrzymanego 

po 

wyzerowaniu  w  wewnętrznej  strukturze  dwójnika 
aktywnego wszystkich autonomicznych źródeł energii.

DA

A

B

A

B

A

B

DA

A

B

DP

Wyznaczenie:        oraz

- 19 -

TwierdzenieNortona

(o zastępczym źródle/generatorze prądowym)

Dowolny  aktywny  dwójnik  klasy  SLS  można  zastąpić 
obwodem  równoważnym,  złożonym  z  równoległego 
połączenia idealnego źródła prądu o prądzie źródłowym I

Z

 i 

admitancji wewnętrznej Y

W

, przy czym:

- prąd  źródłowy  I

Z

  jest  równy  prądowi  płynącemu  przez 

zwarte zaciski dwójnika (prądowi stanu zwarcia I

SZ

)

- admitancja  wewnętrzna  Y

W

,  jest  równa  admitancji 

zastępczej  (admitancji  wejściowej  Y

AB

)  dwójnika 

pasywnego 

(bezźródłowego) 

otrzymanego 

po 

wyzerowaniu  w  wewnętrznej  strukturze  dwójnika 
aktywnego wszystkich autonomicznych źródeł energii.

DA

A

B

A

B

DA

A

B

DP

Wyznaczenie:       oraz

A

B

- 20 -

2.6. REZONANS ELEKTRYCZNY

Obwody  elektryczne,  w  których  występuje  zjawisko  rezonansu 

nazywane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi.

Rozpatrując  bezźródłowy  obwód  elektryczny,  przedstawiony 

schematycznie na rys. jako dwójnik.

Rozpatrywany dwójnik

jX

R

Z

I

U







jB

G

Z

Y





 /

1

Zjawisko  rezonansu  przedstawia  taki  stan  pracy  obwodu 
elektrycznego,  przy  którym  reaktancja  wypadkowa  X  lub 
susceptancja wypadkowa B obwodu jest równa zeru

Warunkiem rezonansu jest

 

0

Im





Z

X

(2.65)

lub

 

0

Im





Y

B

(2.66)

Częstotliwość  (pulsacja),  przy  której  reaktancja  wypadkowa  lub 

susceptancja  wypadkowa  obwodu  jest  równa  zeru  nazywana  jest 
częstotliwością (pulsacją) rezonansową.

Obwód  elektryczny  osiąga  stan  rezonansu,  jeśli  częstotliwość 

doprowadzonego  sygnału  sinusoidalnego  jest  równa  częstotliwości 
rezonansowej obwodu.

- 21 -

Ponieważ kąt 



  przesunięcia fazowego między napięciem U i prądem 

I jest równy

 argumentowi impedancji Z, przy czym

 

R

X

arctg

Z



 arg



(2.67)

lub

 argumentowi  admitancji  Y  wziętemu  ze  znakiem  przeciwnym,  przy 

czym

 

G

B

arctg

Y







 arg



  ;

(2.68)

stąd



  = 0    dla  X = 0  lub  B = 0

Oznacza to, że

zjawiskiem  rezonansu  nazywamy  taki  stan  pracy  obwodu 
elektrycznego, przy którym prąd i napięcie na jego zaciskach są ze 
sobą  w  fazie  (a  argument  impedancji  lub  admitancji  obwodu  jest 
równy zeru)

Impedancja  Z  obwodu  w  stanie  rezonansu  równa  się  rezystancji 

obwodu

 

R

Z

Z



 Re

 ,

(2.69)

a jego admitancja Y , jest równa konduktancji G

 

G

Y

Y



 Re

.

(2.70)

Rezonans  występujący  w  obwodzie,  w  którym  elementy  R,  L,  C

połączone  są  szeregowo,  nazywamy 

rezonansem  napięć

  lub  rezonansem 

szeregowym.

Rezonans  występujący  w  obwodzie,  w  którym  połączone  są 

równolegle  gałęzie  R,  L  oraz  R,  C  lub  gałęzie  R,  L,  C  nazywamy 

rezonansem prądów

 lub rezonansem równoległym.

- 22 -

A)  REZONANS NAPIĘĆ

PODSTAWOWE ZALEŻNOŚCI

Rozważając obwód składający się z elementów R, L i C połączonych 

szeregowo - zakłada się, że przyłożone napięcie jest sinusoidalnie zmienne 
o symbolicznej wartości skutecznej U i o pulsacji 



= 2

f.

R

L

C

Dla rozpatrywanego obwodu słuszne są zależności



















I

jX

U

I

jX

U

I

R

U

C

C

L

L

R

(2.71)













I

Z

I

jX

R

I

X

X

j

R

U

U

U

U

C

L

C

L

R



















(2.72)

Impedancja obwodu wynosi

































C

L

j

R

X

X

j

R

jX

R

Z

C

L





1

.

(2.73)

Warunkiem rezonansu (2.65) jest to, aby X=0 lub X

L

=X

C

 , czyli  

C

L





1



.

(2.74)

Pulsację  rezonansową 



r

  obwodu  szeregowego  RLC  znajduje  się  z 

powyższego równania, otrzymując

LC

r

1





,

(2.75)

stąd częstotliwość rezonansowa f

r

 wynosi

LC

f

r



2

1



.

(2.76)

- 23 -

WŁASNOŚCI OBWODU W STANIE REZONANSU NAPIĘĆ

1. impedancja  obwodu  jest  równa  rezystancji

(impedancja osiąga wartość minimalną)

R

Z



2. napięcie  na  rezystancji  obwodu  jest  równe 

napięciu przyłożonemu do obwodu

U

U

R



3. suma  geometryczna  napięć  na  indukcyjności  i 

pojemności obwodu jest równa zeru

0





C

L

U

U

4. napięcie  na  indukcyjności  jest  co  do  modułu 

równe napięciu na pojemności

C

L

U

U



5. wobec  X=0,  prąd  w  obwodzie  osiąga  wartość 

maksymalną

R

U

I



6. kąt przesunięcia fazowego między przyłożonym 

napięciem a prądem jest równy zeru

0





Wykres wskazowy

Ze  względu  na  równość  modułów 
napięć na elementach reaktancyjnych i 
fakt,  że  mogą  być  one wielokrotnie 
większe 

od 

modułu 

napięcia 

przyłożonego 

- 

rezonans 

w 

rozpatrywanym  obwodzie  nazywamy 
rezonansem napięć.

Parametrem,  który  wskazuje  ile  razy  napięcie  na  indukcyjności  lub 

pojemności  jest  większe  od  napięcia  na  zaciskach  obwodu  w  stanie 
rezonansu jest dobroć Q.

RC

R

L

U

U

U

U

Q

r

r

R

C

R

L





1









 .

(2.77)

R

R

C

L

Q







   , gdzie 

C

L

C

L

r

r













1

(2.78)



 jest reaktancją charakterystyczną obwodu

- 24 -

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOSCIOWE

określają  zależność  parametrów  wtórnych  obwodów  (impedancji, 

reaktancji itd.) od częstotliwości (lub pulsacji).

 charakterystyka reaktancji indukcyjnej 

obwodu

 

L

X

L







 charakterystyka reaktancji 

pojemnościowej obwodu

 

C

X

C





1



 charakterystyka reaktancji wypadkowej 

obwodu

 

C

L

X







1





 charakterystyka impedancji (modułu 

impedancji) obwodu

 

2

2

1



















C

L

R

Z







 charakterystyka kąta przesunięcia 

fazowego (argumentu impedancji) 
obwodu

 

R

C

L

arctg









1





R



r

X( )



X ( )

L



X ( )

C





0



r





-



Z( )





- 25 -

KRZYWE REZONANSOWE

Wykresy  zależności  wartości  skutecznych  napięć  i  prądów 

obwodów  rezonansowych od  częstotliwości  (lub pulsacji)  noszą  nazwę 
krzywych rezonansowych

 krzywa rezonansowa prądu

 

2

2

1



















C

L

R

U

I







   

R

I

U

R







   

L

I

U

L









 krzywe rezonansowe napięć na 

elementach obwodu

   

C

I

U

C







1



Q

1



Q

Q

Q

 

 

 

1 

2 

3

< 

< 

I

r

I



r

Q

2

Q

3

  

U



r



U ( )

R





 Cmax

QU

U

=U

Lmax

Cmax

U ( )

C



U ( )

L





 Lmax

- 26 -

B)  REZONANS PRĄDÓW

PODSTAWOWE ZALEŻNOŚCI

Rozważając obwód składający się z elementów R, L i C połączonych 

równolegle  -  zakłada  się,  że  przyłożone  napięcie  jest  sinusoidalnie 
zmienne o symbolicznej wartości skutecznej U i o pulsacji 



= 2

f.

R

L

C

Dla rozpatrywanego obwodu słuszne są zależności



















U

jB

I

U

jB

I

U

G

I

C

C

L

L

R

(2.79)













U

Y

U

jB

G

U

B

B

j

G

I

I

I

I

L

C

C

L

R



















(2.80)

Admitancja obwodu wynosi

































L

C

j

G

B

B

j

G

jB

G

Y

L

C





1

.

(2.81)

Warunkiem rezonansu (2.66) jest to, aby B=0 lub B

C

=B

L

 , czyli  

L

C





1



.

(2.82)

Pulsację  rezonansową 



r

  obwodu  równoległego  RLC  znajduje  się  z 

powyższego równania, otrzymując

LC

r

1





,

(2.75/2.83)

stąd częstotliwość rezonansowa f

r

 wynosi

LC

f

r



2

1



. (2.76/2.84)

- 27 -

WŁASNOŚCI OBWODU W STANIE REZONANSU PRĄDÓW

1. admitancja  obwodu  jest  równa  konduktancji

(admitancja osiąga wartość minimalną)

G

Y



2. prąd  w  gałęzi  rezystancyjnej  jest  równy 

prądowi obwodu

I

I

R



3. suma 

geometryczna 

prądów 

w 

gałęzi 

indukcyjności  i  pojemnościowej obwodu  jest 
równa zeru

0





C

L

I

I

4. prąd  w  gałęzi  indukcyjnej  jest  co  do  modułu 

równy prądowi w gałęzi pojemnościowej

C

L

I

I



5. wobec  B=0,  prąd  w  obwodzie  osiąga  wartość 

minimalną

G

U

I



6. kąt przesunięcia fazowego między przyłożonym 

napięciem a prądem jest równy zeru

0





Wykres wskazowy

Ze  względu  na  równość  modułów 
prądów w gałęziach reaktancyjnych i 
fakt,  że  mogą  być  one  wielokrotnie 
większe 

od 

modułu 

prądu 

dopływającego 

do 

obwodu 

-

rezonans 

w 

rozpatrywanym 

obwodzie  nazywamy  rezonansem 
prądów

Parametrem,  który  wskazuje  ile  prąd  w  gałęzi  z  indukcyjnością  lub 

pojemnością  jest  większy  od  prądu  dopływającego  do  obwodu  w  stanie 
rezonansu jest dobroć Q.

G

C

LG

I

I

I

I

Q

r

r

R

C

R

L













1

.

(2.85)



R

C

L

R

Q





,

(2.86)

gdzie 



 jest reaktancją charakterystyczną obwodu 

- 28 -

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOSCIOWE

 charakterystyka susceptancji indukcyjnej 

obwodu

 

L

B

L





1



 charakterystyka susceptancji

pojemnościowej obwodu

 

C

B

C







 charakterystyka susceptancji

wypadkowej obwodu

 

L

C

B







1





 charakterystyka admitancji (modułu 

admitancji) obwodu

 

2

2

1



















L

C

G

Y







 charakterystyka kąta przesunięcia 

fazowego (argumentu admitancji 
wziętego ze znakiem przeciwnym) 
obwodu

 

G

L

C

arctg









1







G



r

B( )



B ( )

L



B ( )

C





0



r





-



Y( )





- 29 -

KRZYWE REZONANSOWE

 zależność prądu obwodu od 

pulsacji

 

 

2

2

1





















L

C

G

U

Y

U

I









 zależność prądu w gałęzi 

indukcyjnej od pulsacji

 

L

U

I

L







 zależność prądu w gałęzi 

pojemnościowej od pulsacji

 

CU

I

C









r



I =GU

R

I ( )

C



I ( )

L



I( )



QI =QGU

R