Plik:
BO_PP_M_M_n_r_Analityczne_p_s_[v2].doc
1
/
16
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/n/r
B A D A N I A O P E R A C Y J N E
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO
SYSTEMU OBS
àUGI
M/M/n/r
T
obs
..
.
1
2
1
2
n
T
zg
á
...
r
Materiaáy pomocnicze do wykáadu
adam.kadzinski@put.poznan.pl
POJ
ĉCIE SYSTEMU M/M/n/
r
W elementarnym systemie obs
áugowym z ograniczoną moĪliwoĞcią oczekiwania zakáada siĊ, Īe
d
áugoĞü kolejki jest ograniczona do
r
miejsc. Je
Īeli w chwili nadejĞcia kolejnego obiektu (zgáoszenia)
do systemu a w kolejce oczekuje ju
Ī
r
obiektów (zg
áoszeĔ), to przychodzący obiekt opuszcza system
bez realizacji obs
áugi. Schemat ideowy otwartego elementarnego systemu obsáugowego z ograniczoną
mo
ĪliwoĞcią oczekiwania obiektów na obsáugĊ, przedstawiono na
rys. 1
. W notacji Kendalla
rozwa
Īany tu system obsáugi ma oznaczenie
M/M/n/r
.
Rys. 1. Schemat ideowy otwartego elementarnego systemu obs
áugowego z ograniczoną moĪliwoĞcią oczekiwania
obiektów na obs
áugĊ (objaĞnienie oznaczeĔ w tekĞcie)
Strumie
Ĕ
zg
áoszeĔ
Poissona
Kolejka
Stanowisko
obs
áugi
Strumie
Ĕ
wyj
Ğciowy
2
r
1
P
O
1
2
n
Plik:
BO_PP_M_M_n_r_Analityczne_p_s_[v2].doc
2
/
16
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/n/r
PRZYK
àADY
Elementarny system naprawczy z ograniczon
ą moĪliwoĞcią oczekiwania obiektów na naprawĊ;
Elementarny system przegl
ądowy z ograniczoną moĪliwoĞcią oczekiwania obiektów na przegląd;
Firma transportowa z ograniczon
ą moĪliwoĞcią oczekiwania zadaĔ transportowych na realizacjĊ.
Strumie
Ĕ
zg
áoszeĔ
Poissona
Kolejka
Stanowisko
obs
áugi
Strumie
Ĕ
wyj
Ğciowy
2
r
1
P
O
1
2
n
Plik:
BO_PP_M_M_n_r_Analityczne_p_s_[v2].doc
3
/
16
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/n/r
ZA
àOĩENIA
Strumie
Ĕ zgáoszeĔ obiektów jest strumieniem Poissona o intensywnoĞci O. Oznacza to m. in., Īe
odst
Ċpy czasu miĊdzy zgáoszeniami opisuje rozkáad wykáadniczy o funkcji gĊstoĞci
prawdopodobie
Ĕstwa
t
e
t
f
O
O
;
Stanowisko obs
áugowe ma n takich samych kanaáów obsáugiwania. Czas obsáugi obiektów opisuje
rozk
áad wykáadniczy o funkcji gĊstoĞci prawdopodobieĔstwa
W
P
P
W
e
f
)
(
;
Przed stanowiskiem obiekty mog
ą oczekiwaü w kolejce z ograniczoną do r liczbą miejsc
w kolejce.
Strumie
Ĕ
zg
áoszeĔ
Poissona
Kolejka
Stanowisko
obs
áugi
Strumie
Ĕ
wyj
Ğciowy
2
r
1
P
O
1
2
n
Plik:
BO_PP_M_M_n_r_Analityczne_p_s_[v2].doc
4
/
16
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/n/r
POSZUKIWANE
o
Stany systemu;
o
Graf stanów systemu;
o
Stacjonarne prawdopodobie
Ĕstwa stanów systemu;
o
Prawdopodobie
Ĕstwo odmowy przyjĊcia zgáoszenia do obsáugi w systemie;
o
ĝrednia dáugoĞü kolejki;
o
ĝrednia liczba wolnych kanaáów obsáugi;
o
Wspó
áczynnik przestoju kanaáów obsáugi;
o
Prawdopodobie
Ĕstwo tego, Īe wszystkie kanaáy obsáugi są zajĊte;
o
Inne wybrane charakterystyki systemu.
Strumie
Ĕ
zg
áoszeĔ
Poissona
Kolejka
Stanowisko
obs
áugi
Strumie
Ĕ
wyj
Ğciowy
2
r
1
P
O
1
2
n
Plik:
BO_PP_M_M_n_r_Analityczne_p_s_[v2].doc
5
/
16
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/n/r
ROZWI
ĄZANIA
o
Stany systemu
S
0
w systemie nie ma zg
áoszeĔ,
S
1
jedno zg
áoszenie znajduje siĊ w systemie i nastĊpuje jego obsáuga na pierwszym kanale
obs
áugowym, kolejka nie wystĊpuje,
S
2
dwa zg
áoszenia znajdują siĊ w systemie, pierwsze jest obsáugiwane na pierwszym kanale
obs
áugowym, drugie na drugim kanale obsáugowym,
S
n-1
(n-1) zg
áoszeĔ znajduje siĊ w systemie, wszystkie obsáugiwane są na kolejnych kanaáach
obs
áugowych; jeden kanaá obsáugowy jest wolny,
S
n
n zg
áoszeĔ znajduje siĊ w systemie, wszystkie z n kanaáów obsáugowych stanowiska są
zaj
Ċte; kolejka nie wystĊpuje,
S
n+1
(n+1) zg
áoszeĔ znajduje siĊ w systemie, wszystkie kanaáy obsáugowe są zajĊte, jedno
zg
áoszenie czeka w kolejce,
S
n+r
(n+r) zg
áoszeĔ znajduje siĊ w systemie, wszystkie kanaáy obsáugowe są zajĊte, r zgáoszeĔ
czeka w kolejce, wszystkie miejsca w kolejce s
ą zajĊte.
Plik:
BO_PP_M_M_n_r_Analityczne_p_s_[v2].doc
6
/
16
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/n/r
o
Graf stanów systemu M/M/n/r
n
P
(n-1)
P
S
n+r
n
P
3
P
. . .
O
O
O
2
P
P
S
0
S
1
S
2
O
O
O
O
n
P
n
P
S
n-1
S
n
S
n+1
. . .
O
STANY
BEZ KOLEJKI
STANY
Z KOLEJK
Ą
Rys. 2. Graf stanów systemu obs
áugowego M/M/n/r (objaĞnienie oznaczeĔ w tekĞcie)
Plik:
BO_PP_M_M_n_r_Analityczne_p_s_[v2].doc
7
/
16
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/n/r
o
Stacjonarne prawdopodobie
Ĕstwa stanów systemu
W celu sformu
áowania zaleĪnoĞci na stacjonarne prawdopodobieĔstwa stanów systemu moĪna
skorzysta
ü z reguáy mnemotechnicznej. Po zastosowaniu reguáy mnemotechnicznej otrzymuje siĊ
nast
Ċpujący ukáad równaĔ zwanych równaniami Chapmana Koámogorowa:
>
@
t
p
n
t
p
t
p
dt
d
r
n
t
p
n
t
p
n
t
p
t
p
dt
d
n
t
p
n
t
p
n
t
p
t
p
dt
d
n
t
p
n
t
p
n
t
p
t
p
dt
d
n
t
p
t
p
t
p
t
p
dt
d
t
p
t
p
t
p
t
p
dt
d
t
p
t
p
t
p
dt
d
r
n
r
n
r
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P
O
P
P
O
O
P
P
O
O
P
P
O
O
P
P
O
O
P
P
O
O
P
O
1
2
1
1
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
1
0
1
1
0
0
)
(
.
)
(
.
1
)
(
.
1
)
(
.
1
3
2
)
(
.
2
2
)
(
.
1
)
(
.
0
Plik:
BO_PP_M_M_n_r_Analityczne_p_s_[v2].doc
8
/
16
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/n/r
Aby uzyska
ü rozwiązanie w stanie ustalonym systemu naleĪy przejĞü do granicy przy tof.
Otrzyma si
Ċ w ten sposób ukáad równaĔ algebraicznych postaci:
>
@
r
n
r
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
p
n
p
.
r
n
p
n
p
n
p
.
n
p
n
p
n
p
.
n
p
n
p
n
p
.
n
p
p
p
.
p
p
p
.
p
p
.
P
O
P
P
O
O
P
P
O
O
P
P
O
O
P
P
O
O
P
P
O
O
P
O
1
2
1
1
1
1
2
3
2
1
2
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
3
2
0
2
2
0
1
0
0
Plik:
BO_PP_M_M_n_r_Analityczne_p_s_[v2].doc
9
/
16
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/n/r
Po rozwi
ązaniu ukáadu równaĔ algebraicznych otrzymuje siĊ nastĊpujące zaleĪnoĞci na
prawdopodobie
Ĕstwa stacjonarne stanów systemu M/M/n/r:
dla numerów stanów:
n
i
d
d
1
i
i
i
i
p
p
P
O
!
0
a gdy przyjmie si
Ċ, Īe
P
O
U
, to poprzednia zale
ĪnoĞü przyjmuje postaü:
!
0
i
p
p
i
i
U
(4)
W zakresie stanów systemu kiedy nie tworzy si
Ċ w nim jeszcze kolejka zgáoszeĔ (tzw. stany bez
kolejki” – rys. 1), obowi
ązuje zaleĪnoĞü rekurencyjna postaci:
1
1
i
p
p
i
i
U
Plik:
BO_PP_M_M_n_r_Analityczne_p_s_[v2].doc
10
/
16
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/n/r
dla numerów stanów:
n
i
r
n
t
t
i
n
i
i
i
n
n
p
p
P
O
!
0
a gdy przyjmie si
Ċ, Īe
P
O
U
, to zale
ĪnoĞü ma postaü:
n
i
i
i
n
n
p
p
!
0
U
(5)
W zakresie stanów systemu kiedy tworzy si
Ċ w nim kolejka zgáoszeĔ (tzw. "stany z kolejką” –
rys. 1), obowi
ązuje wiĊc zaleĪnoĞü rekurencyjna postaci:
n
p
p
i
i
U
1
Plik:
BO_PP_M_M_n_r_Analityczne_p_s_[v2].doc
11
/
16
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/n/r
Warto
Ğü prawdopodobieĔstwa stanu S
0
wyznaczy
ü moĪna z warunku:
1
0
¦
r
n
k
k
p
Wykorzystuj
ąc równania
(4)
i
(5)
mo
Īna zapisaü, Īe:
0
!
!
!
!
2
!
1
kolejka
0
1
0
0
2
0
0
0
r
r
n
n
n
n
n
p
n
n
p
n
p
p
p
p
U
U
U
U
U
a st
ąd
1
!
!
!
2
!
1
1
0
0
2
0
0
0
¦
r
n
n
j
n
j
j
n
n
n
p
n
p
p
p
p
U
U
U
U
i ostatecznie:
1
0
1
0
!
!
»
¼
º
«
¬
ª
¦
¦
n
i
r
n
n
j
n
j
j
i
n
n
i
p
U
U
(6)
Plik:
BO_PP_M_M_n_r_Analityczne_p_s_[v2].doc
12
/
16
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/n/r
o
Prawdopodobie
Ĕstwo odmowy przyjĊcia zgáoszenia do obsáugi w systemie
Zdarzenie odmowy przyj
Ċcia zgáoszenia do obsáugi w systemie M/M/n/r wystĊpuje tylko wtedy
gdy w systemie znajduje si
Ċ juĪ (n+r) zgáoszeĔ, stąd:
r
r
n
r
n
strat
n
!
n
p
p
p
U
0
(7)
o
ĝrednia dáugoĞü kolejki
Korzystaj
ąc z zasad wyznaczania wartoĞci oczekiwanej zmiennej losowej typu dyskretnego,
Ğrednią liczbĊ zgáoszeĔ oczekujących w systemie na rozpoczĊcie obsáugi moĪna obliczyü wg formuáy:
¦
r
s
s
n
oczek
p
s
L
1
.
(8)
o
ĝrednia liczba wolnych kanaáów obsáugi
Korzystaj
ąc z zasad wyznaczania wartoĞci oczekiwanej zmiennej losowej typu dyskretnego,
Ğrednią liczbĊ wolnych kanaáów obsáugi w systemie moĪna obliczyü wg formuáy:
¦
n
k
k
n
wol
p
k
L
1
(9)
Plik:
BO_PP_M_M_n_r_Analityczne_p_s_[v2].doc
13
/
16
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/n/r
o
Wspó
áczynnik przestoju kanaáów obsáugi
Jest to stosunek
Ğredniej liczby wolnych kanaáów obsáugi i liczby kanaáów obsáugi stanowiska, co
wyra
Īa zaleĪnoĞü:
n
L
W
wol
przest
a po wykorzystaniu zale
ĪnoĞci (6) mamy:
n
p
k
W
n
k
k
n
¦
1
przest
(10)
o
Prawdopodobie
Ĕstwo zdarzenia, Īe wszystkie kanaáy obsáugi są zajĊte
¦
r
n
n
k
k
p
p
zaj
¦
r
n
n
j
n
j
j
n
n
p
p
!
0
zaj
U
(11)
Plik:
BO_PP_M_M_n_r_Analityczne_p_s_[v2].doc
14
/
16
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/n/r
o
ĝredni czas oczekiwania obiektów na rozpoczĊcie obsáugi
T
oczek
(na podstawie 2-giej formu
áy Little’a)
oczek
oczek
L
T
O
1
(12)
o
ĝredni czas pobytu obiektów w systemie
T
sys
(na podstawie 1-szej formu
áy Little’a)
sys
sys
L
T
O
1
(13)
gdzie:
zaj
oczek
sys
L
L
L
(14)
Plik:
BO_PP_M_M_n_r_Analityczne_p_s_[v2].doc
15
/
16
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/n/r
PODSUMOWANIE MODELOWANIA ANALITYCZNEGO SYSTEMU
M/M/n/
r
i
Elementarny system obs
áugi z ograniczoną moĪliwoĞcią oczekiwania obiektów (zgáoszeĔ) na
obs
áugĊ:
x rozk
áad liczby (L
ob
) obiektów znajduj
ących siĊ w systemie – p(i)=P{L
ob
= i},
x prawdopodobie
Ĕstwo, Īe system jest pusty – p
0
,
x prawdopodobie
Ĕstwo, Īe wszystkie kanaáy stanowiska są zajĊte – p
zaj
,
x prawdopodobie
Ĕstwo, Īe wszystkie miejsca w kolejce są zajĊte – p
strat
,
x
Ğrednia liczba obiektów oczekujących na obsáugĊ – L
oczek
,
x
Ğrednia liczba wolnych kanaáów obsáugi – L
wol
,
x wspó
áczynnik przestoju kanaáów obsáugowych – W
przes
,
x
Ğredni czas przebywania obiektów w systemie (wg I-szej formuáy Little’a) – T
sys
,
x
Ğredni czas oczekiwania obiektów na rozpoczĊcie obsáugi (wg II-giej formuáy Little’a) –
T
oczek
.
Plik:
BO_PP_M_M_n_r_Analityczne_p_s_[v2].doc
16
/
16
A. KADZI
ēSKI,
ANALITYCZNE MODELE ELEMENTARNEGO SYSTEMU OBS
àUGI M/M/n/r