Centralne twierdzenie graniczne
Przedział ufności
Wykład V
(06.12.2010)
Centralne twierdzenie graniczne
Przedział ufności
Wykład V
(06.12.2010)
Centralne Twierdzenie Graniczne
Dla dużych prób (n>30)
m
m
=
m
s
m
=
s
/
n
Prawo wielkich liczb
Jeżeli pobieramy kolejno próby losowe o liczebności n
z populacji o dowolnym rozkładzie i o średniej
m
i wariancji
s
2
,
wtedy ze wzrostem n, rozkład statystyki dąży do rozkładu
normalnego o średniej
m
i wariancji
s
2
/n.
Co to oznacza?
Wiele zjawisk można przybliżyć rozkładem normalnym.
x
μ
x
s
=
s/
=m
x
μ
μ
n
Estymacja punktowa
– jest to punktowe oszacowanie
wartości szukanego parametru rozkładu.
Punktowe oszacowanie oznacza tutaj, że uzyskujemy
konkretną wartość liczbową, nie zaś przedział liczbowy,
jak dzieje się to w przypadku estymacji przedziałowej.
Metody estymacji punktowej sprowadzają się do
wyznaczenia odpowiednią metodą estymatora
szacowanego parametru.
Estymacja punktowa nie daje oceny dokładności
oszacowania nieznanego parametru
rozkładu populacji
generalnej.
Estymacja przedziałowa
– konstrukcja losowego przedziału
pokrywającego z dużym prawdopodobieństwem prawdziwą
wartość parametru populacji.
Estymator przedziałowy
jest wyznaczany przez dwie
zmienne losowe, w przeciwieństwie do estymatora
punktowego, który jest pojedynczą zmienną losową.
Przedział ufności
jest podstawowym narzędziem
estymacji przedziałowej.
Pojęcie to zostało wprowadzone do statystyki przez
amerykańskiego matematyka polskiego pochodzenia
Jerzego Spławę-Neymana.
Niech cecha X ma rozkład w populacji z
nieznanym parametrem
θ
. Z populacji wybieramy próby losowe (X
1
, X
2
, ..., X
n
), na
podstawie których wyznaczmy przedział ufności (θ - θ
1
, θ + θ
2
) o
współczynniku ufności 1-α. Przedział (θ - θ
1
, θ + θ
2
) spełnia
warunek:
P(θ
1
< θ < θ
2
) = 1 − α
gdzie θ
1
i θ
2
są funkcjami wyznaczonymi w oparciu o wyniki
otrzymane dla prób losowych.
Wzrost całej populacji studentów (
cecha X
) przybiera rozkład o
nieznanej wartości średniej (
nieznany parametr θ
).
Na podstawie pomiarów przeprowadzonych na próbach można
wyznaczyć granice przedziału ufności (
θ
1
i θ
2
).
W wyznaczonym przedziale prawdopodobieństwo występowania
nieznanego parametru θ
wynosi
1 − α
Poziom ufności - (1 – α) określa prawdopodobieństwo, że
rzeczywista wartość parametru θ w populacji znajduje się w
wyznaczonym przedziale ufności.
Im większa wartość tego współczynnika istotności α, tym
szerszy przedział ufności, a więc mniejsza dokładność
estymacji parametru. Im mniejsza wartość 1 - α, tym większa
dokładność estymacji, ale jednocześnie tym większe
prawdopodobieństwo popełnienia błędu.
Przyjmując poziom istotności 0.05, zakłada się, że w 95%
średnia z populacji mieści się w wyznaczonym na podstawie
analizy prób przedziale ufności (
θ
1
i θ
2
).
Wybór odpowiedniego współczynnika jest więc kompromisem
pomiędzy dokładnością estymacji a ryzykiem błędu.
W praktyce poziom ufności 1 - α przyjmuje zazwyczaj
wartości: 0.99; 0.95 lub 0.90, zależnie od parametru
s
.
Do wyznaczenia granic przedziału ufności przy zadanym
poziomie ufności 1- α konieczna i wystarczająca jest
znajomość rozkładu estymatora .
Zgodnie z
Centralnym Twierdzeniem Granicznym
Jeżeli pobieramy kolejno próby losowe o liczebności
n
z
populacji o wymiarze
N
i o rozkładzie normalnym, ze średnią
μ
i wariancją
s
2
, to rozkład średniej statystyki będzie
rozkładem normalnym o średniej i wariancji
s
2
/n
, pod
warunkiem, że
n/N
0.05
.
θ
x
μ
x
x
Estymacja przedziałowa średniej populacji
w przypadku dużej próby.
-
Rozmiar próby jest
30;
-
Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym wartość
przyjmuje rozkład normalny niezależnie od rozkładu w populacji;
-
Na podstawie powyższego twierdzenia odchylenie standardowe
wartości wynosi
s = s
/
;
-
Jeżeli odchylenie standardowe populacji, tzn. jest wartością
nieznaną, w takiej sytuacji używa się odchylenia standardowego
próby
s = s/
.
W tym przypadku
s
jest estymatorem
punktowym
s
;
x
x
x
x
n
s
x
n
x
Przedział ufności parametru
μ
dla dużej próby
Dla (1-
a
)100% poziomu ufności przedział ufności wynosi:
jeżeli jest znane
lub
jeżeli jest nieznane
gdzie
x z
x
±
s
s
x z
x
± s
s
n
x
s
=
s/
n
x
s = s
/
Zacieniowana powierzchnia
0.6826
Zacieniowana powierzchnia
0.9544
Zacieniowana powierzchnia
0.9974
m
x
z
.
s
x
_
x
_
=
m
x
+ z
·
s
x
_
_
x
x
x
x-
m
z=
s
Wielkość , lub jeżeli jest nieznane,
w wyrażeniu na przedział ufności nosi nazwę
maksymalnego błędu estymacji, E.
Jest to wielkość, o która jest pomniejszana i powiększana
wartość w celu uzyskania przedziału ufności dla zmiennej
Wartość
z
w wyrażeniu na przedział ufności pochodzi z tabeli
dystrybuanty rozkładu normalnego przy założonym poziomie
ufności
1-
a
.
Sposób konstruowania 95% przedziału ufności dla parametru
z
x
s
z
x
s
s
x
m
.
m
.
95% przedział ufności oznacza, że całkowita powierzchnia
pod krzywa rozkładu normalnego dla estymatora
pomiędzy dwoma punktami wynosi 95%.
W celu obliczenia wartości
z
dla założonego przedział
ufności należy podzielić przez 2, tzn. 0.95/2=0.4750
x
z
Zmienną losową X zastępujemy
zmienną standaryzowaną z
,
która ma
rozkład N(0,1)
z = zmienna standaryzowana
(
)
-
p
=
2
z
exp
2
1
1
,
0
;
f
2
m
-
=
z
)
-
p
=
2
exp
2
1
,
;
f
2
x
x
s
s
m
-
=
x
u
s
x
x
Z
z
Powierzchnia pod krzywa rozkładu normalnego N(0,1) od 0 do z
N(0,1)
Zacieniowana powierzchnia
wynosi 95% całkowitej powierzchni
Powierzchnia na skrzydłach
Wydawnictwo planowało wydać nowy podręcznik akademicki. Zanim podjęto
decyzję o cenie postanowiono przeanalizować rynek. W tym celu pracownicy
wydawnictwa wybrali losowo 36 podręczników i przeprowadzili analizę ich ceny.
Wartość średnia wyniosła $70.50. Ponadto dotarli do informacji, że odchylenie
standardowe dla wszystkich podręczników wynosi $4.5.
n=36;
-
Podaj estymator punktowy średniej ceny wszystkich podręczników. Ile wynosi
wartość maksymalnego błędu estymacji, przy założeniu 95% przedziale ufności?
Wynik= $70.5 i $1.47
Podaj z 90% prawdopodobieństwem granice przedziału dla wartości średniej
wszystkich książek.
Wynik= od $69.26 do $71.74
x=$70.50;
s
=$4.50
s
s
=
x
4.50
=
=
= 0.75; margines bl
ędu ±1.96 * (0.75)
6
n
Testowanie hipotez składa się z następujących etapów:
1. Przyjęcie założeń;
2. Otrzymanie rozkładu z próby;
3. Wyznaczenie poziomu istotności i obszaru krytycznego;
4. Wyliczenie statystyki testu;
5. Podjecie decyzji.