2013-05-10 

1 

Zginanie  cz. 1 

Zginanie  cz. 1 

Za żelbetowy element zginany uważa się 
taki ustrój, w którym udział momentu 
zginającego decyduje o rozkładzie naprężeń 
oraz o sposobie zniszczenia elementu. 
 
Typowymi przykładami elementów 
zginanych są belki, rygle ram oraz płyty 
jedno i dwukierunkowo zbrojone. 

2013-05-10 

2 

Zginanie  cz. 1 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

Faza I   – element niezarysowany 
Faza II  – element zarysowany 
Faza III – stadium zniszczenia elementu 

Zginanie  cz. 1 

2013-05-10 

3 

Zginanie  cz. 1 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

Zginanie  cz. 1 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

Stan graniczny nośności przekroju zostanie osiągnięty, gdy 
spełniony będzie przynajmniej jeden z poniższych warunków 
odkształceń: 
 
1. Odkształcenia 



s

  w zbrojeniu rozciąganym osiągną 

wartość graniczną  -10 ‰. 

2. Odkształcenia 



c

  w skrajnym włóknie ściskanym betonu 

osiągną wartość  +3,5 ‰. 

3. Odkształcenia 



c

  we włóknie betonu położonym w 

odległości (3/7) h od krawędzi bardziej ściskanej przekroju 
osiągną wartość  +2 ‰. 

* PN-B-03264:2002 Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i projektowanie 

2013-05-10 

4 

Zginanie  cz. 1 

* PN-B-03264:2002 Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i projektowanie 

Zginanie  cz. 1 

* PN-EN 1992-1-1 Eurokod 2 Projektowanie konstrukcji z betonu Część 1-1 Reguły ogólne … 

2013-05-10 

5 

Zginanie  cz. 1 

* PN-EN 1992-1-1 Eurokod 2 Projektowanie konstrukcji z betonu Część 1-1 Reguły ogólne … 

Zginanie  cz. 1 

* PN-EN 1992-1-1 Eurokod 2 Projektowanie konstrukcji z betonu Część 1-1 Reguły ogólne … 

2013-05-10 

6 

Zginanie  cz. 1 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

Graniczną  nośność przekroju 
normalnego ustala się wykorzystując: 

1. Równania  równowagi  momentów  i  sił 

podłużnych  w  przekrojach  normalnych,  z 
uwzględnieniem  wypadkowych  naprężeń  w 
strefie  ściskanej  betonu  oraz  wypadkowych 
naprężeń w zbrojeniu podłużnym elementów. 

Zginanie  cz. 1 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

2.  Równania  określające  związki  między 

naprężeniami  a  odkształceniami  w 
betonie i stali zbrojeniowej na podstawie 
właściwości materiałowych i idealizowanych 
funkcji obliczeniowych. 

2013-05-10 

7 

Zginanie  cz. 1 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

3.  Równania  opisujące  rozkład  odkształceń 

betonu  i  stali  zbrojeniowej  na wysokości 
przekroju  normalnego  elementu  na 
podstawie  hipotezy  płaskich  przekrojów, 
zgodnie  z  zasadą  równości  odkształceń  w 
zbrojeniu i otaczającym betonie. 

Zginanie  cz. 1 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

0

1





s

c

F

F

0

0

1









c

c

Sd

c

s

Sd

z

F

M

z

F

M

M

Sd 

M

Sd 

M

Sd 

2013-05-10 

8 

Zginanie  cz. 1 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

 

 
 

0

0

0

2

1

1













cd

Sd

yd

s

Sd

yd

s

cd

f

bd

M

f

dA

M

f

A

dbf













cd

yd

s

f

f

bd

A

1





2

bd

f

M

cd

Sd





yd

Sd

s

f

d

M

A





1

 

 

cd

Rd

cd

c

f

bd

M

f

bd

F

2













0

0

0

1

1













c

c

Sd

c

s

Sd

s

c

z

F

M

z

F

M

F

F

 

d

z

d

x

c











/

oraz 

ostatecznie 

przyjmując 

Zginanie  cz. 1 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

2013-05-10 

9 

Zginanie  cz. 2 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

Przekroje zginane – metoda uproszczona 

Zginanie  cz. 2 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

Przekroje zginane – metoda uproszczona 

2013-05-10 

10 

Zginanie  cz. 2 

* PN-EN 1992-1-1 Eurokod 2 Projektowanie konstrukcji z betonu Część 1-1 Reguły ogólne … 

Zginanie  cz. 2 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

Przekrój prostokątny pojedynczo zbrojony 

0

1





s

c

F

F

0

0

1









c

c

Sd

c

s

Sd

z

F

M

z

F

M

1 

2 

2013-05-10 

11 

Zginanie  cz. 2 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 



























2

1

2

1

1

eff

eff

c

yd

s

s

cd

eff

c

d

x

d

z

f

A

F

f

b

x

F



0

0

0

1

1













c

c

Sd

c

s

Sd

s

c

z

F

M

z

F

M

F

F

0

2

0

1

























eff

cd

eff

Sd

yd

s

cd

eff

x

d

f

b

x

M

f

A

f

b

x

1 

2 

Zginanie  cz. 2 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

d

z

eff

c





cd

eff

Rd

bf

d

M

2





2

bd

f

M

cd

Sd

eff







yd

cd

eff

s

f

f

db

A







1

yd

eff

sd

s

f

d

M

A





1

eff

eff





,

1 

2 

3  lub 

2013-05-10 

12 

Zginanie  cz. 2 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 































s

yd

eff

E

f

0035

,

0

0035

,

0

8

,

0

8

,

0

lim

lim

,





Zginanie  cz. 2 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

Przekrój prostokątny podwójnie zbrojony 





0

0

2

2

1

2















a

d

F

z

F

M

F

F

F

s

c

c

sd

s

s

c

1 

2 

2013-05-10 

13 

Zginanie  cz. 2 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

eff

c

yd

s

s

yd

s

s

cd

eff

c

x

d

z

f

A

F

f

A

F

f

b

x

F

5

,

0

;

;

2

2

1

1























0

5

,

0

0

2

2

1

2























a

d

f

A

x

d

f

b

x

M

f

A

f

A

f

b

x

yd

s

eff

cd

eff

Sd

yd

s

yd

s

cd

eff





0

0

2

2

1

2















a

d

F

z

F

M

F

F

F

s

c

c

sd

s

s

c

Zginanie  cz. 2 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

Przekrój prostokątny podwójnie zbrojony 

*

Sd

Sd

Sd

M

M

M







*

*

1

*

1

1

s

s

s

A

A

A





2013-05-10 

14 

Zginanie  cz. 2 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 





cd

eff

eff

Sd

f

bd

M

2

lim

,

lim

,

*

5

,

0

1









yd

cd

eff

s

f

f

bd

A

lim

,

*

1









2

*

*

1

2

a

d

f

M

A

A

yd

Sd

s

s









*

Sd

Sd

Sd

M

M

M







*

*

1

*

1

1

s

s

s

A

A

A





1 

2 

3 

4 

5 

Zginanie  cz. 2 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

2013-05-10 

15 

Zginanie  cz. 2 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

Zginanie  cz. 2 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

2013-05-10 

16 

Zginanie  cz. 2 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

Przekrój teowy 

f

eff

h

x









eff

lub 

f

eff

h

x









eff

lub 

eff

x

eff

x

d

h

f





Zginanie  cz. 2 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

2

d

b

f

M

eff

cd

Sd

eff







yd

cd

eff

eff

s

f

f

db

A







1

yd

eff

sd

s

f

d

M

A





1

eff

eff





,

1 

2 

3  lub 

Przekrój 

pozornie teowy 

2013-05-10 

17 

Zginanie  cz. 2 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

Przekrój rzeczywiście teowy 

1

Sd

Sd

Sd

M

M

M







2

,

1

1

,

1

1

s

s

s

A

A

A





Zginanie  cz. 2 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 









cd

w

eff

Sd

f

b

b

d

M







2

1

,

5

,

0

1









yd

cd

w

eff

s

f

f

b

b

d

A







1

,

1

1

,

Sd

Sd

M

M

M







eff

eff

cd

w

eff

f

d

b

M







,

2







yd

cd

w

eff

s

f

f

db

A





2

,

1

yd

eff

sd

s

df

M

A





2

,

1

2

,

1

1

,

1

1

s

s

s

A

A

A





1 

2 

3 

4 

5 

6 

lub 

2013-05-10 

18 

Zginanie  cz. 2 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

Zginanie  cz. 2 

* A. Łapko, B.C. Jensen „Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych”, Arkady 

2013-05-10 

19 

Zginanie  cz. 2 

* PN-EN 1992-1-1 Eurokod 2 Projektowanie konstrukcji z betonu Część 1-1 Reguły ogólne … 

Efektywna szerokość półek w belkach teowych 

Zginanie  cz. 2 

* PN-EN 1992-1-1 Eurokod 2 Projektowanie konstrukcji z betonu Część 1-1 Reguły ogólne … 

Efektywna szerokość półek w belkach teowych 

2013-05-10 

20 

Zginanie  cz. 2 

* PN-EN 1992-1-1 Eurokod 2 Projektowanie konstrukcji z betonu Część 1-1 Reguły ogólne … 

Efektywna szerokość półek w belkach teowych 

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ