Microsoft Word - Projekt

Prezentacja danych statystycznych

Problematyka, która zajmiemy się w niniejszym projekcie, dotyczy osób (kobiet i mężczyzn)
pozostających

bez

pracy

latach

2010-

2014

województwie

małopolskim.

Dane są zaczerpnięte z Głównego Urzędu Statystycznego.
Zbiorowość statystyczna obejmuje 120  danych. Została ona podzielona na dwa zbiory. Za  kryterium
podziału  przyjmujemy  podział  ze  względu  na  płeć.  Zbiory  są  równoliczne  i  obejmują  60  kobiet  i  60
mężczyzn będących bez pracy. Zbiorowość jest wielowymiarowa.
Jednostkę  statystyczną  będziemy  charakteryzować  za  pomocą  dwóch  własności.  Jednostką
statystyczną jest zatem liczba kobiet i mężczyzn pozostająca bez pracy w województwie małopolskim
w latach 2010 – 2014.
Podczas  analizy  danych  posłużymy  się  dwoma  cechami  statystycznymi:  cechą  ilościową  oraz  cechą
jakościową.  Cechą  ilościową  będzie  tu  liczba  bezrobotnych,  natomiast  cechą  jakościową  płeć.  Cechą
statystyczną zatem  jest liczba bezrobotnych kobiet i mężczyzn w poszczególnych miesiącach w latach
2010 – 2014.
Do opracowania i analizy danych został wykorzystany program R oraz arkusz kalkulacyjny Microsoft
Excel.

ysunek 1. Graficzna prezentacja danych. Źródło: obliczenia własne.

stem(M, scale=0.5)

ysunek 2. Wykres łodyga i liście dla bezrobotnych mężczyzn. Źródło: obliczenia własne.

stem(K, scale=0.5)

ysunek 3.Wykres łodyga i liście dla bezrobotnych kobiet. Źródło: obliczenia własne.

ysunek 4. Histogramy przedstawiający liczbę bezrobotnych mężczyzn po lewej oraz liczbę bezrobotnych kobiet po prawej .

Źródło: obliczenia własne.

Miary położenia
Do miar położenia zaliczymy: wartość minimalną i maksymalną, średnią z próby, medianę kwartyle
oraz mode (dominantę).
W programie R za pomocą funkcji

summary obliczymy podstawowe miary położenie dla

analizowanych danych. Graficznym odpowiednikiem funkcji summary jest wykres pudełkowy, który
zostanie przedstawiony poniżej.

Funkcja summary przedstawiają miary położenia danych z próby, dotyczących liczby mężczyzn
będących bez pracy.

summary(M)

Funkcja summary przedstawiają miary położenia danych z próby, dotyczących liczby kobiet będących
bez pracy.

summary(K)

ysunek 5. Wykresy pudełkowe przedstawiające miary położenia danych z próby, dotyczących liczby kobiet i mężczyzn

będących bez pracy.

Na podstawie analizy wykresu pudełkowego, można stwierdzić, że w grupie mężczyzn jest większe
rozproszenie

liczby

osób

bezrobotnych

poszczególnych

miesiącach

latach

2010 – 2014. Badane grupy charakteryzują się brakiem wartości odstających. Zauważamy, że
minimalna ilość bezrobotnych jest dużo niższa wśród mężczyzn niż wśród kobiet. Maksymalna liczba
osób bezrobotnych wśród kobiet i mężczyzn jest zaś porównywalna.

1. Wartość minimalna i maksymalna.
Zbadamy  najmniejszą i największą liczbę  bezrobotnych wśród kobiet i mężczyzn w latach
2010 – 2014.
Najmniej mężczyzn pozostających bez pracy było w lipcu 2010 roku. Liczba bezrobotnych mężczyzn
była równa 58880. Z kolei największe bezrobocie wśród mężczyzn odnotowuje się
w marcu 2013 roku, w którym to ilość bezrobotnych mężczyzn wzrosła do 89020 osób.
Wśród  kobiet  najmniejsze  bezrobocie  można  odnotować  w  sierpniu  2010  roku.  Bez  pracy
pozostawało  wówczas  66390  kobiet.  Najwięcej  kobiet  nie  pracowało  w  lutym  2013  roku,  tj.  89270
kobiet.
Zauważamy,  że  bezrobocie  wśród  kobiet  w  województwie  małopolskim  w  latach  2010  –  2014  jest
wyższe niż wśród mężczyzn. Zarówno minimalna, jak i maksymalna ilość bezrobotnych wśród kobiet
przewyższ liczbę bezrobotnych mężczyzn.
2. Średnia z próby
Zbadamy  wokół  jakiej  wartości  centralnej  grupują  się  pomiary  dotyczące  ilości  kobiet  i  mężczyzn
pozostających bez pracy.
Z powyższego wynika, że średnio 70490 mężczyzn pozostawało bez pracy w latach 2010 – 2014.
Wśród kobiet w latach 2010 – 2014 przeciętnie nie pracowało 78550 osób w wieku produkcyjnym.
Z powyższej analizy wynika, że średnio więcej kobiet pozostaje bez pracy niż mężczyzn.

3. Mediana
Mediana  to  środkowa  wartość  pomiarowa.  Wyznaczymy  ją  dla  poszczególnych  jednostek
statystycznych.
Z powyższych rozważań wynika, że co najmniej połowa bezrobotnych mężczyzn była nie większa niż
69166 osób  i jednocześnie co najmniej połowa była nie mniejsza niż 69166 osób.
W  badanym  okresie  co  najmniej  połowa  liczby  kobiet  pozostających  bez  pracy  była  nie  większa  niż
79171 osób i jednocześnie co najmniej połowa była nie mniejsza niż 79171 osób.
W badanym okresie środkowa wartość pomiarowa jest dużo niższa u mężczyzn, aniżeli u kobiet.

4. Kwartyle
W badanym okresie co najmniej 25 % liczby bezrobotnych mężczyzn było nie więcej niż 58880 osób i
jednocześnie  co  najmniej  75  %  liczby  mężczyzn  bez  pracy  było  nie  mniej  niż  58880  osób.
Co najmniej 75% liczby mężczyzn będących bez pracy jest nie więcej niż 75990 osób i równocześnie
co najmniej 25% liczba bezrobotnych w badanej grupie jest nie mniejsza niż 75990 osób.
Co  najmniej  25  %  liczby  kobiet  nie  posiadających  zatrudnienia  było  nie  więcej  niż  66390  osób  i
jednocześnie  co  najmniej  75  %  liczby  kobiet  bez  pracy  było  nie  mniej  niż  66390  osób.
Co najmniej 75% liczby kobiet pozostających bez pracy jest nie więcej niż 82820 osób i równocześnie
co najmniej 25% jest nie mniej niż 82820 osób.
Zauważamy,  że  w  badanych  okresach  liczba  kobiet  pozostających  bez  pracy  przewyższa  liczbę
mężczyzn  bez  zatrudnienia.  Stwierdzamy  że  w  województwie  małopolskim  w  latach  2010  –  2014
liczba bezrobotnych kobiet była sporo większa niż liczba bezrobotnych mężczyzn.

5. Moda (Dominanta)
modalna(M)
[1] 73240
modalna(K)
[1] 82671

Najczęściej  występującą  wartością  w  próbie  mężczyzn  jest  wartość  73240.  Oznacza  to,    że  w  latach
2010  –  2014    najczęściej  odnotowywano  właśnie  taką  liczbę  mężczyzn  pozostających  bez
zatrudnienia.
Wśród  kobiet  wartością  dominującą  jest  wartość  82671.  Zatem  w  badanym  okresie  najczęściej
odnotowywano taką liczbę kobiet będących bez pracy.
Zarówno  wśród  mężczyzn,  jak  i  kobiet  występuje  jedna  wartość  dominująca.  Mamy  zatem  do
czynienia z rozkładem jednomodalnym.
3. Miary rozproszenia
Miary  rozproszenia  to  kolejna  podstawowa  grupa  służąca  do  opisu  danych  z  próby.  Miary
rozproszenia  wykorzystywane  są  do  określenia  rozkładu  wartości  zmiennej  wokół  wartości
centralnej  np.  średniej.  Do  miar  rozproszenia  zaliczamy  takie  statystyki  jak:  wariancję,  odchylenie
standardowe, rozstęp z próby, współczynnik zmienności i odchylenie ćwiartkowe.

1. Wariancja z próby
Wariancja  informuje  nas  o  tym  jak  bardzo  wartości  analizowanego  przez  nas  zbioru  rozrzucone  są
wokół  średniej.  Interpretacja  wariancji  jest  następująca:  im  wyższa  wartość  wariancji,  tym  większe
rozproszenie wyników.
Wariancja  w  grupie  bezrobotnych  mężczyzn  wynosi  72371191.  Wśród  grupy  kobiet  nie  mających
zatrudnienia  wariancja  jest  równa  3247504.  Porównując  wartości  w  obu  analizowanych  grupach
stwierdzamy  jednoznacznie,  że  wartość  wariancji  jest  zdecydowanie  większa  w  grupie  mężczyzn.
Oznacza  to,  że  ta  analizowana  grupa  wykazuje  większe  rozproszenie  danych,  tzn.  większą
różnorodność  dotyczącą  liczby  mężczyzn  bez  pracy  w  poszczególnych  miesiącach  w  analizowanym
okresie.
2. Odchylenie standardowe z próby
Odchylenie  standardowe  to  jedna  z  miar  dzięki  której  możemy  zbiór  naszych  danych
scharakteryzować  pod  kątem  zróżnicowania  wyników  wokół  centralnego  punktu  rozkładu.
Odchylenie  standardowe  informuje  nas  jak  bardzo  wartości  jakieś  zmiennej  są  rozrzucone  wokół
średniej.  Wysokie  wartości  odchylenia  standardowego  świadczą  o  dużym  rozproszeniu  wyników
wokół średniej.
Średnie  bezrobocie  wśród  mężczyzn  wynosi  70490  osób  na  miesiąc.    Odchylenie  standardowe
wykazuje, że bezrobocie wśród analizowanej grupy różni się od średniej liczby bezrobotnych o 8507
osób.
Średnia  liczba  bezrobotnych  kobiet  w  analizowanym  okresie  jest  równa  78550  osób/  miesiąc.
Odchylenie standardowe pokazuje, że bezrobocie wśród kobiet odchyla się od wartości średniej o

5698 osób.
Zauważamy, że większe odchylenie standardowe wykazuje grupa bezrobotnych mężczyzn. Oznacza
to, że dane (ilość bezrobotnych mężczyzn) są bardziej rozproszone.
3. Rozstęp z próby
Rozstęp to różnica między największą i najmniejszą wartością występującą w analizowanym zbiorze
danych (X

max

– X

min

Wśród  mężczyzn  będących  bez  zatrudnienia  rozstęp  jest  równy  30134.  Jest  to  liczba,  która  wyraża
różnicę  między  największą  a  najmniejszą  liczbą  mężczyzn  bez  zatrudnienia  w  poszczególnych
miesiącach w latach 2010 – 2014.
U  kobiet  rozstęp  jest  równy  wartości  22883.  Wyraża  to  różnicę  między  największą  a  najmniejszą
liczbą bezrobotnych kobiet w danym okresie.
Z przeanalizowanych danych wynika, że większa wartość rozstępu jest populacji męskiej niż żeńskiej.
Oznacza  to,  że  im  większa  wartość  rozstępu  tym  większe  rozproszenie  wokół  średniej.  Możemy
stwierdzić,  że  wśród  mężczyzn  było  małe  i  duże  bezrobocie,  gdyż  rozstęp  jest  tutaj  większy.
Natomiast wśród kobiet liczba bezrobotnych była zbliżona do średniej.
4. Współczynnik zmienności
Współczynnik  zmienności  jest  ilorazem  zmienności  danej  cechy  –  odchylenia  standardowego  i
średniej wartości tej cechy. Najczęściej wyrażany w procentach. Współczynnik zmienności jest bardzo
przydatny, kiedy chcemy porównać zróżnicowanie jakieś cechy z dwóch różnych zbiorów.
Współczynnik  zmienności  wśród  bezrobotnych  mężczyzn  jest  równy  12%.  U  kobiet  będących  bez
pracy współczynnik wykazuje wartość 7%. Zarówno odchylenia standardowe, jaki wartości średniej
w obu grupach różnią się znacząco. Mimo wszystko obie grupy wykazują małą zmienność.
5. Odchylenie ćwiartkowe
Odchylenie ćwiartkowe opiera się na medianie i kwartylach, a nie na średniej. Odchylenie ćwiartkowe
jest  połową  różnicy  pomiędzy  trzecim  i  pierwszym  kwartylem.  Z  tego  też  faktu,  odchylenie
ćwiartkowe  oblicza  zmienność  jedynie  połowy  zebranych  wyników,  pomiędzy  pierwszym  i  trzecim

kwartylem,  czyli  pomiędzy  25%  i  75%  wyników  uszeregowanych  od  najniższej  od  najwyższej
wartości.
Odchylenie ćwiartkowe dla grupy mężczyzn bez zatrudnienia wynosi 6462. Oznacza to, że przeciętne
odchylenie  50%  środkowych  jednostek  odchyla  się  o  tą  wartość  od  mediany.  W  grupie  kobiet
odchylenie  ćwiartkowe  jest  niższe  i  wynosi  4210.  Stwierdzamy,  że  przeciętne  odchylenie  50%
środkowych jednostek wśród kobiet bez pracy odchyla się o tą wartość od mediany.
6. Rozstęp międzykwartlowy
Rozstęp  międzykwartylowy  podaje  długość  odcinka,  na  którym  leży  50%  środkowych  wartości  w
uporządkowanej niemalejąco próbie.
W grupie mężczyzn rozstęp międzykwartlowy jest równy 12925, natomiast w grupie kobiet 8419.
4. Miary kształtu rozkładu
Miary  kształtu  rozkładu  to  jedna  z  trzech  grup  statystyk  opisowych.  Za  pomocą  miar  kształtu
rozkładu,  czyli  skośności  i  kurtozy,   jesteśmy  w  stanie  opisać  kształt  rozkładu  analizowanych  przez
nas zmiennych, cech.

Skośność
Skośność to statystyka  określająca asymetrię rozkładu analizowanej zmiennej, jedna z dwóch (obok
kurtozy) miar kształtu rozkładu. Skośność informuje nas o tym jak wyniki danej zmiennej kształtują
się  wokół  średniej.  Współczynnik  skośności  dla  rozkładu  normalnego  przyjmuje  wartość  „0”  –  brak
asymetrii rozkładu, rozkład jest idealnie symetryczny. Współczynnik skośności powyżej „0” świadczy,
że  rozkład  jest  prawoskośny  (dodatnioskośny),  a  wyniki  poniżej  „0”  mówią  nam,  że  mamy  do
czynienia z rozkładem lewoskośnym (ujemnoskośnym)
Zauważamy,  że  w  grupie  mężczyzn  bez  pracy  współczynnik  skośności  o  wartości  0.4838432  jest
większy  od  0  (0.4838432  >  0).  Mamy  zatem  do  czynienia  z  rozkładem  prawoskośnym.  Wyraźnie
widać, że w grupie mężczyzn występuje więcej wartości niskich niż wysokich.
U  kobiet  wartość  współczynnika  skośności  jest  ujemna  (-  0.3407176  <    0).  Oznacza  to,  że  mamy  do
czynienia  z  rozkładem  lewoskośnym.  W  związku  czym  w  grupie  kobiet  występuje  więcej  wartości
wysokich aniżeli niskich.
Kurtoza
Kurtoza  to  miara  zagęszczenia  (koncentracji)  wyników  wokół  wartości  centralnej.  Kurtoza  w
rozkładzie  normalnym  przyjmuje  wartość  „0”.  Jeśli  wartość  tej  statystyki  jest  większa  od  zera
wówczas mamy do czynienia z rozkładem leptokurtycznym (wysmukłym). Jeśli kurtoza jest mniejsza
od

zera

nasz

rozkład

jest

rozkładem

platykurtycznym

(spłaszczonym).

Kurtoza  dostarcza  nam  informacji  jak  dużo  uzyskanych  przez  nas  wyników  jest  zbliżonych  do
średniej.
W analizowanej grupie mężczyzn współczynnik kurtozy jest ujemny (- 0.8002988). Mamy zatem do
czynienia  z  rozkładem  spłaszczonym  .  Podobnie  jest  w  grupie  kobiet.  Współczynnik  kurtozy  jest
mniejszy  od  0  i  wynosi  (–  0.5820252).  Oznacza  to,  że  w  obu  analizowanych  grupach  jest  dużo
wyników (liczebność osób bezrobotnych) przyjmujących wartości skrajne.

Graficzna prezentacja funkcji w programie R

Rysunek 6. Graficzna prezentacja granicy funkcji w programie R

curve(((x^.5+x^3-1)/x^5), from = -20, to = 100, col="blue" ,

lwd=5)

text(x=40,y=-15,labels=expression(lim((sqrt(x)+x^3-

1)/x^5,x%->%infinity)==0),cex=1.75)

curve((3*x+2)/(3*x+sqrt(x^2+1)), from = 1, to = 2900,

col = "orange", lwd=5)

text(x=1500, y=1, labels = expression(lim((3*x+2) / (3*x+

sqrt(x^2+1)), x%->% infinity )==3/4),cex=1.75)

Funkcje obliczające nasze granice przy użyciu pakietu R.

x=1
while(x<=100){
y=(x^.5+x^3-1)/(x^5)
x=x+0.1}
y

# Zatem nasza granica w plus nieskończoności dąży
do 0.

x=1
while(x<=100){
y=(3*x+2)/(3*x+sqrt(x^2+1))
x=x+0.1}
y

# Zatem nasza granica w plus nieskończoności zbiega
do 0.75

Przedział ufności

Obserwując liczbę awarii w sieci wodno-kanalizacyjnej w ciągu 100 dni w pewnym rejonie miasta otrzymano dane:

Dzienna liczba awarii

Liczba dni

Na poziomie ufności  1 - α =0,9  oszacować metodą przedziałową średnią dzienną liczbę awarii w losowo wybranym
dniu.

Elementem populacji generalnej jest dowolny dzień który był, jest , będzie. Cechą dla elementu populacji generalnej
jest liczba awarii sieci wodno-kanalizacyjnej w przeciągu dnia w pewnym rejonie miasta.
Z modeli na przedziały ufności  dla średniej  mamy, że założenia modelu spełnione są w  modelu III,  w którym cecha
może mieć dowolny rozkład  i  wielkość próby powinna być duża ( n>30).
Z treści zadania wynika, że  mamy dużą próbę - n=100>30 przedstawioną za pomocą szeregu rozdzielczego. Więc
korzystamy z modelu na przedział ufności dla średniej, w którym cecha może mieć dowolny rozkład i wielkość próby
powinna być duża(n>30).

Zatem korzystamy z poniższego wzoru na przedział ufności

Cecha w populacji jest typu skokowego i przyjmuje tylko wartości całkowite. Wartości cech są środkami
przedziałów klasowych.

⇒

−

Dzienna liczba awarii: x

Liczba dni: n

* n

)

* n

43,86

16,63

2.10

26,63

52,44

SUMA:

100

171

141.66

100

171

100

141

187434

Wyznaczamy przedział ufności

100

187434

645

100

187434

645

≤

−

- przedział pokrywa z prawdopodobieństwem

− α

teoretyczną średnią liczbę awarii w

przeciągu dnia w sieci wodno- kanalizacyjnej w pewnym rejonie miasta.

przedził_ufnosci=function(x,alpha) {
x1=mean(x)-qnorm(1-(alpha/2))*sd(x)/sqrt(length(x))
x2=mean(x)+qnorm(1-(alpha/2))*sd(x)/sqrt(length(x))
paste(c('('),c(x1=x1),c(';'),c(x2=x2),c(')'))
}

przedził_ufnosci(c(rep(0, times=15),rep(1,times=33), rep(2,times=25), rep(3,times=16), rep(4,times=10)) , 0.1)