1
Zestaw 1.
Funkcja kwadratowa. Funkcja homograficzna.
Równanie liniowe. Układy dwóch równań liniowych.
Przykład 1.
Wyznaczyć miejsca zerowe funkcji danej wzorem
3
2
3
1
1
2
x
x
x
x
f
.
Rozwiązanie.
Przekształcimy na początek postać wzoru określającego funkcję do postaci trójmianu
kwadratowego, otrzymamy kolejno:
5
3
2
3
6
3
2
2
3
2
3
1
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
f
.
Przypomnijmy, że
miejscem zerowym funkcji
jest
f
D
x
taki, że
0
x
f
.
Należy zatem
rozwiązać w tym przypadku równanie
0
5
3
2
2
x
x
.
Policzymy wyróżnik:
49
5
2
4
3
4
2
2
ac
b
, stąd
7
.
Ponieważ wyróżnik jest dodatni badana funkcja posiada dwa miejsca zerowe postaci
2
5
4
7
3
2
1
a
b
x
oraz
1
4
7
3
2
2
a
b
x
.
Przykład 2.
Rozwiązać równanie
0
14
13
2
2
x
x
Rozwiązanie.
Skoro jest to trójmian kwadratowy przyrównany do zera, policzymy wyróżnik:
4
14
1
4
13
2
4
2
2
ac
b
. Ponieważ wyróżnik jest ujemny badane
równanie nie posiada rozwiązań.
Przykład 3.
Naszkicować wykres funkcji danej wzorem
5
4
2
x
x
x
f
.
Rozwiązanie.
Łatwo policzymy, że
36
. Wierzchołek paraboli ma zatem współrzędne
2
2
a
b
x
w
i
9
4
a
y
w
. Policzmy jeszcze miejsca zerowe tej funkcji:
5
2
6
4
2
1
a
b
x
oraz
1
2
6
4
2
2
a
b
x
.
Zauważmy ponadto, że
0
1
a
, zatem
ramiona paraboli skierowane są do dołu
. W efekcie
mamy wykres postaci:
2
Przykład 4.
Rozwiązać nierówność
0
5
4
2
x
x
.
Skorzystamy z wyliczeń przykładu 3. Z wykresu odczytujemy, że
5
;
1
x
- dla takich x
wykres leży ponad osią OX i dołączamy punkty wspólne z tą osią.
Przykład 5.
Przekształcić do postaci kanonicznej wzór funkcji homograficznej
1
4
x
x
y
.
Zauważmy najpierw, że dziedziną tej funkcji jest
1
\
R
. Przekształcamy kolejno
1
1
3
1
3
1
1
4
x
x
x
x
x
y
. Oznacza to, że wykres badanej funkcji otrzymamy
przesuwając wykres homografii
x
y
3
o 1 jednostkę w prawo wzdłuż osi OX i o 1 jednostkę
w dół wzdłuż osi OY.
Przykład 6.
Rozwiązać układ równań
4
5
2
y
x
x
y
.
Uporządkujemy na początek ten układ do postaci
4
5
2
y
x
y
x
.
9
2
-1
5
3
I SPOSÓB (podstawiania)
Z drugiego równania wyznaczymy y. Mamy zatem
4
5
2
x
y
y
x
. Podstawiając tak
wyznaczony y do pierwszego równania otrzymamy kolejno
4
5
4
2
x
y
x
x
, stąd
4
1
x
y
x
i w efekcie
3
1
y
x
. Układ ma zatem jedno rozwiązanie punkt A=
3
;
1
.
II SPOSÓB (przeciwnych współczynników)
Dodamy oba równania stronami i otrzymamy
4
4
5
2
y
x
y
y
x
x
, stąd
3
1
y
x
.
III SPOSÓB (graficzny)
Popatrzmy jeszcze na interpretację graficzną. Jest to układ równań prostych.
Pierwsza
z nich
przecina oś OX (tzn
0
y
) w punkcie
2
5
x
,
druga
prosta przecina oś OX w punkcie
4
x
. Rozwiązaniem układu jest punkt wspólny obu prostych
3
;
1
A
A
4
Przykład 1a.
Wyznaczyć miejsca zerowe funkcji danej wzorem
7
3
5
x
x
x
f
.
Rozwiązanie. Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z jego czynników jest równy zero. Ponieważ
funkcja f jest wyrażona jako iloczyn dwóch czynników liniowych, to przyjmuje wartość
zero, gdy x+3=0 lub x-7=0 . Zatem f ma dwa miejsca zerowe
3
1
x
oraz
7
2
x
.
Przykład 2a
. Rozwiązać równanie
0
4
3
2
x
x
.
Rozwiązanie. Lewa strona równania jest trójmianem kwadratowym, który możemy rozłożyć
na czynniki liniowe
4
3
4
3
2
x
x
x
x
.
(Stosujemy tutaj prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania). Podobnie jak w
przykładzie 1a otrzymujemy, że równanie ma dwa rozwiązania
0
1
x
oraz
3
4
2
x
.
Przykład 3a
. Rozwiązać nierówność
0
16
2
x
.
Rozwiązanie. Lewa strona nierówności jest trójmianem kwadratowym. Wykorzystując wzór
skróconego mnożenia (
b
a
b
a
b
a
2
2
) rozkładamy go na czynniki liniowe
4
4
4
16
2
2
2
x
x
x
x
.
Zatem trójmian ten ma dwa miejsca zerowe
4
1
x
oraz
4
2
x
. Ponieważ współczynnik
stojący przy
2
x jest równy 1 , czyli jest dodatni, to wykresem funkcji
16
2
x
x
f
jest
parabola, której ramiona są skierowane do góry. Stąd wynika, że rozwiązaniem nierówności
są wszystkie liczby
,
4
4
,
x
.
5
Zadanie 1.1. Wyznaczyć miejsca zerowe funkcji danej wzorem
a)
6
5
2
x
x
x
f
b)
6
2
3
x
x
x
f
c)
2
3
1
3
x
x
x
x
x
f
d)
x
x
x
f
7
1
4
2
3
2
e)
3
2
x
x
f
f)
x
x
x
f
22
2
2
g)
48
3
2
x
x
f
h)
1
2
x
x
x
f
.
Zadanie 1.2. Rozwiązać równanie
a)
2
2
2
x
b)
3
3
3
3
2
2
x
x
c)
2
25
,
0
4
x
x
x
d)
0
27
2
a
a
e)
0
5
5
2
2
b
b
f)
39
2
1
3
2
n
n
g)
2
4
2
2
x
x
x
h)
25
10
x
x
i)
45
2
1
4
2
n
n
Zadanie 1.3. Wyznaczyć wierzchołek, miejsca przecięcia z osią OX (o ile istnieją) i
naszkicować parabolę daną równaniem
a)
7
6
2
x
x
y
b)
3
6
4
2
x
x
y
c)
5
2
2
x
x
y
d)
2
3
2
x
x
y
e)
1
2
3
2
x
x
y
f)
5
4
2
x
x
y
g)
1
4
2
2
x
x
y
h)
7
4
2
x
x
y
.
Zadanie 1.4. Rozwiązać nierówność
a)
0
7
6
2
x
x
b)
0
3
6
4
2
x
x
c)
0
5
2
2
x
x
d)
0
2
3
2
x
x
e)
0
25
2
x
f)
1
1
2
x
x
x
g)
5
2
3
1
5
x
x
x
x
Zadanie 1.5. Naszkicować wykres funkcji
x
y
1
. Przekształcając go, naszkicować wykres
funkcji danej wzorem
a)
x
x
f
1
b)
1
1
x
x
f
c)
1
1
x
x
f
d)
1
1
x
x
f
6
e)
1
1
1
x
x
f
f)
1
1
x
x
f
+1
g)
1
1
1
x
x
f
.
Zadanie 1.6. Zapisać wzór danej funkcji homograficznej w postaci kanonicznej, a następnie
naszkicować jej wykres
a)
x
x
y
6
b)
6
2
7
2
x
x
y
c)
2
1
x
x
y
d)
3
2
x
x
y
e)
2
2
x
x
y
f)
3
5
x
y
g)
x
x
y
2
1
.
Zadanie 1.7. Rozwiązać równanie
a)
0
8
2
4
7
x
x
b)
36
5
2
1
9
4
4
3
x
x
x
c)
13
3
1
2
52
51
26
156
3
10
20
y
y
y
y
y
d)
2
2
2
1
3
1
2
1
1
x
x
x
e)
3
4
3
1
2
x
x
x
.
Zadanie 1.8. Stosując metodę podstawiania rozwiązać układ równań
a)
3
3
7
5
y
x
y
x
b)
5
7
5
3
4
y
x
y
x
c)
18
2
10
1
2
2
4
y
x
y
x
d)
9
1
3
2
10
1
4
2
y
x
y
x
Zadanie 1.9 Stosując metodę przeciwnych współczynników rozwiązać układ równań
a)
7
2
4
3
2
y
x
y
x
b)
2
,
4
6
3
5
,
1
5
y
x
y
x
c)
5
,
4
2
5
1
3
4
y
x
y
x
d)
9
7
6
5
5
4
y
x
y
x
7
Zadanie 1.10. Rozwiąż algebraicznie i graficznie układy równań
a)
1
5
3
0
2
y
x
y
x
b)
y
x
y
x
2
,
0
6
,
0
2
,
2
11
3
c)
2
1
4
3
5
,
1
3
2
y
x
x
y
d)
17
3
1
2
x
y
y
x
e)
3
2
3
1
6
2
3
y
x
y
y
x
f)
5
2
2
3
3
2
3
y
x
x
y
y
y
x
g)
0
2
4
2
5
2
y
x
y
x
h)
y
x
y
x
2
1
2
7
5
8
Odpowiedzi
Zadanie 1.1.
a)
6
1
x
x
b)
6
2
x
x
c)
2
2
2
2
x
x
d)
9
40
0
x
x
e)
3
3
x
x
f)
11
0
x
x
g)
4
4
x
x
h) brak miejsc zerowych.
Zadanie 1.2.
a)
2
2
2
2
x
x
b)
6
6
0
x
x
x
c)
3
1
0
x
x
d)
27
0
a
a
e)
5
b
f)
3
13
6
n
n
g)
3
6
x
x
h)
5
x
i)
5
5
,
4
n
n
Zadanie 1.3.
a)
2
3
,
2
3
2
;
3
2
1
x
x
W
b)
4
3
;
4
3
W
,
brak miejsc zerowych
c)
4
;
1
W
,
brak miejsc zerowych
d)
1
,
2
4
1
;
2
3
2
1
x
x
W
e)
3
2
;
3
1
W
,
brak miejsc zerowych
f)
5
,
1
9
;
2
2
1
x
x
W
g)
2
2
1
,
2
2
1
1
;
1
2
1
x
x
W
h)
11
2
,
11
2
11
;
2
2
1
x
x
W
Zadanie 1.4. Rozwiązać nierówność
a)
;
2
3
2
3
;
x
b)
x
c)
x
d)
;
2
1
;
x
9
e)
5
;
5
x
f)
2
1
;
1
x
g)
R
x
Zadanie 1.6
a)
1
6
x
y
b)
1
3
2
1
x
y
c)
1
2
3
x
y
d)
2
3
6
x
y
e)
1
2
4
x
y
f)
3
5
x
y
g)
1
2
3
x
y
Zadanie 1.7
a)
4
x
b)
7
1
x
c)
11
y
d)
2
1
x
e) brak rozwiązań
Zadanie 1.8
a)
8
11
8
9
y
x
b)
6
,
0
8
,
0
y
x
c)
1
2
y
x
d)
2
3
y
x
Zadanie 1.9
a)
7
10
7
29
y
x
b)
5
,
0
4
,
0
y
x
c)
1
5
,
0
y
x
d)
3
5
y
x
10
Zadanie 1.10
a)
1
2
y
x
b)
11
3x
y
R
x
c) układ sprzeczny
d)
5
2
y
x
e)
3
2x
y
R
x
f)
R
y
y
x
5
2
g) układ sprzeczny
h)
3
2
y
x