𝜇 − 𝑤𝑠𝑝ół𝑐𝑧𝑦𝑛𝑛𝑖𝑘 𝑡𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎  

𝑎 =? 

𝑁 =? 

�𝑚

1

𝑎 = 𝑁 − (𝑇 + 𝐹

𝑆

)

𝑚

2

𝑎 = 𝑚

2

𝑔 − 𝑁 /+ 

𝑚

1

𝑎 + 𝑚

2

𝑎 = −𝑇 − 𝐹

𝑆

+ 𝑚

2

𝑔 

𝑎(𝑚

1

+ 𝑚

2

) = −𝑇 − 𝐹

𝑆

+ 𝑚

2

𝑔 

𝑎 =

= −𝑇 − 𝐹

𝑆

+ 𝑚

2

𝑔

𝑚

1

+ 𝑚

2

 

𝑻 = 𝝁 ∙ 𝑭

𝑵

= 𝝁 ∙ 𝒎

𝟏

𝒈 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝜶 

𝑎
=

𝑚

2

𝑔 − 𝜇 ∙ 𝑚

1

𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑚

1

𝑔 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼

𝑚

1

+ 𝑚

2

 

𝑁 = 𝑚

2

𝑔 − 𝑚

2

𝑎 

 

  

𝑎 =? 

𝑁

1

=? 

𝑁

2

=? 

𝑁

3

=? 

 

𝑚𝑎 = 𝐹 

𝑀𝑎 = 𝑀𝑔 − 𝑁

1

 

𝑚

1

𝑎 = 𝑁

1

− 𝑇

1

− 𝑁

2

 

𝑚

2

𝑎 = 𝑁

2

− 𝑇

2

− 𝑁

3

 

𝑚

3

𝑎 = 𝑁

3

− 𝑇

3

 

𝑎(𝑀 + 𝑚

1

+ 𝑚

2

+ 𝑚

3

) = 

= 𝑀𝑔 − 𝜇 ∙ 𝑚

1

𝑔 − 𝜇 ∙ 𝑚

1

𝑔 − 𝜇 ∙ 𝑚

3

𝑔 

 

 

 

𝜀 =? 

𝑁

1

=? 

𝑁

2

=? 

 

𝐽 ∙ 𝜀 = 𝑀 
𝐽 =

1
2 𝑚𝑣

2

 

𝜀 =

𝑎
𝑣

 

𝑚

2

𝑎 = 𝑁

2

− 𝑚

2

𝑔 

𝑚

1

𝑎 = 𝑚

1

𝑔 − 𝑁

1

 

1
2 𝑚𝑅

2

𝜀 = 𝑁

1

𝑅 − 𝑁

2

𝑅 

  

 

𝜀 =? 

𝜇 =? 

 

𝐽 = 0,4𝑚𝑣

2

 

𝑚𝑎 = 𝐹 

𝑚𝑎 = 𝐹

𝑆

∙ 𝑇 

𝑎 = 𝜀 ∙ 𝑅 

𝑚 ∙ 𝜀 ∙ 𝑅 = 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼

− 𝜇𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 

𝑇 = −𝜇𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 

𝐽 ∙ 𝜀 = 𝑚 

0,4𝑚𝑅

2

∙ 𝜀 = 𝑇 ∙ 𝑅 

0,4𝑚𝑅 ∙ 𝜀 = 𝑇 

𝑚𝜀𝑅 = 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 − 0,4𝑚𝑅𝜀 

1,4𝑚𝑅𝜀 = 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 

 
𝜀 =

𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼

1,4𝑚𝑅 =

𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼

1,4𝑅

 

𝑇 = 0,4𝑚𝑅 ∙

𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼

1,4𝑅 =

2𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼

7

 

𝜇 ∙ 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 =

2𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼

7

 

𝜇 =

2𝑠𝑖𝑛𝛼

7𝑐𝑜𝑠𝛼

 

 

𝑣 =? 

𝐸

𝐾

=? 

𝐸

𝐾

=

𝐽 ∙ 𝜔

2

2

 

𝜔 = 𝜖 ∙ 𝑡 
𝐽 =

1
2 𝑚𝑅

2

 

𝜀 =

𝐹 ∙ 𝑅

𝐽

 

𝐸

𝐾

=

𝐽 ∙ �𝐹 ∙ 𝑅

𝐽 ∙ 𝑡�

2

2

 

𝐸

𝐾

=

𝐹

2

𝑅

2

𝑡

2

2 ∙ 12𝑚𝑅

=

𝑡

−2

𝑡

2

𝑚

 

 

 

 

Z diabelskiej pętli 

stacza się kulka. Z 

jakiej wysokości h 

powinna się 

staczać aby mogła 

bezpiecznie 

pokonać diabelską 

pętle 

𝑚𝑔 =

𝑚𝑣

2

𝑅

 

𝑣

2

= 𝑔𝑅 

𝐸

𝑃

= 𝐸

𝐾

 

𝑚𝑔(ℎ − 2𝑅) =

𝑚𝑣

2

2 +

𝐽𝜔

2

2

 

𝑚𝑔(ℎ − 2𝑅) = 0,7𝑚𝑣

2

 

𝑔(ℎ − 2𝑅) = 0,7𝑔𝑅 

ℎ = 0,7𝑅 

 

 

W jakiej odległości od 

środka ziemi statek 

będzie przyciągany z 

taką samą siłę przez 

Ziemię i księzyc 

𝑀

𝑧

= 81𝑀

𝐾

 

𝑀

𝑧

∙ 𝑚

𝑥

2

=

𝑀

𝐾

∙ 𝑚

(𝑑 − 𝑥)

2

 

81𝑀

𝐾

𝑥

2

=

𝑀

𝐾

(𝑑 − 𝑥)

2

 

81(𝑑 − 𝑥)

2

= 𝑥

2

/�  

9(𝑑 − 𝑥) = 𝑥

 

9𝑑 − 9𝑥 = 𝑥

 

9𝑑 = 10𝑥

 

𝑥 = 0,9𝑑

 

𝑥 = 0,9 ∗ 60𝑅

 

𝑥 = 54𝑅 

 

 

Kulka o masie m toczy 

się z prędkością v. Jaką 

siłą możemy zatrzymać 

ją na drodze s 

𝐸

𝐾

= 𝑊 

𝐸

𝐾

=

𝑚𝑣

2

2 +

𝐽𝜔

2

2

 

𝑚𝑣

2

2 +

𝐽𝜔

2

2 = 𝐹 ∙ 𝑆

 

𝑚𝑣

2

2 +

0,4𝑚𝑣

2

𝜔

2

2

= 𝐹 ∙ 𝑆 

0,7 ∙ 𝑚𝑣

2

= 𝐹 ∙ 𝑆 

𝐹 =

0,7 ∙ 𝑚𝑣

2

𝑆