dr Dymitr Słezion
1
Matematyka
Temat 2
FORMY ZDANIOWE, KWANTYFIKATORY
U
WAGA
2.1 (zbiór, element zbioru).
Zbiór, element zbioru oraz relacja naleŜenia do zbioru są w matematyce pojęciami pierwotnymi, których
nie definiujemy. Zbiory oznaczamy duŜymi literami, elementy zbiorów małymi.
Zapis a
∈
A oznacza, Ŝe a naleŜy do A, czyli a jest elementem zbioru A.
Zapis a
∉
A oznacza, Ŝe a nie naleŜy do A, czyli a nie jest elementem zbioru A.
Symbolem
∅
oznaczamy zbiór pusty, który nie posiada Ŝadnego elementu.
♦
Zbiór moŜemy określić wymieniając jego elementy, przy czym kaŜdy element wymieniamy tylko raz i nie
ma znaczenia kolejność ich wymieniania, np.: A = {2, 7, 1, 9, 3}, B = {a, d, c} = {d, a, c}.
Przypomnijmy, Ŝe:
N = {1, 2, 3, ...}
−
zbiór liczb naturalnych,
Z = {...,
−
2,
−
1, 0, 1, 2, ...}
−
zbiór liczb całkowitych,
Q
−
zbiór liczb wymiernych,
R
−
zbiór liczb niewymiernych.
D
EFINICJA
2.1 (zmienna, warunek
−−−−
forma zdaniowa, zbiór prawdziwości warunku).
1. Zmienną (zmienną nazwową) nazywamy dowolną literę, np. x, w miejsce której moŜemy wstawić nazwę
dowolnego elementu danego zbioru, np. zbioru D, który nazywamy dziedziną albo zakresem zmiennej x. Sto-
sujemy zapis x
∈
D.
2. Warunkiem zmiennej x
∈
D, nazywamy wypowiedź p(x), która staje się zdaniem, prawdziwym albo fał-
szywym, jeŜeli w miejsce zmiennej wstawimy nazwę dowolnego elementu z dziedziny D.
3. Zbiorem prawdziwości warunku p(x), x
∈
D, nazywamy zbiór tych elementów dziedziny, których nazwy
wstawione w miejsce zmiennej zamieniają warunek w zdanie prawdziwe, czyli spełniają warunek. Zbiór ten
zapisujemy i czytamy następująco:
{x
∈
D : p(x)}, czyli „Zbiór x
∈
D takich, Ŝe p(x)”.
♦
U
MOWA
2.1 (maksymalna
−−−−
domyślna dziedzina zmiennej).
JeŜeli nie jest podana dziedzina zmiennej, to przyjmujemy, Ŝe maksymalną
−
domyślną dziedziną jest zbiór
wszystkich elementów, których nazwy wstawiane w miejsce zmiennej zamieniają warunek w zdanie.
♦
Warunkami jednej zmiennej są np. równania i nierówności jednej zmiennej. Zbiorami prawdziwości takich
warunków są zbiory ich rozwiązań.
D
EFINICJA
2.2 (warunek
−−−−
forma zdaniowa wielu zmiennych).
Warunkiem (formą zdaniową) wielu zmiennych, np.
,
1
1
D
x
∈
...,
,
n
n
D
x
∈
nazywamy wypowiedź
)
,
,
(
1
n
x
x
p
K
zawierającą te zmienne, która staje się zdaniem jeŜeli w miejsce kaŜdej zmiennej wstawimy nazwę
dowolnego elementu z jej dziedziny.
♦
Zapisy 2x
−
y = 5, gdzie x
∈
Z, y
∈
N oraz 2x + u = 3w, gdzie x, u, w
∈
R, są przykładami warunków
dwóch oraz trzech zmiennych.
P
RZYKŁAD
2.1
(kwantyfikatory).
Zapiszemy zdania zastępując zwrot „dla kaŜdego” symbolem
∀
∀
∀
∀
, a zwrot „istnieje” symbolem
∃∃∃∃
.
dr Dymitr Słezion
2
Matematyka
1.
Dla kaŜdego x, x
>
−
2.
∀
x; x
>
−
2.
zdanie fałszywe
2.
Dla kaŜdego x
∈
N, x
>
−
2.
∀
x
∈
N; x
>
−
2.
zdanie prawdziwe
3.
Istnieje x takie, Ŝe x
>
−
2.
∃
x; x
>
−
2.
zdanie prawdziwe
JeŜeli w zapisie nie podano dziedziny zmiennej, to dziedziną domyślną jest zbiór liczb rzeczywistych R.
♦
D
EFINICJA
2.3 (kwantyfikatory).
1. Zwrot „dla kaŜdego x
∈
D ” albo „dla dowolnego x
∈
D ”, który zapisujemy symbolicznie
∀
x
∈
D, na-
zywamy kwantyfikatorem ogólnym.
2. Zwrot „istnieje x
∈
D ”, który zapisujemy symbolicznie
∃
x
∈
D, nazywamy kwantyfikatorem szczegó-
łowym.
3. Zwrot „istnieje dokładnie jeden x
∈
D ” zapisujemy w postaci
∃
1
x
∈
D.
4. Dziedzinę D zmiennej x nazywamy zakresem kwantyfikatora.
♦
JeŜeli dziedzina rozwaŜanej zmiennej nie jest określona, to jest domyślna.
U
WAGA
2.2 (zdania zapisane z uŜyciem kwantyfikatorów).
JeŜeli p(x), x
∈
D jest warunkiem, to kaŜdy z zapisów:
∀
x
∈
D; p(x),
który czytamy
„ Dla kaŜdego x
∈
D, p(x) ”;
∃
x
∈
D; p(x),
który czytamy
„ Istnieje x
∈
D takie, Ŝe p(x) ”;
jest zdaniem (patrz Prz. 2.1). Kwantyfikator obejmuje swoim zasięgiem zapisany bezpośrednio po nim warunek.
JeŜeli warunek jest, to naleŜy uŜyć nawiasów do określenia zasięgu kwantyfikatora.
♦
T
WIERDZENIE
2.1 (prawa de Morgana dla rachunku kwantyfikatorów).
Dla warunku (formy zdaniowej) p(x), x
∈
D, mamy dwa prawa de Morgana:
1. ~ [
∀
x
∈
D; p(x)]
⇔
[
∃
x
∈
D; ~ p(x)].
2. ~ [
∃
x
∈
D; p(x)]
⇔
[
∀
x
∈
D; ~ p(x)].
♦
Zaprzeczanie zdania z kwantyfikatorem polega więc na zmianie kwantyfikatora i zaprzeczeniu warunku, któ-
ry znajduje się w zasięgu kwantyfikatora.
P
RZYKŁAD
2.2
(zaprzeczanie zdań z kwantyfikatorami).
Stosując prawa de Morgana dla rachunku kwantyfikatorów mamy:
1. [~(
∀
x
∈
R; x
2
−
4 = 0)]
⇔
[
∃
x
∈
R; ~ (x
2
−
4 = 0)]
⇔
(
∃
x
∈
R; x
2
−
4
≠
0).
2. [~(
∃
y
∈
R; y
2
+ 2
<
0)]
⇔
[
∀
y
∈
R; ~( y
2
+ 2
<
0)]
⇔
(
∀
y
∈
R; y
2
+ 2
≥
0).
♦
Z warunku wielu zmiennych utworzymy zdanie, poprzedzając go kwantyfikatorami wiąŜącymi wszystkie
zmienne.
P
RZYKŁAD
2.3
(zdania zbudowane za pomocą dwóch kwantyfikatorów).
1.
∀
x
∀
y; x + 2y = 0;
zdanie fałszywe.
2.
∀
y
∀
x; x + 2y = 0;
zdanie fałszywe.
3.
∀
x
∃
y; x + 2y = 0;
zdanie prawdziwe.
4.
∃
y
∀
x; x + 2y = 0;
zdanie fałszywe.
♦
U
WAGA
2.3 (zmiana kolejności i zakresu kwantyfikatorów).
1. Zmiana kolejności kwantyfikatorów tego samego rodzaju nie zmienia wartości logicznej zdania.
2. Zmiana kolejności róŜnych kwantyfikatorów moŜe zmienić wartość logiczną zdania.
dr Dymitr Słezion
3
Matematyka
3. Zmiana zakresu kwantyfikatora moŜe zmienić wartość logiczną zdania.
♦
Często w zdaniach pomija się kwantyfikator ogólny, jest on uŜyty domyślnie.
U
WAGA
2.4 (warunek dostateczny, warunek konieczny).
1. JeŜeli twierdzenie ma postać implikacji:
∀
x
∈
D; [p(x) ⇒ q(x)],
to warunek p(x) nazywamy warunkiem dostatecznym dla warunku q(x), natomiast warunek q(x) nazywamy
warunkiem koniecznym dla warunku p(x) .
2. JeŜeli twierdzenie ma postać równowaŜności:
∀
x
∈
D; [p(x)
⇔
q(x)],
to warunek p(x) nazywamy warunkiem koniecznym i dostatecznym dla warunku q(x) i odwrotnie, warunek
q(x) nazywamy warunkiem koniecznym i dostatecznym dla warunku p(x). Mówimy, Ŝe warunki te są równo-
waŜne.
♦
Z
ADANIA
2
2.1.
Stwierdzić, która z wypowiedzi jest warunkiem (formą zdaniową). Wyznaczyć zbiór prawdziwości dla
kaŜdego warunku, jeŜeli dziedzina zmiennej nie jest podana określić dziedzinę domyślną.
a)
0
81
4
=
−
x
, x
∈
N.
b)
0
81
4
=
−
x
.
c)
2
4
=
u
, u
∈
Z.
2.2. Określić podane zbiory jako zbiory prawdziwości odpowiednich warunków:
a) Zbiór liczb naturalnych, parzystych.
b) Zbiór liczb naturalnych, nieparzystych.
c) Zbiór liczb naturalnych, podzielnych przez 5.
2.3. Określić wartość logiczną zdania, jeŜeli zakres kwantyfikatora ( dziedzina zmiennej) nie jest podany okre-
ś
lić najpierw zakres domyślny. Tam gdzie jest to moŜliwe uzasadnić odpowiedź podając odpowiedni przykład
lub kontrprzykład. Korzystając z praw de Morgana dla rachunku kwantyfikatorów oraz praw rachunku zdań
zapisać zaprzeczenie zdania.
a)
∀
k
∈
N ; 0
<
k.
b)
∀
k
∈
Z ; 0
<
k.
c)
∃
k
∈
N ; 0
<
k.
d)
∀
x;
x
2
9
0
− =
.
e)
∃
x;
x
2
9
0
− =
.
f)
∀
u
∈
Z ; (u
<
7
∨
u
>
0).
g)
∃
u
∈
Z ; (u
<
7
∧
u
>
0).
h)
∀
y
∈
Z ; (y
<
0 ⇒ y
<
4).
W przypadku zdania
−
twierdzenia h) zwrócić uwagę na fakt, Ŝe kaŜda liczba, która nie spełnia warunku ko-
niecznego nie spełnia równieŜ warunku dostatecznego. Podać przykłady liczb, które spełniają warunek koniecz-
ny, ale nie spełniają warunku dostatecznego.
2.4. Określić wartość logiczną zdania i zapisać jego zaprzeczenie, określić najpierw domyślne zakresy kwantyfi-
katorów. Tam gdzie jest to moŜliwe skrócić zapis, w przypadku zapisu skróconego podać pełny zapis z dwoma
kwantyfikatorami.
a)
∀
x
∈
Z
∃
y
∈
Z ;
0
3
=
−
y
x
.
b)
∃
y
∈
Z
∀
x
∈
Z ;
0
3
=
−
y
x
.
c)
∃
x, y
∈
Z ;
0
3
=
−
y
x
.
d)
∀
<
−
+
;
.
x, y
y
x
x
2
3
2
dr Dymitr Słezion
4
Matematyka
Odpowiedzi, wskazówki.
2.1. a) {3}. b) {
−
3, 3}, x
∈
R. c) Nie jest warunkiem. 2.2. a) {x = 2n : n
∈
N}. b) {x = 2n
−
1 : n
∈
N}. c)
{x = 5n : n
∈
N}. 2.3. a) 1, ~(
∀
k
∈
N ; 0
<
k)
⇔
∃
k
∈
N ; 0
≥
k.
b) 0. c) 1, ~(
∃
k
∈
N ; 0
<
k)
⇔
∀
k
∈
N ; 0
≥
k.
d) x
∈
R, 0, ~(
∀
x ;
0
9
2
=
−
x
)
⇔ (∃
x ;
0
9
2
≠
−
x
).
e) x
∈
R, 1. f) 1, ~[
∀
u
∈
Z ; (u
<
7
∨
u
>
0)]
⇔
∃
u
∈
Z
; (u
≥
7
∧
u
≤
0).
g) 1, ~[
∃
u
∈
Z ; (u
<
7
∧
u
>
0)]
⇔
(∀
u
∈
Z; (u
≥
7
∨
u
≤
0).
h) 1, ~
∀
y
∈
Z
; (y
<
0 ⇒ y
<
4)
⇔
∃
y
∈
Z ; (y
<
0
∧
y
≥
4), „ y
<
0 ”
−
warunek dostateczny, „ y
<
4 ”
−
warunek konieczny,
np. y = 2 spełnia warunek konieczny i nie spełnia warunku dostatecznego.
2.4. a) 1, ~(
∀
x
∈
Z
∃
y
∈
Z ;
3
0
x
y
− =
)
⇔
∃
x
∈
Z
∀
y
∈
Z ;
0
3
≠
−
y
x
).
b) 0. c) 1. d) 0,
~
⇔
+
−
<
∈
∀
∈
∀
)
2
3
(
2
x
x
y
;
y
x
R
R
2
3
2
+
−
≥
∈
∃
∈
∃
x
x
y
;
y
x
R
R
.
W
YMAGANE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI
1. Definicje zmiennej, warunku, kwantyfikatorów.
2. Zaprzeczanie zdań z kwantyfikatorami
−
prawa de Morgana dla rachunku kwantyfikatorów.
3. Warunek dostateczny, warunek konieczny.