R
AMA
S
TATYCZNIE
N
IEWYZNACZALNA
–
M
ETODA
P
RZEMIESZCZE
Ń
M
ICHAŁ
M
ALENDOWSKI
B
UDOWNICTWO
2007/2008
–
SEM
.3
,
GR
.
B5
- 2 -
II. Układ podstawowy metody przemieszcze
ń
:
URK:
=
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
∆
∆
0
0
,
,
2
2
22
1
21
,
,
1
2
12
1
11
t
P
t
P
R
r
u
r
R
r
u
r
ϕ
ϕ
I
2
I
1
I
1
4
3
2
6
φ
2
u
1
m
kN
5
kNm
20
kN
20
kN
40
kNm
80
2
-3 ºC
-3 ºC
+30 ºC
t
m
= 0 ºC
R
AMA
S
TATYCZNIE
N
IEWYZNACZALNA
–
M
ETODA
P
RZEMIESZCZE
Ń
M
ICHAŁ
M
ALENDOWSKI
B
UDOWNICTWO
2007/2008
–
SEM
.3
,
GR
.
B5
- 6 -
VI. Stan „P”
Wyznaczenie momentów prz
ę
słowych przyw
ę
złowych:
Pr
ę
t 0-1:
30,625kNm
8
7
5
8
ql
M
2
2
10
=
⋅
=
=
Pr
ę
t 1-2:
pr
ę
t 1-2 obci
ąŜ
ony jest:
•
pionow
ą
sił
ą
skupion
ą
w połowie rozpi
ę
to
ś
ci
kNm
Pl
M
15
16
3
12
−
=
−
=
•
momentem skupionym przyło
Ŝ
onym nad podpor
ą
przegubowo-przesuwn
ą
(w
ę
zeł 2)
kNm
M
M
40
2
12
=
=
•
pionow
ą
sił
ą
skupion
ą
nad podpor
ą
przegubowo-przesuwn
ą
0
12
=
M
Sumaryczny moment prz
ę
słowy przyw
ę
złowy:
kNm
0
,
5
2
40
15
M
12
=
+
−
=
Moment ten mo
Ŝ
na równie
Ŝ
wyznaczy
ć
korzystaj
ą
c z metody sił:
SSN=1
I
1
kN
20
kN
40
kNm
80
2
1
6
I
2
I
1
I
1
4
3
2
R
2P
R
1P
m
kN
5
kNm
20
kN
20
kN
40
kNm
80
2
0
1
2
3
R
AMA
S
TATYCZNIE
N
IEWYZNACZALNA
–
M
ETODA
P
RZEMIESZCZE
Ń
M
ICHAŁ
M
ALENDOWSKI
B
UDOWNICTWO
2007/2008
–
SEM
.3
,
GR
.
B5
- 7 -
Układ podstawowy metody sił:
Układ równa
ń
kanonicznych:
δ
11
·X
1
+
δ
1P
= 0
Stan X
1
=1
Stan „P”
EI
EI
1
3
1
21
4
3
2
4
4
2
1
1
11
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
EI
EI
P
1
3
2
1626
80
3
1
160
3
2
2
2
2
1
4
3
1
2
3
2
160
2
2
1
2
3
1
4
3
2
280
2
2
1
1
1
⋅
−
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
δ
X
1
= 76,25 kN
Pr
ę
t 1-2:
25kNm
280
X
4
M
1
10
=
−
⋅
=
(z metody sił)
7,5kNm
160
X
2
M
1
P
−
=
−
⋅
=
80kNm
80
X
0
M
1
21
−
=
−
⋅
=
7,5
2
1
25
80
1
4
2
80
280
160
I
1
kN
20
kN
40
kNm
80
2
1
X
1
kNm
20
kN
20
kN
40
kNm
80
30,625
7,5
25
80
I
2
I
1
4
3
2
6
R
2P
2
1
2
3
R
1P
0
I
1
0
P
M
kN
35
7
5
=
⋅
R
AMA
S
TATYCZNIE
N
IEWYZNACZALNA
–
M
ETODA
P
RZEMIESZCZE
Ń
M
ICHAŁ
M
ALENDOWSKI
B
UDOWNICTWO
2007/2008
–
SEM
.3
,
GR
.
B5
- 8 -
Stan przemieszcze
ń
:
δ
q
– pionowa składowa przemieszczenia w punkcie przyło
Ŝ
enia siły
wypadkowej od obci
ąŜ
enia równomiernie rozło
Ŝ
onego q=5kN/m
δ
P
– pionowa składowa przemieszczenia w punkcie przyło
Ŝ
enia siły
P=20kN, w kierunku zgodnym z kierunkiem działania tej siły
∆
4
1
∆
14
1
5
,
3
5
,
3
tg
5
,
3
δ
01
01
q
=
⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
=
ϕ
ϕ
∆
4
1
∆
8
1
2
2
tg
2
δ
12
12
P
=
⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
=
ϕ
ϕ
6
4
3
2
2
[m]
0
∆
ψ
01
1
ψ
12
2
ψ
13
3
Punkty
przed
i
po
przemieszczeniu
δ
q
δ
P
R
AMA
S
TATYCZNIE
N
IEWYZNACZALNA
–
M
ETODA
P
RZEMIESZCZE
Ń
M
ICHAŁ
M
ALENDOWSKI
B
UDOWNICTWO
2007/2008
–
SEM
.3
,
GR
.
B5
- 9 -
RPW:
0
625
,
30
)
25
80
(
20
7
5
0
,
1
01
12
1
=
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
ψ
ψ
δ
δ
P
q
P
R
0
0
,
1
14
1
625
,
30
0
,
1
8
1
)
25
80
(
0
,
1
4
1
20
0
,
1
4
1
7
5
0
,
1
1
=
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
+
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
P
R
1875
,
2
125
,
13
5
75
,
8
1
−
+
−
−
=
P
R
kN
R
P
8125
,
2
1
−
=
625
,
30
20
25
1
+
+
=
P
R
kN
R
P
625
,
75
1
=
VII. Rozwi
ą
zanie układu równa
ń
kanonicznych metody przemieszcze
ń
:
=
−
+
⋅
0
0
625
,
75
8125
,
2
1.4621048
0.0077456
-
0.0077456
-
4
0.03753312
2
1
ϕ
u
EI
0,0040439m
1
=
u
d
,0032300ra
0
2
−
=
ϕ
R
2P
kNm
25
30,625kNm
W
ę
zeł:
kNm
20
R
AMA
S
TATYCZNIE
N
IEWYZNACZALNA
–
M
ETODA
P
RZEMIESZCZE
Ń
M
ICHAŁ
M
ALENDOWSKI
B
UDOWNICTWO
2007/2008
–
SEM
.3
,
GR
.
B5
- 11 -
kNm
7.5060
6,6346kNm
W
ę
zeł:
kNm
20
19,1286kNm
Sprawdzenie równowagi w
ę
zła:
VIII. Sprawdzenia kinematyczne:
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
5060
,
7
3
1
7530
,
23
3
2
2
2
2
1
80
3
1
7530
,
23
3
2
2
2
2
1
1
0
,
1
1
EI
V
−
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
4
3
1
7
3
2
8443
,
11
45
2
1
4755
,
0
1
7530
,
23
3
1
5060
,
7
3
2
4
2
2
1
EI
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
7
3
1
4
3
2
1286
,
19
45
2
1
=
−
=
EI
EI
4755
,
0
02416
,
113
69541
,
237
EI
000022
,
0
−
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
7
3
1
4
3
2
8443
,
11
45
2
1
4755
,
0
1
7
2
1
7
8
7
5
3
2
7
3
2
6346
,
6
7
2
1
1
0
,
1
2
2
EI
EI
V
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
4
3
1
7
3
2
1286
,
19
45
2
1
=
+
−
=
EI
EI
4755
,
0
73243
,
155
51302
,
327
EI
00002
,
0
−
Sprawdzenie kinematyczne przebiegło pomy
ś
lnie!
6
4
3
2
2
2
4
3
2
2
2
4
7
7
7
4
0
,
1
0
,
1
1
M
2
M
∑
=
+
−
+
−
=
0
5060
,
7
20
1286
,
19
6346
,
6
1
M
R
AMA
S
TATYCZNIE
N
IEWYZNACZALNA
–
M
ETODA
P
RZEMIESZCZE
Ń
M
ICHAŁ
M
ALENDOWSKI
B
UDOWNICTWO
2007/2008
–
SEM
.3
,
GR
.
B5
- 13 -
Prz
ę
sło 3 – 1:
0
1286
,
19
8443
,
11
45
13
3
=
−
−
⋅
=
∑
T
M
45
9729
,
30
13
=
T
kN
T
6172
,
4
13
=
kN
T
T
6172
,
4
13
31
=
=
Obliczenie sił normalnych (równowaga w
ę
zła):
0
sin
cos
6172
,
4
1235
,
8
4478
,
18
3
1
=
⋅
+
⋅
−
−
=
−
∑
α
α
N
Y
45
3
6172
,
4
1235
,
8
4478
,
18
45
6
3
1
⋅
+
+
−
=
⋅
−
N
6
45
2594
,
8
3
1
⋅
−
=
−
N
kN
N
2343
,
9
3
1
−
=
−
Z równowagi w
ę
zła „0” oraz „2” wynika,
Ŝ
e:
N
0-1
=0
oraz
N
1-2
= 0
.
Dla sprawdzenia zapiszemy sum
ę
rzutów sił na o
ś
x dla w
ę
zła „1”:
0
cos
sin
6172
,
4
3
1
2
1
1
0
=
⋅
−
⋅
−
+
−
=
−
−
−
∑
α
α
N
N
N
X
0
0
=
,
co potwierdza poprawno
ść
oblicze
ń
.
T
31
T
13
N
31
N
13
19,1286 kNm
11,8443 kNm
α
N
0-1
N
1-2
N
1-3
18,4478 kN
4,6172 kN
8,1235 kN
45
3
cos
45
6
sin
=
=
α
α
R
AMA
S
TATYCZNIE
N
IEWYZNACZALNA
–
M
ETODA
P
RZEMIESZCZE
Ń
M
ICHAŁ
M
ALENDOWSKI
B
UDOWNICTWO
2007/2008
–
SEM
.3
,
GR
.
B5
- 15 -
W
YKRES
M
OMENTÓW W
R
AMIE
S
TATYCZNIE
N
IEWYZNACZALNEJ
:
(
POPRAWIONY NA PODSTAWIE WYKRESU TN
Ą
CYCH
)
X. Sprawdzenie napr
ęŜ
e
ń
w przekrojach:
I
1
= HEA 240 => I = 7760 cm
4
3
3
000675
,
0
675
m
cm
w
=
=
kNm
M
80
max
=
MPa
m
kN
w
M
519
,
118
118519
000675
,
0
80
2
max
=
=
=
=
σ
I
2
= HEA 200 => I = 3690 cm
4
3
3
000389
,
0
389
m
cm
w
=
=
kNm
M
1286
,
19
max
=
MPa
m
kN
w
M
174
,
49
49174
000389
,
0
1286
,
19
2
max
=
=
=
=
σ
W obu grupach przekrojów napr
ęŜ
enia s
ą
zdecydowanie mniejsze od
dopuszczalnych (215 MPa). Oznacza to,
Ŝ
e przyj
ę
te przekroje s
ą
zbyt du
Ŝ
e.
Nale
Ŝ
y zmniejszy
ć
przekroje pr
ę
tów i wykona
ć
obliczenia ponownie.
11,844276
19,128615
80
23,752994
6,6346021
7,5059885
0
1
2
3
4
3
2
6
2
2
[m]
M
max
=27,3975
3,31
n
P
M
[kNm]
R
AMA
S
TATYCZNIE
N
IEWYZNACZALNA
–
M
ETODA
P
RZEMIESZCZE
Ń
M
ICHAŁ
M
ALENDOWSKI
B
UDOWNICTWO
2007/2008
–
SEM
.3
,
GR
.
B5
- 16 -
XI. Sprawdzenie statyczne.
Wyznaczenie reakcji w podporze w punkcie 2. Reakcje wyznacza si
ę
na podstawie
ró
Ŝ
nicy sił tn
ą
cych niesko
ń
czenie blisko tego punktu z prawej i lewej strony:
=
+
−
⋅
−
−
+
⋅
+
⋅
=
∑
1235
,
68
20
7
5
40
5522
,
16
sin
2343
,
9
cos
6172
,
4
α
α
Y
0
3243
,
10
2594
,
8
0649
,
2
=
−
+
=
0
1297
,
4
1297
,
4
cos
2343
,
9
sin
6172
,
4
=
−
=
⋅
−
⋅
=
∑
α
α
X
=
⋅
+
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
−
⋅
⋅
−
⋅
=
∑
45
6172
,
4
8443
,
11
6
40
4
1235
,
68
2
20
20
5
,
3
7
5
7
5522
,
16
A
M
0002
,
0
9731
,
30
8443
,
11
240
494
,
272
40
20
5
,
122
8654
,
115
=
+
−
+
−
+
−
−
=
6
m
kN
5
kNm
20
kN
20
4
3
2
2
[m]
A
16,5522 kN
40 kN
11,8443 kNm
4,6172 kN
9,2343 kN
45
3
cos
45
6
sin
=
=
α
α
kN
1235
,
68
2
2
T
24
= 40 kN
T
21
= 28,135 kN
R
R=28,1235+40=68,1235 kN
R
AMA
S
TATYCZNIE
N
IEWYZNACZALNA
–
M
ETODA
P
RZEMIESZCZE
Ń
M
ICHAŁ
M
ALENDOWSKI
B
UDOWNICTWO
2007/2008
–
SEM
.3
,
GR
.
B5
- 20 -
Obci
ąŜ
enie temperatur
ą
– podsumowanie:
(
)
EI
EI
r
r
R
t
t
t
5
5
1
1
1
10
753
,
37
10
47
,
5
283
,
32
0
−
−
∆
⋅
−
=
⋅
−
−
=
+
=
(
)
EI
EI
r
r
R
t
t
t
5
5
2
2
2
10
856
,
170
10
70
,
11
156
,
159
0
−
−
∆
⋅
−
=
⋅
−
−
=
+
=
XIV. Rozwi
ą
zanie układu równa
ń
kanonicznych metody przemieszcze
ń
(od obci
ąŜ
enia temperatur
ą
):
0,0103110m
1
=
t
u
ad
0,0012232r
2
=
t
ϕ
=
⋅
−
⋅
−
+
⋅
−
−
0
0
10
856
,
170
10
753
,
37
1,4621048
0,0077456
-
0,0077456
-
4
0,03753312
5
5
2
1
EI
u
EI
t
t
ϕ
R
AMA
S
TATYCZNIE
N
IEWYZNACZALNA
–
M
ETODA
P
RZEMIESZCZE
Ń
M
ICHAŁ
M
ALENDOWSKI
B
UDOWNICTWO
2007/2008
–
SEM
.3
,
GR
.
B5
- 22 -
XV. Sprawdzenie równowagi w
ę
zła:
XVI. Sprawdzenie kinematyczne:
∑
∑∫
∫
∑∫
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
∆
⋅
⋅
=
s
n
t
s
t
s
t
ds
EI
M
M
ds
t
N
ds
h
t
M
0
0
0
0
α
α
ϕ
(
)
rad
0012237
,
0
15908
4755
,
0
0
,
1
2
1
45
488
,
10
802
,
23
0
45
0
,
1
19
,
0
33
10
2
,
1
5
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
−
ϕ
0012232
,
0
0012237
,
0
2
=
≈
=
t
ϕ
ϕ
4,624kNm
W
ę
zeł:
10,488kNm
001
,
0
113
,
15
488
,
10
624
,
4
1
∑
=
+
−
−
=
M
15,113kNm
4
3
2
6
2
[m]
0
M
0
,
1
1,0
1,0
R
AMA
S
TATYCZNIE
N
IEWYZNACZALNA
–
M
ETODA
P
RZEMIESZCZE
Ń
M
ICHAŁ
M
ALENDOWSKI
B
UDOWNICTWO
2007/2008
–
SEM
.3
,
GR
.
B5
- 24 -
Prz
ę
sło 3 – 1:
0
488
,
10
802
,
23
45
13
3
=
+
−
⋅
=
∑
T
M
45
13,3140
13
=
T
kN
T
1,9847
13
=
0
488
,
10
802
,
23
45
31
1
=
+
−
⋅
=
∑
T
M
45
13,3140
31
=
T
kN
T
1,9847
31
=
Obliczenie sił normalnych (równowaga w
ę
zła „1”):
0
sin
cos
9847
,
1
7781
,
3
6606
,
0
3
1
=
⋅
+
⋅
−
+
=
−
∑
α
α
N
Y
45
3
9847
,
1
7781
,
3
6606
,
0
45
6
3
1
⋅
+
−
−
=
⋅
−
N
6
45
5511
,
3
3
1
⋅
−
=
−
N
kN
N
9703
,
3
3
1
−
=
−
Z równowagi w
ę
zła „0” oraz „2” wynika,
Ŝ
e:
N
0-1
=0
oraz
N
1-2
= 0
.
Dla sprawdzenia zapiszemy sum
ę
rzutów sił na o
ś
x dla w
ę
zła „1”:
0
cos
sin
9847
,
1
3
1
2
1
1
0
=
⋅
−
⋅
−
+
−
=
−
−
−
∑
α
α
N
N
N
X
0
0
=
,
co potwierdza poprawno
ść
oblicze
ń
.
T
31
T
13
N
31
N
13
10,488 kNm
23,802 kNm
α
N
0-1
N
1-2
N
1-3
0,6606 kN
1,9847 kN
3,7781 kN
45
3
cos
45
6
sin
=
=
α
α
R
AMA
S
TATYCZNIE
N
IEWYZNACZALNA
–
M
ETODA
P
RZEMIESZCZE
Ń
M
ICHAŁ
M
ALENDOWSKI
B
UDOWNICTWO
2007/2008
–
SEM
.3
,
GR
.
B5
- 26 -
XVIII. Sprawdzenie statyczne:
0
5511
,
3
8876
,
0
4387
,
4
sin
9703
,
3
cos
9847
,
1
7781
,
3
6606
,
0
=
−
−
=
⋅
−
⋅
−
+
=
∑
α
α
Y
0
7756
,
1
7752
,
1
cos
9703
,
3
sin
9847
,
1
≈
−
=
⋅
−
⋅
=
∑
α
α
X
=
−
⋅
+
⋅
+
⋅
−
=
∑
802
,
23
45
9847
,
1
4
7781
,
3
7
6606
,
0
A
M
0
802
,
23
3138
,
13
1124
,
15
6242
,
4
=
−
+
+
−
=
6
4
3
2
2
[m]
A
0,6606 kN
3,7781 kN
23,802 kNm
1,9847 kN
3,9703 kN
45
3
cos
45
6
sin
=
=
α
α
