1
Skręcanie
1
Skręcanie
T. Godycki-Ćwirko, Mechanika betonu, Arkady, Warszawa 1982
Skręcanie - Literatura
T. Godycki-Ćwirko – rozdz. 10 (tom I) Konstrukcje betonowe,
żelbetowe i sprężone, Komentarz naukowy do normy PN-B-03264
ITB Warszawa 2005
Podstawy
projektowania
konstrukcji
żelbetowych
i
sprężonych wg Eurokodu 2 – praca zbiorowa pod red. M.
Knauffa, Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne, 2006
A. Łapko, B.Ch. Jensen, Podstawy projektowania i
algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych, Arkady 2005
Norma żelbetowa PN-B-03264:2002
Żelbetowa norma europejska EN-1992-1-1:2004,
oraz PN-EN-1992-1-1:2008
T. Godycki-Ćwirko, Mechanika betonu, Arkady, Warszawa 1982
A. Ajdukiewicz, Eurokod 2-Podręczny skrót dla projektantów konstrukcji
żelbetowych, Stowarzyszenie Producentów Cementu -Polski Cement, Kraków 2009
2
Skręcanie
Element skręcany o przekroju kołowym w fazie sprężystej – badania
eksperymentalne Coulomba – 1784 r
1826 r – równania teoretyczne opracowane przez Naviera
Współcześnie – T.T.C. Hsu – Torsion of reinforced concrete 1984
Trzpień w kierunku podłużnej osi z miał długość l i średnicę d. Wydzielony z pręta
wycinek o długości dz poddany skręcaniu doznał deformacji przy założeniu dwóch
warunków kompatybilności:
1. kształt przekroju poprzecznego po skręceniu pozostaje niezmienny
2. przekrój płaski przed i po skręceniu pozostaje płaski ( nie ulega spaczeniu ).
Rys. 10.1. Równowaga i kompatybilność okrągłego skręcanego trzpienia [11]
T. Godycki-Ćwirko – rozdz. 10 (tom I) Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone, Komentarz
naukowy do normy PN-B-03264 ITB Warszawa 2005
1
r
Wykorzystując te dwa warunki
kompatybilności, odkształcenie
ścinania w odległości r
1
możemy
opisać równaniem
dz
d
r
1
Określając kąt skręcania na jednostkę długości trzpienia przez
=d
/dz otrzymamy
Odkształcalność ścinania γ zmienia się liniowo wraz ze
zmiennością r
1
wzdłuż osi podłużnej. Na powierzchni trzpienia
gdzie r
1
= r
2
występuje
max
=r
2
·θ
(10.1)
(10.2)
T. Godycki-Ćwirko – rozdz. 10 (tom I) Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone, Komentarz
naukowy do normy PN-B-03264 ITB Warszawa 2005
3
G
)
1
(
2
E
G
naprężenie ścinające
na osi podłużnej może być
uzyskane z zależności naprężenie-odkształcenie
stąd:
gdzie G- jest modułem sztywności:
Podstawiając
ze wzoru (10.2)
1
r
do równania (10.3)
otrzymujemy:
G
r
1
Maksymalne naprężenia ścinające występujące na powierzchni
wynoszą:
G
r
2
max
Moment skręcający T uzyskuje się z warunku równości
równowagi wewnętrznej i zewnętrznej – rys. 10.1c.
dA
r
T
1
Podstawiając
z równania (10.4) otrzymamy
(10.4)
(10.5)
dA
r
G
T
2
1
(10.6)
Definiując z kolei moment biegunowy jako
dA
r
I
p
2
1
p
I
G
T
otrzymamy:
Podstawiając G
z równania (10.7) do
otrzymamy:
(10.7)
p
I
r
T
1
G
r
1
(10.4)
1
r
G
1
r
I
T
p
4
32
4
2
2
4
4
2
1
0
3
1
2
1
2
d
r
dr
r
dA
r
I
r
r
r
p
p
I
r
T
2
max
(10.9)
Biegunowy moment bezwładności dla pręta o przekroju kołowym:
Rys. 10.2. Naprężenia styczne od skręcania
Natomiast maksymalne naprężenia
na powierzchni pręta :
p
I
r
T
1
32
4
2
2
4
4
2
1
0
3
1
2
1
2
d
r
dr
r
dA
r
I
r
r
r
p
l
d
G
T
4
32
(10.9)
Biegunowy moment
bezwładności dla pręta o
przekroju kołowym:
Podstawiając (10.9) do równania (10.7) otrzymamy
4
32
d
G
T
dla jednakowego skręcania na długości l, oraz
l
dz
d
gdzie
jest kątem skręcania na końcu pręta otrzymamy zależność
(10.11)
p
I
G
T
(10.7)
(10.10)
G
y
x
2
2
2
2
2
(10.25)
Stan naprężenia w przekroju prostokątnym pręta skręcanego może być
rozwiązany metodą St. Venanta polegającą na znalezieniu odpowiedniej
funkcji naprężeń
spełniającej równanie:
Deformacja
skręcanego pręta o
przekroju
poprzecznym
prostokątnym
Rozkład naprężeń
ścinających na ściankach
przekroju prostokątnego
5
W praktyce interesujące nas relacje pomiędzy
momentem skręcającymi T i naprężeniem ścinającym
max
znajdujemy wykorzystując stabelaryzowane
współczynniki St. Venanata dla skręconych
przekrojów prostokątnych o wymiarze dłuższego
boku y do krótszego x korzystając z równań:
max
2
y
x
k
T
y
x
T
y
2
max
,
2
2
max
,
y
x
T
x
Współczynniki St.Venanta
do wyliczenia T,
y,max,
xmax
patrz tab.10.1
y/x
k
2
1,0
0,675
0,141
0,208
0,208
1,2
0,759
0,166
0,219
0,196
1,4
0,822
0,187
0,227
0,185
1,6
0,869
0,204
0,234
0,174
1,8
0,904
0.217
0,240
0,164
2,0
0,930
0,229
0,246
0,155
2,5
0,968
0,249
0,258
0,135
3,0
0,985
0,264
0,267
0,118
4,0
0,997
0,281
0,282
0,0945
5,0
0,999
0,291
0,291
0,0782
10,0
1,00
0,312
0,312
0,0397
100
1,00
0,331
0,331
0,00217
1,00
0,333
0,333
0
Tablica 10.1
Współczynniki St. Venanta
max
2
y
x
k
T
y
x
T
y
2
max
,
2
2
max
,
y
x
T
x
(10.29)
(10.30)
(10.30)
Współczynniki St.Venanta
do wyliczenia T,
y,max,
xmax
patrz tab.10.1
6
Z naprężeniami stycznymi wywołanymi działaniem
momentu skręcającego skojarzone są główne naprężenia
rozciągające i ściskające (
1
,
2
) nachylone do osi
podłużnej pod kątem 45
. Po przekroczeniu przez główne
naprężenia rozciągające
1
wytrzymałości na rozciąganie,
powstają na obwodzie belki rysy ukośne w kształcie spirali
nachylonej do osi podłużnej pod kątem 45
SZTYWNOŚĆ
Skręcanego przekrój żelbetowy
7
Rys. 10.19. Odkształcenia skręcanego przekroju kołowego zbrojonego spiralą
T
I
G
K
p
I
T
,
(10.41) gdzie
)
1
(
2
E
G
= 0,2.
2
2
1
4
2
2
r
c
G
r
T
I
c
G
p
(10.42)
0,35 E
c
)
1
(
2
c
c
c
E
G
)
2
1
(
2
3
2
c
G
r
T
(10.43)
Sztywność skręcania betonowego pręta o
przekroju kołowym wynosi
Jeżeli zbrojenie spiralne jest nachylone do osi elementu pod
kątem
= 45
, a przekrój poprzeczny przecina n spiral
rozmieszczonych na okręgu opisanym promieniem r
a
,
wówczas odkształcenie stali przy odkształceniu jednostkowym
1
zwiększą moment skręcający o:
2
2
1
r
a
r
s
E
a
r
A
n
T
st
Oznaczając stopień zbrojenia spiralą nachyloną pod kątem
= 45
przez
2
45
c
spir
T
A
A
gdzie: A
spir
= n
A
st
n – ilość
przeciętych przekrojem
poprzecznym spiral
A
st
– przekrój
poprzeczny pręta spirali
otrzymamy sztywność
2
2
45
4
2
,
2
)
1
(
1
2
r
a
r
s
c
G
s
G
r
c
G
K
T
I
T
(10.45)
gdzie: G
c
, G
s
moduł ścinania,
odpowiednio dla betonu i stali
s
współczynnik
Poissona dla stali,
s
= 0,3
8
wzór na sztywność skręcania w
fazie II wg Hsu
)
(
)
(
021
,
0
,
p
w
l
II
T
I
c
G
K
gdzie:
l
+
w
- sumaryczna moc zbrojenia w [%], przy czym
l
= A
sl
/A
c
w
= A
sw
u
k
/s
A
c
u
k
obwód zamkniętego strzemienia
I
p
biegunowy moment bezwładności
przekroju betonowego w [cm
4
]
(10.46)
Rys. 10.21. Spadek sztywności skręcania przekrojów prostokątnych o
różnych kształtach i stopniach zbrojenia na skręcanie wywołany
zarysowaniem wg Leonhardta [20]