Fale elektromagnetyczne
Równania Maxwell’a opisuj
ą
wzajemny zwi
ą
zek pola
elektrycznego i magnetycznego. Dowolne zaburzenie jednego
z pól powoduje reakcj
ę
drugiego pola.
Maxwell w 1864 roku przewidział teoretycznie istnienie
fal elektromagnetycznych.
Dopiero 20 lat pó
ź
niej H. Hertz potwierdził eksperymentalnie
istnienie fal elektromagnetycznych.
Hertz po raz pierwszy wytworzył fale elektromagnetyczne posługuj
ą
c
si
ę
skonstruowanym przez siebie oscylatorem elektrycznym
(oscylator Hertza). Stwierdził to
Ŝ
samo
ść
fizyczn
ą
fal
elektromagnetycznych i fal
ś
wietlnych oraz ich jednakow
ą
pr
ę
dko
ść
rozchodzenia si
ę
. Hertz stworzył podstawy rozwoju radiokomunikacji.
a) Oscylator Hertz’a
b) rezonator Hertz’a
Równania Maxwella
D
rot H
j
t
∂
= +
∂
( )
(
)
L S
S
D
H dl
j
d s
t
∂
=
+
∂
∫
∫
( )
0
S V
B d s
=
∫
Posta
ć
całkowa
Posta
ć
ró
Ŝ
niczkowa
I równanie Maxwella
( )
L S
S
d
E d l
B d s
dt
= −
∫
∫
B
rot E
t
∂
= −
∂
II równanie Maxwella
III równanie Maxwella
( )
v
S V
V
D d s
q dv
=
∫
∫
v
divD
q
=
IV równanie Maxwella
0
divB
=
Równania materiałowe
0
0
0
v
D
E
P
B
H
M
j
E
q u
ε
µ
µ
γ
=
+
=
+
=
+
0
0
r
r
D
E
E
B
H
E
ε
ε ε
µ
µ µ
=
=
=
=
Fale elektromagnetyczne
.
Opis matematyczny tego zjawiska otrzymamy poprzez poł
ą
czenie dwóch pierwszych
równa
ń
Maxwell’a.
D
rot H
j
rot
t
∂
= +
∂
korzystamy z to
Ŝ
samo
ś
ci
(
)
2
rotrot H
graddivH
lapH
H
H
H
=
−
∇×∇ = ∇ ∇
− ∇
Zakładamy,
Ŝ
e
ś
rodowisko jest:
- jednorodne
- izotropowe
- liniowe
(
)
D
rot j
rot E
rot E
t
t
γ
ε
∂
∂
+
=
+
∂
∂
0
divB
divH
µ
=
=
zatem
H
rot E
t
µ
∂
= −
∂
2
2
2
H
H
H
t
t
µγ
µε
∂
∂
∇
=
+
∂
∂
Fale elektromagnetyczne
B
rot E
rot
t
∂
= −
∂
( )
2
rotrot E
graddivE
lapE
E
E
E
=
−
∇×∇ = ∇ ∇
− ∇
Podobnie post
ę
pujemy dla pola elektrycznego
zakładamy,
Ŝ
e w rozpatrywanym obszarze nie ma ładunków swobodnych i wtedy
0
divD
divE
ε
=
=
2
2
(
)
B
E
E
rot
rot H
t
t
t
t
µ
µγ
µε
∂
∂
∂
∂
−
= −
= −
−
∂
∂
∂
∂
2
2
2
E
E
E
t
t
µγ
µε
∂
∂
∇
=
+
∂
∂
Fale elektromagnetyczne
(
)
0
0
0,
,
r
r
i
γ
ε ε ε µ µ µ
γ
ωε
=
=
=
≪
(
)
0
0
0,
,
γ
ε ε µ µ
≠
=
=
Mo
Ŝ
emy rozpatrywa
ć
propagacj
ę
fali w nast
ę
puj
ą
cych o
ś
rodkach:
-wolna przestrze
ń
-bezstratne dielektryki
-stratne dielektryki
-„dobre” przewodniki
(
)
0
0
0,
,
γ
ε ε µ µ
=
=
=
(
)
0
0
,
,
r
r
i
γ
ε ε ε µ µ µ
γ
ωε
= ∞ =
=
≫
na pocz
ą
tek rozpatrzmy idealne
ś
rodowisko dielektryczne (
γ
=0), wówczas otrzymamy
2
2
2
2
2
2
0
0
H
H
H
t
E
E
E
t
µε
µε
∂
∇
=
=
∂
∂
∇
=
=
∂
□
□
wprowadzamy operator:
2
2
2
2
1
v
t
∂
=
∇ −
∂
□
Fale elektromagnetyczne
W teorii równa
ń
ró
Ŝ
niczkowych równanie typu
0
u
=
□
Nosi nazw
ę
równania falowego ,w którym wielko
ść
„u” zmienia si
ę
falowo z
pr
ę
dko
ś
ci
ą
rozchodzenia si
ę
fali „V”.
Rozpatrzmy funkcj
ę
f(x)
Ruchem falowym b
ę
dziemy nazywa
ć
taki ruch gdy
pewne zaburzenie stanu fizycznego
ś
rodowiska
opisane funkcj
ą
f(x), przemieszcza si
ę
w przestrzeni
ze stał
ą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
„v”.
-v jest pr
ę
dko
ś
ci
ą
fali
- a=vt okre
ś
la drog
ę
jak
ą
przebywa fala w czasie t
Fala jest funkcj
ą
czasu i przestrzeni.
Ruch falowy wyst
ę
puje wtedy, kiedy zaburzenie w punkcie A w czasie t
o
determinuje
to co zdarzy si
ę
w punkcie B w czasie t>t
o
.
Tak wi
ę
c ruch falowy opisuje dowolna funkcja, której argumentem jest wyra
Ŝ
enie
ω
1,2
=x±vt
x
( )
f x
(
)
f x a
−
(
)
f x a
+
a
a
−
0
Fale elektromagnetyczne
-f(x-vt) fala biegn
ą
ca w kierunku + osi x ( fala pierwotna )
-f(x+vt) fala biegn
ą
ca w kierunku - osi x ( fala odbita, powrotna )
Sprawdzimy,
Ŝ
e funkcja u=f(
ω
1,2
)=f(x±vt) spełnia równanie
2
2
2
2
2
1
0
u
u
u
x
v
t
∂
∂
=
⇒
=
∂
∂
□
1,2
1,2
1,2
2
2
2
1,2
2
2
2
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
1,2
2
2
1,2
2
2
1,2
1,2
2
2
2
2
2
1,2
1,2
2
2
2
2
2
2
1,2
1,2
(
)
(
)
(
)
(
)
1
u
f
f
x
x
u
f
f
f
x
x
x
u
f
f
v
t
t
u
f
f
v
v
t
t
t
f
f
v
v
v
f
f
v
v
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
∂
∂
∂
∂
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
=
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
= ±
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
±
= ±
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= ± ±
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
cbdo
Fale elektromagnetyczne
Poniewa
Ŝ
takie równanie opisuje zarówno pole elektryczne jak i magnetyczne to
Wnioskujemy,
Ŝ
e pola te rozprzestrzeniaj
ą
si
ę
ruchem falowym z pr
ę
dko
ś
ci
ą
1
r
r
c
v
µε
µ ε
=
=
Je
Ŝ
eli fala elektromagnetyczna rozprzestrzenia si
ę
w pró
Ŝ
ni to
9
0
7
0
8
1
10
36
4
10
3 10
F
m
H
m
m
v
c
s
ε
µ
−
−
=
Π
= Π ⋅
= ⋅
=
Fale elektromagnetyczne
Fala elektromagnetyczna w
ś
rodowisku nieprzewodz
ą
cym (
γ
=0)
2
2
2
2
2
2
0
0
H
H
H
t
E
E
E
t
µε
µε
∂
∇
=
=
∂
∂
∇
=
=
∂
□
□
Układ ten jest układem 6 równa
ń
dla funkcji skalarnych
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
x
x
x
x
H
H
H
H
x
y
z
v
t
∂
∂
∂
∂
+
+
=
∂
∂
∂
∂
Równanie te s
ą
w ogólnym przypadku trudne do rozwi
ą
zania zarówno metodami
analitycznymi jak i numerycznymi.
Przyjmujemy pewne uproszczenia.
Fala płaska spolaryzowana liniowo ( TEM )
Fala płaska – fala w której wektory drgaj
ą
w płaszczy
ź
nie prostopadłej do kierunku
rozchodzenia si
ę
fali ( nie wyst
ę
puj
ą
drgania w kierunku rozchodzenia si
ę
fali ).
E
i
H
Fale elektromagnetyczne
E
i
H
Załó
Ŝ
my,
Ŝ
e fala rozchodzi si
ę
wzdłu
Ŝ
osi „z”, to wówczas składowe H
z
=E
z
=0
Udowodnimy pó
ź
niej,
Ŝ
e w fali płaskiej wektory s
ą
wzajemnie prostopadłe.
Fala spolaryzowana liniowo - taka fala dla, której mo
Ŝ
liwy jest wybór osi x i y taki,
Ŝ
e
wektor pala elektrycznego drga wzdłu
Ŝ
osi x a wektor pola magnetycznego drga
wzdłu
Ŝ
osi y i wówczas:
z
x
y
x
y
E
E i
H
H j
=
=
Fale elektromagnetyczne
Wówczas równania falowe redukuj
ą
si
ę
do układu dwóch równa
ń
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
0
1
0
y
y
x
x
H
H
z
v
t
E
E
z
v
t
∂
∂
−
=
∂
∂
∂
∂
−
=
∂
∂
a równania Maxwell’a redukuj
ą
si
ę
do równa
ń
:
,
0
y
x
x
x
y
x
H
E
E
E
zaloŜylismy Ŝe
z
t
t
H
E
z
t
γ
ε
ε
γ
µ
∂
∂
∂
−
=
+
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
−
=
∂
∂
Fale elektromagnetyczne
Przyj
ę
cie zało
Ŝ
enia fali TEM upraszcza w znacznym stopniu równania falowe jak i równania
Maxwell’a.
Kiedy takie zało
Ŝ
enie jest dopuszczalne ?
Ź
ródłem fali elektromagnetycznej s
ą
najcz
ęś
ciej przewody z pr
ą
dem lub anteny.
Przewód prostoliniowy:
⊕
E
H
x
y
z
W przypadku promieniowania z odległego
ź
ródła, fala ma charakter kulisty.
Mały wycinek kuli mo
Ŝ
na potraktowa
ć
jako płaski je
Ŝ
eli r jest du
Ŝ
e
Fala wnika do przewodu
Fale elektromagnetyczne
Fala pierwotna i powrotna
Analiz
ę
przeprowadza si
ę
w ten sposób,
Ŝ
e jedno z pól znajduje si
ę
z równania falowego
a drugie pola z równania Maxwell’a.
Niech równanie falowe opisuje pole elektryczne
2
2
2
2
2
1
x
x
E
E
z
v
t
∂
∂
=
∂
∂
Równanie to ma ogólne rozwi
ą
zanie w postaci
( , )
(
)
(
)
x
E z t
f z
vt
g z
vt
=
−
+
+
gdzie funkcje f i g s
ą
w badanym obszarze ci
ą
głe i dwukrotnie ró
Ŝ
niczkowalne
f(z-vt) – fala pierwotna, padaj
ą
ca
g(z+vt) – fala powrotna, odbita ( wyst
ę
puje wtedy kiedy fala pierwotna napotyka na
przeszkod
ę
i nast
ę
puje cz
ęś
ciowe lub całkowite odbicie – np. granica dwóch o
ś
rodków
Fale elektromagnetyczne
Pole magnetyczne obliczamy z równania Maxwell’a
,
0
y
x
x
x
H
E
E
E
zaloŜylismy Ŝe
z
t
t
γ
ε
ε
γ
∂
∂
∂
−
=
+
=
=
∂
∂
∂
1
2
1
2
1
2
x
E
f
g
f
g
v
v
t
t
t
ω
ω
ω
ω
ω
ω
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
+
= −
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
1
2
1
2
y
H
f
g
f
g
v
z
ε
ε
ω
ω
µ ω
ω
∂
∂
∂
∂
∂
=
−
=
−
∂
∂
∂
∂
∂
zatem
[
]
1
1
1
2
2
2
y
f
f
f
z
z
g
g
g
z
z
H
f
g
z
z
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ε
µ
∂
∂
∂
∂
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
−
∂
∂
z uwagi na fakt,
Ŝ
e
[
]
( , )
(
)
(
)
y
H
z t
f z
vt
g z
vt
ε
µ
=
−
−
+
Fale elektromagnetyczne
Pole magnetyczne jest tak
Ŝ
e kombinacj
ą
liniow
ą
fali pierwotnej i powrotnej.
Przyjmuj
ą
c oznaczenie:
1
1
( , )
(
)
( , )
(
)
x
y
E
z t
f z
vt
fala
pierwotna
H
z t
f z vt
ε
µ
=
−
=
−
2
2
( , )
(
)
( , )
(
)
x
y
E
z t
g z
vt
fala
powrotna
H
z t
g z
vt
ε
µ
=
+
= −
+
1
2
1
2
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
x
x
x
y
y
y
E z t
E
z t
E
z t
H
z t
H
z t
H
z t
=
+
=
+
zatem
Impedancj
ą
falow
ą
ś
rodowiska b
ę
dziemy nazywa
ć
stosunek nat
ęŜ
enia pola elektrycznego fali padaj
ą
cej do
nat
ęŜ
enia pola magnetycznego fali pierwotnej.
1
2
1
2
E
E
Z
dla
srodowiska
dielektrycznego
H
H
µ
ε
=
= −
=
dla pró
Ŝ
ni Z
0
=120
ΠΩ
=377
Ω
Fale elektromagnetyczne
Fala okresowa
Ze wszystkich mo
Ŝ
liwych funkcji opisuj
ą
cych fal
ę
elektromagnetyczn
ą
szczególne znaczenie maj
ą
funkcje
okresowe, czyli spełniaj
ą
ce warunek:
[
]
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
f z
vt
f z
v t T
g z
vt
g z
v t T
−
=
−
+
+
=
+
+
gdzie T – okres funkcji
Poniewa
Ŝ
zarówno zmienna przestrzenna z jak i zmienna czasowa t s
ą
argumentami tej samej
funkcji to wykres
f(z
0
-vt)
i
f(z-vt
0
)
maj
ą
ten sam kształt. Okresowo
ść
wi
ę
c dotyczy tak
Ŝ
e
zmiennej przestrzennej
f [z-v(t+T)]=f [(z-
λ
)-vt].
Po przyrównaniu argumentów otrzymamy :
1
2
2
v T
T
f
v
v
f
λ
ω
λ
ω
= ⋅
Π
=
=
=
= Π
Fale elektromagnetyczne
Fale harmoniczne – podklasa fal okresowych opisanych funkcj
ą
sinus lub cosinus
Fale okresowe mog
ą
by
ć
traktowane jako superpozycja fal harmonicznych je
Ŝ
eli
spełniaj
ą
nast
ę
puj
ą
ce warunki:
- funkcja okresowa musi spełnia
ć
warunki Dirichleta
Twierdzenie
Przypu
ść
my,
Ŝ
e f:R
→
R jest funkcj
ą
okresow
ą
o okresie T.
Je
ś
li f spełnia nast
ę
puj
ą
ce trzy warunki (zwane warunkami Dirichleta):
1.funkcja f jest bezwzgl
ę
dnie całkowalna, tzn.:
,
2.funkcja f w przedziale jednego okresu ma sko
ń
czon
ą
liczb
ę
maksimów lokalnych
i minimów lokalnych,
3.funkcja f w przedziale jednego okresu posiada sko
ń
czon
ą
liczb
ę
punktów
nieci
ą
gło
ś
ci 1 rodzaju,
to f ma reprezentacj
ę
w postaci szeregu Fouriera.
2
2
( )
T
T
f x
−
< ∞
∫
- warunki rozchodzenia si
ę
fal musz
ą
by
ć
niezale
Ŝ
ne od cz
ę
stotliwo
ś
ci
Fale elektromagnetyczne
k
N
j
N
i
N
t
z
y
x
N
z
y
x
+
+
=
)
,
,
,
(
)
sin(
)
,
,
,
(
p
xm
x
t
N
t
z
y
x
N
ψ
ω
+
=
p
j
xm
xm
e
N
z
y
x
N
ψ
=
)
,
,
(
Wektory zespolone
niech
zakładamy,
Ŝ
e
Takiej funkcji mo
Ŝ
emy jednoznacznie przyporz
ą
dkowa
ć
warto
ść
zespolon
ą
oraz funkcj
ę
zespolon
ą
)
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
,
(
p
t
j
xm
t
j
xm
xm
e
z
y
x
N
e
z
y
x
N
t
z
y
x
N
ψ
ω
ω
+
=
=
sk
ą
d
{
}
)
,
,
,
(
Im
)
,
,
,
(
t
z
y
x
N
t
z
y
x
N
xm
x
=
Oznaczenia:
2
2
2
ln
,
zm
ym
xm
m
m
p
j
m
m
m
t
j
m
N
N
N
N
czasie
w
a
maksyma
wartośa
wektora
a
rzeczywist
amplituda
N
począocząt
faza
e
N
N
wektora
zespolona
wartośa
N
e
N
N
zespolony
wektor
N
wektor
N
p
+
+
=
−
−
=
=
ψ
ψ
ω
Fale elektromagnetyczne
E
e
E
E
e
D
D
e
E
E
H
e
H
H
e
B
B
e
H
H
t
j
m
t
j
m
t
j
m
t
j
m
t
j
m
t
j
m
ε
ε
µ
µ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Dla fali harmonicznej, wektory nat
ęŜ
e
ń
pól i wektory indukcji mo
Ŝ
emy zapisa
ć
w postaci zespolonej
Wykorzystuj
ą
c wektory zespolone równania Maxwell’a przyjm
ą
posta
ć
H
j
t
B
E
rot
E
j
t
D
j
H
rot
ωµ
ωε
γ
−
=
∂
∂
−
=
+
=
∂
∂
+
=
)
(
Co daje równania
(
)
m
m
m
m
rot H
j
E
rot E
j
H
γ
ωε
ωµ
= +
= −
Je
Ŝ
eli fala harmoniczna jest fal
ą
płask
ą
i spolaryzowan
ą
liniowo, to
( )
( )
m
my
m
mx
H
H
z
E
E
z
=
=
Fale elektromagnetyczne
Wówczas równania przyjmuj
ą
posta
ć
(
)
(
)
my
mx
mx
my
H
j
E
z
E
j
H
z
γ
ωε
ωµ
∂
−
=
+
∂
∂
−
= −
∂
Równanie falowe dla wektorów zespolonych
2
2
2
2
2
(
)
m
m
H
H
H
t
t
H
j
H
µγ
µε
ωµγ ω µε
∂
∂
∇
=
+
∂
∂
∇
=
+
Dla fali płaskiej , spolaryzowanej liniowo równanie falowe ma posta
ć
2
2
2
(
)
my
my
H
j
H
z
ωµγ ω µε
∂
=
+
∂
Wprowadzamy oznaczenie
2
1
j
m
stala
propagacji
ωµγ ω µε
−
Γ =
−
Fale elektromagnetyczne
2
2
m
m
H
H
∇
= Γ
Dla fali płaskiej spolaryzowanej liniowo
2
2
2
0
my
my
H
H
z
∂
− Γ
=
∂
Fala harmoniczna w
ś
rodowisku nieprzewodz
ą
cym
Rozwi
ą
zanie ogólne równania zapisujemy w postaci sumy funkcji hiperbolicznych
1
2
( )
my
H
z
C ch z
C sh z
=
Γ +
Γ
gdzie C
1
i C
2
stałe całkowania
je
Ŝ
eli
2
0
j
γ
ω µε
ω µε
=
⇒
Γ = −
=
Wielko
ść
v
ω
β ω µε
=
=
nazywamy stał
ą
fazow
ą
[ ]
1
1
rad
m
β
=
Poniewa
Ŝ
wówczas
cos
sin
ch z
chj z
sh z
shj z
j
β
β
β
β
Γ =
=
Γ =
=
2
2
x
x
x
x
e
e
shx
e
e
chx
−
−
−
=
+
=
Fale elektromagnetyczne
1
2
( )
cos
sin
my
H
z
C
z
jC
z
β
β
=
+
poniewa
Ŝ
{
}
( , )
Im
( )
j t
my
y
H
z t
H
z e
ω
=
to
1
2
( , )
cos
sin
sin
cos
y
H
z t
C
z
t
C
z
t
β
ω
β
ω
=
+
wykorzystuj
ą
c to
Ŝ
samo
ść
trygonometryczn
ą
[
]
[
]
1
sin cos
sin(
) sin(
)
2
1
cos sin
sin(
) sin(
)
2
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
=
+ +
−
=
+ −
−
1
2
( , )
sin(
)
sin(
)
y
H
z t
A
z
t
A
z
t
β
ω
β
ω
=
−
+
+
zapisuj
ą
c
[
]
z
t
z
t
z
vt
ω
β
ω β
β
β
=
=
∓
∓
∓
1
2
( , )
sin[ (
)]
sin[ (
)]
y
H
z t
A
z
vt
A
z
vt
β
β
=
−
+
+
Fale elektromagnetyczne
Pole elektryczne wyznaczamy korzystaj
ą
c z poj
ę
cia impedancji falowej
1
2
( , )
{
sin[ (
)]
sin[ (
)]}
x
E z t
A
z
vt
A
z
vt
µ
β
β
ε
=
−
−
+
Najwa
Ŝ
niejsze cechy fali harmonicznej płaskiej i spolaryzowanej liniowo:
-zachowuje stał
ą
amplitud
ę
pola elektrycznego i magnetycznego ( brak tłumienia )
- pole elektryczne i magnetyczne s
ą
w fazie
Fale elektromagnetyczne
••••
Fale radiowe:
- cz
ę
stotliwo
ś
ci rz
ę
du kiloherców i megaherców;
- długo
ś
ci rz
ę
du kilometrów i metrów;
••••
Mikrofale:
- cz
ę
stotliwo
ś
ci rz
ę
du gigaherców (109 Hz);
- długo
ś
ci rz
ę
du centymetrów i milimetrów;
•
Podczerwie
ń
:
- cz
ę
stotliwo
ś
ci 1011 do 1014 Hz;
- długo
ś
ci milimetrowe do mikrometrowych;
•
Ś
wiatło widzialne:
- 400
÷
800 nm
•
Ultrafiolet:
- 10
÷
400 nm
(nadfiolet)
•
Promieniowanie rentgenowskie (X):
- 0,005
÷
10 nm
•
Promieniowanie gamma (
γ
):
- długo
ś
ci poni
Ŝ
ej 10-12 nm
