Moduł 6 – Wzrost długookresowy
W okresie długim wzrost gospodarczy zależy od czynników podażowych, zupełnie
odmiennie niż w okresie krótkim, w którym siłę napędową gospodarki stanowiły czynniki
popytowe. Funkcja produkcji, znana z mikroekonomii, stanowi podstawę długookresowych
modeli wzrostu gospodarczego. Dlatego też rozumowanie nasze rozpoczniemy od krótkiego
opisu właściwości funkcji produkcji.
Ogólna postad funkcji produkcji przedstawia się następująco:
Y=f (K, N),
gdzie:
K – nakłady kapitałowe
N – nakłady pracy (zatrudnienie)
Funkcja produkcji jest rosnąca zarówno względem kapitału, jak i zatrudnienia. Ceteris paribus
im wyższy poziom kapitału tym wyższy poziom produkcji (dochodu), im wyższy poziom
zatrudnienia tym wyższy poziom produkcji (dochodu), co można zapisad:
Dla celów przedstawienia funkcji produkcji często jest wykorzystywana - ze względu na jej
właściwości - funkcja Cobba-Douglasa. Funkcja produkcji wyrażona za pomocą funkcji Cobba-
Douglasa przedstawia się następująco:
gdzie:
A – postęp technologiczny
0
0
N
Y
K
Y
N
AK
Y
0
1
,
0
A
Mówimy, że ta funkcja jest jednorodna stopnia α+β.
Przykład
Mówimy, że funkcja jest jednorodna stopnia γ (gamma) jeżeli pomnożenie każdego z
argumentów funkcji przez dowolną liczbę n spowoduje zmianę wartości funkcji w proporcji
n
γ
. Na przykład kiedy funkcja jest jednorodna trzeciego stopnia:
W powyższym przykładzie jeżeli n=2 wówczas wartośd funkcji wzrośnie ośmiokrotnie (2
3
)
podczas gdy każdy z argumentów funkcji wzrasta tylko dwukrotnie.
Stopieo jednorodności funkcji pozwala nam określid charakter tzw. efektów skali.
Jeżeli
1
)
(
, wówczas mamy do czynienia z tzw. rosnącymi efektami skali.
Jeżeli
1
)
(
wówczas mamy do czynienia z tzw. stałymi efektami skali.
Jeżeli
1
)
(
wówczas mamy do czynienia z tzw. malejącymi efektami skali.
Stałe efekty skali – kiedy zmiana wszystkich nakładów prowadzi do proporcjonalnej zmiany
wielkości produkcji.
Malejące efekty skali – kiedy zmiana wszystkich nakładów prowadzi do mniej niż
proporcjonalnej zmiany wielkości produkcji.
Rosnące efekty skali – gdy zmiana wszystkich nakładów prowadzi do więcej niż
proporcjonalnego wzrostu produkcji. Taki przypadek nazywamy korzyściami skali.
Posługując się funkcją produkcji, wykorzystując jej właściwości, dokonamy analizy
długookresowego wzrostu gospodarczego. W tym celu dzielimy funkcję produkcji przez
liczbę zatrudnionych osób w gospodarce i otrzymujemy następującą jej postad:
1
,
,
N
K
f
N
N
N
K
f
N
Y
z
x
x
z
x
f
2
6
,
,
3
z
x
f
n
nz
n
nx
nx
nz
n
nx
f
,
,
2
)
(
6
,
,
3
3
z
x
f
n
nz
n
nx
nx
nz
n
nx
f
,
,
2
)
(
6
,
,
3
3
Zamiast posługiwad się wielkościami absolutnymi - tj. poziomem zagregowanej produkcji od
tego miejsca będziemy posługiwad się terminem produktu na pracownika
N
Y
.
W gospodarce zamkniętej, jak pamiętamy z modelu IS-LM zachodzi tożsamośd: I = S.
Po uwzględnieniu istnienia sektora rządowego w gospodarce tożsamośd powyższa przyjmuje
następującą postad:
I = S + (T – G)
Dla uproszczenia przyjmujemy zasadę zrównoważonego budżetu tj: T = G.
Jednocześnie keynesowskiej funkcji oszczędności wyrażona jest następującą formułą: S = s Y
gdzie:
s – stopa oszczędności.
Teraz wracamy do pierwszej tożsamości, wstawiając w miejsce oszczędności powyższy wzór i
jednocześnie uwzględniając czas:
I
t
= s Y
t
Jak widzimy inwestycje są proporcjonalne w stosunku do dochodu, co wykorzystamy w
dalszych rozważaniach.
Jak wiemy z mikroekonomii w okresie długim możemy obserwowad zmiany produkcji
wywołane zmianami kapitału. Analogicznie dla wzrostu PKB w okresie długim będzie mied
znaczenie proces akumulacji kapitału. Czyli ilośd kapitału zgromadzonego w gospodarce w
kolejnych okresach. A zatem właściwe zrozumienie procesu akumulacji kapitału w
gospodarce pozwoli nam lepiej rozpoznad czynniki mające wpływ na wzrost gospodarczy w
okresie długim. Żeby kapitał mógł przyrastad trzeba najpierw odtworzyd jego częśd, która
podlega deprecjacji. Zakładając, ze kapitał podlega procesowi deprecjacji w tempie równym
δ (delta), inaczej δ to stopa deprecjacji kapitału. Oczywiście nie wystarczy odtworzyd części
kapitału równej
t
K
aby zapewnid gospodarce wzrost w okresie długim. Do tego niezbędne
są inwestycje. Powyższe zależności zostały zapisane w następującym równaniu:
Zasób kapitału na początku roku t+1 równy jest zasobowi kapitału na początku roku t dodad
nowy zasób kapitału utworzony w trakcie roku t, to znaczy inwestycje poczynione w trakcie
roku t.
Teraz możemy wykorzystad wcześniej wyprowadzone zależności pomiędzy dochodem a
inwestycjami jednocześnie dzieląc obie strony równania przez liczbę zatrudnionych N:
Następnie przekształcamy powyższe równanie tak by otrzymad po lewej stronie zmianę
zasobu kapitału na zatrudnionego dla dwóch różnych okresów, a zatem otrzymujemy:
Równanie to mówi nam, że zmiana w zasobie kapitału na zatrudnionego zależy od stopy
oszczędności i stopy deprecjacji kapitału.
Jeżeli wykorzystamy pierwotną postad funkcji produktu na zatrudnionego, wówczas
otrzymamy następujące równanie:
Reasumując zmiana kapitału na zatrudnionego zależy od:
t
t
t
I
K
K
1
1
N
Y
s
N
K
N
K
t
t
t
1
1
N
K
N
Y
s
N
K
N
K
t
t
t
t
1
N
K
N
K
sf
N
K
N
K
N
K
f
N
Y
N
K
N
Y
s
N
K
N
K
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
1
1
Inwestycji na zatrudnionego sf(K
t
/N). Poziom kapitału na zatrudnionego w danym
roku wpływa na poziom produktu na zatrudnionego w tym samym roku. Przy danej
stopie oszczędności product na zatrudnionego z kolei determinuje oszczędności na
zatrudnionego a zatem określa poziom inwestycji na zatrudnionego w tym samym
roku.
Deprecjacja na zatrudnionego δ(K
t
/N). Zasób kapitału na zatrudnionego określa
wielkośd deprecjacji na zatrudnionego.
A zatem dochodzimy do wniosku, że jeżeli inwestycje na zatrudnionego będą większe niż
deprecjacja na zatrudnionego nastąpi przyrost kapitału w czasie i odwrotnie.
Równowagę długookresową można zdefiniowad, jako sytuację, w której produkt na
zatrudnionego i kapitał na zatrudnionego już nie podlegają zmianom, a zasób kapitału na
zatrudnionego w równowadze wynosi dokładnie tyle, że oszczędności na zatrudnionego są
wystarczające by pokryd deprecjację na zatrudnionego, co można zapisad:
N
K
N
K
sf