v.2009
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
56
Jeśli zauwaŜysz błędy, masz uwagi, uwaŜasz, Ŝe w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeŜeniami pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z góry dziękujemy. Autorzy
METODA PRZEMIESZCZEŃ – część pierwsza
Zestawienie momentów utwierdzenia – „momentów wyjściowych” w belkach, przy róŜnych schematach
obciąŜenia (lewa kolumna – obustronne utwierdzenie, prawa kolumna – jednostronne utwierdzenie),
na rysunkach pokazano rzeczywiste zwroty momentów przywęzłowych.
Rys.5.0.1
v.2009
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
57
Jeśli zauwaŜysz błędy, masz uwagi, uwaŜasz, Ŝe w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeŜeniami pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z góry dziękujemy. Autorzy
Zad. 5.1
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 5.1.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych N, T, M.
Zadanie rozwiązać metodą przemieszczeń.
Rys. 5.1.1.
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny, nieprzesuwny –
( )
1
g
n
ϕ =
.
Układ podstawowy metody przemieszczeń (UPMP) – schemat geometrycznie wyznaczalny po
wprowadzeniu fikcyjnego więzu w węźle 1 – z przyłoŜonym obciąŜeniem zewnętrznym przedstawiono na
rysunku 5.1.2, zaznaczono rzeczywiste zwroty wyjściowych momentów przywęzłowych od danego
obciąŜenia.
Rys. 5.1.2.
Momenty wyjściowe (wywołane obciąŜeniem zewnętrznym):
2
0
1
0
1
2
0
1
3 4
4 [
]
12
3
16 3
9 [
]
16
3 4
4 [
]
12
C
B
C
M
kNm
M
kNm
M
kNm
⋅
= −
= −
=
⋅ ⋅ =
⋅
=
=
v.2009
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
58
Jeśli zauwaŜysz błędy, masz uwagi, uwaŜasz, Ŝe w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeŜeniami pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z góry dziękujemy. Autorzy
Momenty przywęzłowe w UPMP wywołane jednostkowym wymuszeniem – kątem obrotu
1
ϕ
=
węzła 1.
Rys. 5.1.3.
Sumaryczne momenty przywęzłowe (od obciąŜenia zewnętrznego i obrotu w węźle):
1
1
2
9
4
2
A
B
M
EI
M
EI
M
EI
ϕ
ϕ
ϕ
=
= +
= − +
1
1
1
4
2
4
B
C
C
M
EI
M
EI
ϕ
ϕ
= − +
= +
Niewiadomą metody przemieszczeń, kąt obrotu
ϕ
węzła 1, obliczymy z równania równowagi –
zerowania się reakcji w fikcyjnym więzie. Równanie to moŜna tu rozumieć jako zerowania się sumy
momentów
w
przekrojach
przywęzłowych
prętów
wychodzących
z
węzła
1:
1
1
1
1
0
A
B
C
M
M
M
M
Σ
=
+
+
=
.
Stąd:
1
5 5
0
EI
EI
ϕ
ϕ
+
=
⇒
= −
Podstawiając za
ϕ
rzeczywistą wielkość wyznaczymy wartości momentów przywęzłowych:
1
1
1
2
2 [
]
1
9
8 [
]
A
B
M
EI
kNm
EI
M
EI
kNm
EI
= −
⋅
= −
= +
−
=
1
1
1
4
2
6 [
]
1
4
3 [
]
C
C
M
EI
kNm
EI
M
EI
kNm
EI
= − +
−
= −
= +
−
=
Wykresy sił przywęzłowych najłatwiej sporządzić analizując równowagę kaŜdego elementu osobno.
Rys. 5.1.4.
PowyŜszy schemat umoŜliwia sporządzenie wykresów sił tnących i momentów zginających.
v.2009
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
59
Jeśli zauwaŜysz błędy, masz uwagi, uwaŜasz, Ŝe w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeŜeniami pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z góry dziękujemy. Autorzy
Celem sporządzenia wykresu sił normalnych zapisujemy równania równowagi wyciętego węzła 1.
Rys. 5.1.5.
1
1
1
0
0
6, 75 0, 667
6, 0833 [
]
0
10, 667 [
]
A
y
B
x
C
N
P
N
kN
P
N
kN
=
=
⇒
= −
+
= −
=
⇒
= −
∑
∑
Rys. 5.1.6.
v.2009
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
60
Jeśli zauwaŜysz błędy, masz uwagi, uwaŜasz, Ŝe w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeŜeniami pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z góry dziękujemy. Autorzy
Zad. 5.2
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rysunku 5.2.1. Sporządzić wykresy momentów zginających.
Rys. 5.2.1.
Układ jest dwukrotnie geometrycznie niewyznaczalny, nieprzesuwny:
1
2
2 (
,
)
g
n
ϕ ϕ
=
Układ podstawowy metody przemieszczeń (UPMP) – schemat geometrycznie wyznaczalny po
wprowadzeniu fikcyjnych więzów w węzłach 1 i 2 – z przyłoŜonym obciąŜeniem zewnętrznym
przedstawiono na rysunku 5.2.2, zaznaczono rzeczywiste zwroty wyjściowych momentów przywęzłowych
od danego obciąŜenia.
Rys. 5.2.2.
v.2009
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
61
Jeśli zauwaŜysz błędy, masz uwagi, uwaŜasz, Ŝe w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeŜeniami pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z góry dziękujemy. Autorzy
Momenty wyjściowe:
0
0
1
1
2
0
0
12
21
0
13
8 4
4 [
]
4 [
]
8
3 4
4 [
]
4 [
]
12
2 [
]
A
A
M
kNm
M
kNm
M
kNm
M
kNm
M
kNm
⋅
=
=
= −
⋅
= −
= −
=
=
Przywęzłowe momenty zginające w układzie geometrycznie wyznaczalnym wywołane jednostkowymi
wymuszonymi kątami obrotu:
1
2
i
ϕ
ϕ
, odpowiednio węzłów 1 i 2 (patrz rys 5.2.3).
Rys.5.2.3. Sumaryczne momenty przywęzłowe
1
1
12
1
2
13
21
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
4
4
2
2
4
2
4
1
4
2
2
A
B
C
A
C
M
EI
M
EI
EI
M
M
EI
EI
M
EI
M
EI
M
EI
M
EI
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
= +
= − +
+
=
= +
+
=
=
= − +
=
Równania zerowania się reakcji w fikcyjnych więzach – równania równowagi, zapisano poniŜej:
1
1
12
13
1
2
1
2
2
21
2
2
1
2
1
2
0
2 3
0
2
3
(1)
0
4
7
0
4
7
(2)
A
B
C
M
M
M
M
EI
EI
EI
M
M
M
M
EI
EI
EI
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Σ
=
+
+
=
⇒
+
+
=
+
= −
Σ
=
+
+
=
⇒
+
+
=
+
= −
Z rozwiązania (1), (2) otrzymamy:
1
2
1
2
EI
ϕ ϕ
=
= −
v.2009
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
62
Jeśli zauwaŜysz błędy, masz uwagi, uwaŜasz, Ŝe w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeŜeniami pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z góry dziękujemy. Autorzy
Wartości momentów przywęzłowych otrzymujemy z superpozycji trzech stanów obciąŜenia:
1
12
13
21
2
2
1
2
4 0,5
3,5 [
]
4 1 0, 5
5,5 [
]
2 [
]
4 0, 5 1
2,5 [
]
0, 5 [
]
2 [
]
4 0, 25
4, 25 [
]
1[
]
A
B
C
A
C
M
kNm
M
kNm
M
kNm
M
kNm
M
kNm
M
kNm
M
kNm
M
kNm
= +
=
= − − −
= −
=
= −
− =
= −
= −
= − −
= −
= −
Rozwiązanie – końcowe wykresy momentów zginających.
Rys.5.2.4
v.2009
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
63
Jeśli zauwaŜysz błędy, masz uwagi, uwaŜasz, Ŝe w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeŜeniami pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z góry dziękujemy. Autorzy
Zad. 5.3
Dany jest układ ramowy przedstawiony na rys. 5.3.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych N, T, M dla
układu poddanego nierównomiernemu ogrzaniu pręta A-1.
Dane:
40
t
d
g
t
t
C
∆ = − =
o
,
5
1
2
10 [deg ],
2000
,
0, 2
t
EI
kNm
h
m
const
α
−
−
=
=
=
=
.
Rys. 5.3.1.
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny, nieprzesuwny.
1( )
g
n
ϕ
=
Układ podstawowy metody przemieszczeń (UPMP) – schemat geometrycznie wyznaczalny po
wprowadzeniu fikcyjnego więzu w węźle 1 – z momentami przywęzłowymi będącymi skutkiem działania
przyłoŜonego obciąŜenia zewnętrznego przedstawiono na rysunku 5.3.2, zaznaczono rzeczywiste zwroty
wyjściowych momentów przywęzłowych od danego obciąŜenia.
Rys. 5.3.2.
v.2009
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
64
Jeśli zauwaŜysz błędy, masz uwagi, uwaŜasz, Ŝe w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeŜeniami pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z góry dziękujemy. Autorzy
Momenty wyjściowe:
5
0
1
0
1
10
40
2,5
5000
10 [
]
0, 2
10 [
]
t
A
A
t
M
EI
kNm
h
M
kNm
α
−
∆
⋅
= −
= −
⋅
= −
=
Momenty przywęzłowe w UPMP wywołane jednostkowym wymuszeniem – kątem obrotu
1
ϕ
=
węzła 1.
Rys. 5..3.
Sumaryczne momenty przywęzłowe:
1
1
1
1
1
10
2
2
10
0, 5
A
B
C
A
B
M
EI
M
EI
M
EI
M
EI
M
EI
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
+
=
=
= − +
=
Równanie zerowania się reakcji w fikcyjnym więzie – równowagi:
1
1
1
1
0
A
B
C
M
M
M
M
Σ
=
+
+
=
Stąd:
2
10 5
0
EI
EI
ϕ
ϕ
+
=
⇒
= −
Wartości momentów przywęzłowych po podstawieniu rzeczywistej wielkości
ϕ
:
1
1
1
1
1
10 4
6 [
]
2 [
]
4 [
]
10 2
12 [
]
1[
]
A
B
C
A
B
M
kNm
M
kNm
M
kNm
M
kNm
M
kNm
=
− =
= −
= −
= − − = −
= −
v.2009
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
65
Jeśli zauwaŜysz błędy, masz uwagi, uwaŜasz, Ŝe w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeŜeniami pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z góry dziękujemy. Autorzy
Rozwiązanie
Rys. 5.3.4
Rys. 5.3.5
Siły normalne w elementach 1 – A i 1 – B obliczamy rozpatrując równowagę węzła 1:
1
1
1
1
1
0
0, 75 0, 72 0,8
0
0, 038 [
]
0
0, 6
0,96 1, 333
0
0, 396 [
]
X
A
A
Y
A
B
B
P
N
N
kN
P
N
N
N
kN
Σ
=
⇒
−
+
=
⇒
= −
Σ =
⇒
+
−
−
=
⇒
= −
v.2009
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
66
Jeśli zauwaŜysz błędy, masz uwagi, uwaŜasz, Ŝe w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeŜeniami pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z góry dziękujemy. Autorzy
Zad. 5.4
Dana jest belka ciągła przedstawiona na rys.5.4.1. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych. Zadanie
rozwiązać metodą sił i metoda przemieszczeń.
Rys. 5.4.1
Metoda sił
Stopień statycznej niewyznaczalności układu
1
n
=
Przyjmujemy układ podstawowy metody sił (UPMS) odrzucając więz wewnętrzny – powstaje przegub.
Rys. 5.4.2
Zakładamy, Ŝe obciąŜenie zewnętrzne (moment skupiony przyłoŜony w węźle 1) działa po lewej stronie
przegubu powstałego po przyjęciu UPMS.
Stan obciąŜenia zewnętrznego
Rys. 5.4.3
Stan
1
1
X
=
Rys. 5.4.4
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciąŜeniem zewnętrznym
0
1
10
1
1
2
14
14 6
1
2
2
3
L
M M
ds
EI
EI
EI
δ
=
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
∫
- wywołane nadliczbową
1
1
X
=
1
1
11
1
1
2
1
1
2
7
6 1
1
4 1
1
2
2
3
2
3
3
L
M M
ds
EI
EI
EI
EI
δ =
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
∫
v.2009
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
67
Jeśli zauwaŜysz błędy, masz uwagi, uwaŜasz, Ŝe w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeŜeniami pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z góry dziękujemy. Autorzy
Z równania zgodności przemieszczeń
1
10
11
1
0
X
δ
δ
δ
=
+
=
otrzymujemy
10
1
11
6 [
]
X
kNm
δ
δ
= −
= −
Wykresy
Rys. 5.4.5
Metoda przemieszczeń
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny.
Momenty wyjściowe są zerowe (brak obciąŜeń przęsłowych)
Momenty przywęzłowe pochodzące od kąta obrotu
1
ϕ
=
:
Rys. 5.4.6
Sumaryczne momenty przywęzłowe:
1
1
;
0, 75
A
B
M
EI
M
EI
ϕ
ϕ
=
=
Równanie równowagi :
Rys. 5.4.7
1
1
1
14
0
A
B
M
M
M
Σ
=
+
+
=
v.2009
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
68
Jeśli zauwaŜysz błędy, masz uwagi, uwaŜasz, Ŝe w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeŜeniami pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z góry dziękujemy. Autorzy
Stąd:
8
1, 75
14
0
EI
EI
ϕ
ϕ
+
=
⇒
= −
Wartości końcowych momentów przywęzłowych:
1
1
8 [
]
6 [
]
A
B
M
kNm
M
kNm
= −
= −
Wykresy
Rys. 5.4.8
Zad. 7.5
Dana jest belka ciągła przedstawiona na rys.5.5.1. Rozwiązać układ stosując metodę przemieszczeń.
Dane:
2
5
1
40000
;
20
0, 2 ;
10
deg
o
A B
d
g
t
EI
kNm
t
t
t
C
h
m
α
−
−
−
=
∆
= − =
=
=
Rys. 5.5.1
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny.
Układ podstawowy metody przemieszczeń (UPMP) – schemat geometrycznie wyznaczalny po
wprowadzeniu fikcyjnego więzu w węźle B – z momentem przywęzłowym będącym skutkiem działania
przyłoŜonego obciąŜenia zewnętrznego przedstawiono na rysunku 5.5.2, zaznaczono rzeczywisty zwrot
wyjściowego momentu przywęzłowego od danego obciąŜenia
Rys. 5.5.2.
v.2009
Zadania z Mechaniki Budowli M.K. Jasina, M. Skowronek
69
Jeśli zauwaŜysz błędy, masz uwagi, uwaŜasz, Ŝe w rozwiązaniach warto coś dodać czy uzupełnić, podziel
się swoimi spostrzeŜeniami pisząc na adres e-mail: jasina@pg.gda.pl, z góry dziękujemy. Autorzy
Moment wyjściowy
5
0
3
10
20
6000
60 [
]
2
0, 2
t
BA
t
M
EI
kNm
h
α
−
∆
⋅
=
=
⋅
=
Momenty przywęzłowe wywołane jednostkowym wymuszeniem
1
ϕ
=
Rys. 5.5.3.
Sumaryczne momenty przywęzłowe:
60 0, 6
;
BA
BC
M
EI
M
EI
ϕ
ϕ
=
+
⋅
=
Równanie zerowania się reakcji w fikcyjnym więzie – równowagi:
0
B
BA
BC
M
M
M
Σ
=
+
=
Stąd:
37, 5
60 1, 6
0
EI
EI
ϕ
ϕ
+
=
⇒
= −
Wartości momentów przywęzłowych po podstawieniu rzeczywistej wielkości
ϕ
:
60 22, 5
37,5 [
]
37,5 [
]
BA
BC
M
kNm
M
kNm
=
−
=
= −
Rys. 5.5.4.