Testowanie hipotez
hipotezy parametryczne
Katedra Metod Ilościowych
Testowanie hipotez
Testowanie
hipotez statystycznych, obejmuje zasady
i metody
sprawdzania
określonych przypuszczeń
(założeń), odnośnie parametrów lub postaci
rozkładu cech statystycznych populacji generalnej
na podstawie wyników z próby.
Przykłady hipotez
Producent opon twierdzi, że nowy typ opony ma trwałość
większą niż 60000 km. Jeśli µ (km) oznacza wartość średnią
trwałości opon, to hipotezą producenta jest
Socjolog twierdzi, że dzieci w miastach mają lepsze wyniki
w nauce niż dzieci poza ośrodkami miejskimi. Niech p
1
(p
2
)
oznacza frakcję dzieci w miastach (poza miastami) o
ś
rednich ocenach rocznych co najmniej dobrych. Hipotezą
socjologa jest
Producent twierdzi, że średni czas bezawaryjnej pracy
drukarki to 200 godzin. Wówczas
Sprzedawca przypuszcza, że miesięczna wartość sprzedaży
ma rozkład normalny. Wówczas
60000
:
>
µ
H
2
1
:
p
p
H
>
200
:
>
µ
H
),
,
(
~
:
σ
µ
N
X
H
,
∞
<
<
∞
−
µ
∞
<
<
σ
0
Źródło: http://pjwstk.wafel.com/sad/sad11pp(02).doc
Podstawowe pojęcia
Hipoteza statystyczna
– każdy sąd dotyczący nieznanego
rozkładu badanej cechy w populacji. Przypuszczenie to
może dotyczyć postaci rozkładu lub jego parametrów.
Hipotezy parametryczne – dotyczą sądów o wartościach
parametrów rozkładu
Hipotezy nieparametryczne – dotyczą innych przypuszczeń niż
wartości parametrów w szczególności dotyczą postaci rozkładu
Test statystyczny to procedura, która na podstawie próby
losowej pozwala na przyjęcie lub odrzucenie hipotezy
Testowanie hipotez statystycznych
Błędy popełniane przy sprawdzaniu hipotezy – dwa
rodzaje:
Błąd I rodzaju – polegający na
odrzuceniu
hipotezy
słusznej
;
Poziom istotno
ści
α
to
prawdopodobieństwo popełnienia błędu I-go
rodzaju
Testowanie hipotez statystycznych
Błędy popełniane przy sprawdzaniu hipotezy – dwa rodzaje:
Błąd I rodzaju – polegający na
odrzuceniu
hipotezy
słusznej
;
Poziom istotności
α to prawdopodobieństwo popełnienia
błędu I-go rodzaju
Błąd II rodzaju – polegający na
przyj
ęciu
hipotezy
fałszywej –
prawdopodobieństwo tego
błędu ma symbol
β
Decyzja
Hipoteza
Przyjąć
Odrzucić
Prawdziwa
+
Błąd I rodzaju
Fałszywa
Błąd II rodzaju
+
Testowanie hipotez statystycznych
Hipotezą zerową
H
0
nazywamy hipotezę sprawdzaną
(testowaną, weryfikowaną).
Hipotezą alternatywną
H
1
nazywamy hipotezę, którą
jesteśmy skłonni przyjąć, gdy odrzucamy hipotezę H
0
Test statystyczny
jest to reguła postępowania, która
przyporządkowuje wynikom próby losowej decyzję
przyjęcia lub odrzucenia hipotezy H
0
Testy istotności
, które dla zadanego z góry poziom
istotności
α zapewniają możliwie najmniejszą wartość
prawdopodobieństwa
β
.
Testowanie hipotez statystycznych
Sprawdzianem hipotezy
lub
statystyką testową
nazywamy taką statystykę
T
(o znanym rozkładzie), której
wartość
t
policzona na podstawie próby losowej, pozwala
na podjęcie decyzji czy odrzucić hipotezę H
0
.
Zbiorem krytycznym Z
nazywamy zbiór tych wartości
sprawdzianu hipotezy, które powodują odrzucenie
hipotezy H
0
w zależności od postaci hipotezy alternatywnej zbiór krytyczny
może być zbiorem
jednostronnym – prawostronnym albo lewostronnym
lub dwustronnym
Zbiory krytyczne
prawostronny
lewostronny
dwustronny
E
ta
p
y
t
es
to
w
an
ia
h
ip
o
te
z
podjęcie decyzji i sformułowanie odpowiedzi
podjęcie decyzji i sformułowanie odpowiedzi
porównanie wartości statystyki testowej z wartością
krytyczną
porównanie wartości statystyki testowej z wartością
krytyczną
odczytanie wartości krytycznej z odpowiednich tablic
statystycznych
odczytanie wartości krytycznej z odpowiednich tablic
statystycznych
t
α
obliczenie wartości statystyki testowej
obliczenie wartości statystyki testowej
t
wybranie odpowiedniej statystyki testowej
wybranie odpowiedniej statystyki testowej
T
sformułowanie hipotez i określenie poziomu istotności
sformułowanie hipotez i określenie poziomu istotności
H
0
i H
1
α
– parametry liczone na podstawie próby
n – liczebność próbki >30
Test hipotezy o wartości oczekiwanej – duża próba
Hipotezy zerowe i odpowiednie hipotezy alternatywne:
H
0
: E(X) = m
0
H
0
: E(X) = m
0
H
0
: E(X) = m
0
H
1
: E(X) ≠ m
0
H
1
: E(X) > m
0
H
1
: E(X) < m
0
Statystyka testowa
n
s
m
x
T
0
-
=
s
x,
gdzie α – poziom istotności
Test hipotezy o wartości oczekiwanej – duża próba
wartość krytyczna t
α
– odczytana z tablic rozkładu
T~N(0,1) w zależności od typu testu:
dwustronny prawostronny lewostronny
H
1
: E(X) ≠ m
0
H
1
: E(X) > m
0
H
1
: E(X) < m
0
Hipotezę zerową należy
odrzucić
, gdy wartość t statystyki T będzie
2
-
1
=
)
(
Φ
α
t
α
2
2
-
1
=
)
(
Φ
α
t
α
α
t
t >
α
t
t >
α
t
t
-
<
H
0
: E(X) = m
0
H
0
: E(X) = m
0
H
0
: E(X) = m
0
H
1
: E(X) ≠ m
0
H
1
: E(X) > m
0
H
1
: E(X) < m
0
Statystyka testowa
1
-
-
=
0
n
s
m
x
T
Test hipotezy o wartości oczekiwanej – mała próba
n<30
Wartość krytyczna t odczytana z tablic rozkładu Studenta dla n-1 stopni
swobody oraz dla testu
dwustronny prawostronny lewostronny
α
2α
α
n
n
t
t
,
1
-
1
-
>
α
n
n
t
t
2
,
1
-
1
-
>
α
n
n
t
t
2
,
1
-
1
-
-
<
Hipotezę zerową należy
odrzucić,
gdy wartość t statystyki T będzie
gdzie α – poziom istotności
Test hipotezy o frakcji (udziale, procencie) – duża próba
n > 100
X- liczba zdarzeń sprzyjających
wartość krytyczna t
α
– odczytana z tablic
rozkładu T~N(0,1) w zależności od typu
testu:
dwustronny prawostronny lewostronny
H
0
: p = p
0
H
0
: p = p
0
H
0
: p = p
0
H
1
: p ≠ p
0
H
1
: p > p
0
H
1
: p < p
0
Hipotezę zerową należy
odrzucić,
gdy wartość t statystyki T będzie
2
-
1
=
)
(
Φ
α
t
α
2
2
-
1
=
)
(
Φ
α
t
α
n
p
p
p
n
X
T
)
-
1
(
-
=
0
0
0
α
t
t >
α
t
t >
α
t
t
-
<
H
0
: E(X) = E(Y) H
0
: E(X) = (E(Y) H
0
: E(X) = E(Y)
H
1
: E(X) ≠ E(Y)
H
1
: E(X) > E(Y) H
1
: E(X) < E(Y)
Statystyki testowe w zależności od liczebności prób
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
+
2
-
+
+
-
=
n
n
n
n
n
n
s
n
s
n
y
x
T
y
x
Test hipotez o równości wartości oczekiwanych w
dwóch próbach
n
1
< 30, n
2
< 30
Wartość krytyczna t odczytana z
tablic rozkładu Studenta dla n
1
+n
2
-2
stopni swobody, analogicznie jak dla
E(X) dla małej próby
n
1
> 30, n
2
> 30
Wartość krytyczna t
α
odczytana z
tablic rozkładu normalnego
analogicznie jak dla E(X) dla
dużej próby
2
2
1
2
+
-
=
n
s
n
s
y
x
T
y
x
gdzie α – poziom istotności
Test hipotezy o równości frakcji w dwóch dużych próbach
dwustronny prawostronny lewostronny
H
0
: p
1
= p
2
H
0
: p
1
= p
2
H
0
: p
1
= p
2
H
1
: p
1
≠
p
2
H
1
: p
1
> p
2
H
1
: p
1
< p
2
2
-
1
=
)
(
Φ
α
t
α
2
2
-
1
=
)
(
Φ
α
t
α
wartość krytyczna
t
α
– odczytana z
tablic rozkładu
T~N(0,1) w
zależności od typu
testu:
Hipotezę zerową należy
odrzucić
, gdy wartość t statystyki T będzie
α
t
t >
α
t
t >
α
t
t
-
<
n
1
> 100, n
2
> 100
Testowanie hipotez o istotności współczynnika korelacji
r – współczynnik korelacji
wyznaczony z próby
H
0
: r = r
0
H
0
: r = r
0
H
0
: r = r
0
H
1
: r ≠ r
0
H
1
: r > r
0
H
1
: r < r
0
2
-
-
1
=
2
n
r
r
T
Statystyka testowa
Wartość krytyczna t odczytana z tablic rozkładu Studenta dla n-2 stopni
swobody, analogicznie jak dla E(X) dla małej próby
Hipotezę zerową należy
odrzucić
, gdy wartość t statystyki T będzie
α
t
t >
α
t
t >
α
t
t
-
<
Dziękuję za uwagę