1 |
S t r o n a
Dr inż. Remigiusz Nowak
Wydział Energetyki i Paliw
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Modelowanie Matematyczne
Zestaw IIIa
Równania różniczkowe zwyczajnie rzędu I
Równania liniowe
Ogólna postać równania różniczkowego zwyczajnego, liniowego, rzędu I jest następująca:
( )
( )
dy
P x
y
f x
dx
+
⋅ =
(1)
Rozwiązując tego typu równanie, należy obie jego strony pomnożyć przez czynnik całkujący zdefiniowany
jako:
( )
( )
P x dx
x
e
µ
∫
=
(2)
Po przemnożeniu równania (1) przez czynnik całkujący (2) dostajemy
( )
( )
( )
( )
( )
P x dx
P x dx
P x dx
dy
e
P x e
y
e
f x
dx
∫
∫
∫
⋅
+
⋅
⋅ =
⋅
Ze wzoru na pochodną iloczynu wiemy, że zaznaczony obszar to:
( )
P x dx
d
e
y
dx
∫
⋅
Stąd:
( )
( )
( )
P x dx
P x dx
d
e
y
e
f x
dx
∫
∫
⋅
=
⋅
całkujemy obustronnie i dostajemy wynik
Przykład
6
4
x
dy
x
y
x e
dx
−
=
5
4
x
dy
y
x e
dx
x
−
=
Rozwiązanie
4
4
( )
4ln
ln
4
( )
dx
P x dx
x
x
x
x
e
e
e
e
x
µ
−
−
−
−
∫
∫
=
=
=
=
=
czynnik całkujący
4
5
4
4
5
4
4
x
x
dy
dy
x
y
x e
x
x
x y
xe
dx
x
dx
−
−
−
−
−
=
⋅
=
⋅
−
=
4
x
d
x y
xe
dx
−
=
Po obustronnym scałkowaniu:
4
x
x
x y
xe
e
c
−
=
− +
