CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
Def. Mówimy, że funkcja jest ciągła w x
0
jeżeli
Def. Mówimy, że funkcja jest ciągła w przedziale jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału
ODOSOBNIONY PUNKT NIECIĄGŁOŚCI
Def. Odosobnionym punktem nieciągłości nazywamy punkt x
∈
R, w którym funkcja nie jest ciągła, ale
jest ciągła w (sąsiedztwie tego punktu) w pewnym zbiorze (x
0
– , x
0
)
∪
(x
0
, x
0
+ ).
KLASYFIKACJA PUNKTÓW NIECIĄGŁOŚCI
Def. Punkt nieciągłości odosobniony, nazywamy punktem nieciągłości pierwszego rodzaju jeżeli
istnieje skończona granica jednostronna.
Def. Punkt nieciągłości odosobniony, nazywamy punktem nieciągłości drugiego rodzaju jeżeli choć
jedna z granic jednostronnych nie istnieje lub jest granicą niewłaściwą.
WŁASNOŚCI FUNKCJI CIĄGŁYCH
Tw. Jeżeli funkcja ciągła w punkcie x
0
spełnia warunek f (x
0
) > 0 lub f (x
0
) < 0, to istnieje przedział
(x
0
–
δ
, x
0
+
δ
) w którym funkcja przyjmuje wartości (tylko) dodatnie (ujemne).
Tw. Funkcja ciągła w przedziale <a, b> przyjmuje wszystkie wartości leżące pomiędzy f (a) i f (b).
Tw. Funkcja ciągła w przedziale <a, b> przyjmuje w tym przedziale wartość najmniejszą i największą.
POCHODNA FUNKCJI
Def. Mówimy, że funkcja f ma pochodną w punkcie x
0
jeżeli istnieje skończona granica:
Styczna do wykresu y=f(x) w (x
0
,f(x
0
)):
y – f(x
0
) =f’ (x
0
) (x-x
0
)
RÓŻNICZKOWALNOŚĆ FUNKCJI
Tw. Funkcja różniczkowalna w punkcie x
0
jest w tym punkcie ciągła
Przykład:
)
(
)
(
0
lim
0
x
f
x
f
x
x
=
→
h
x
f
h
x
f
h
x
f
)
(
)
(
lim
)
0
(
)
(
'
0
0
0
−
+
→
=
0
0
0
)
(
)
(
lim
)
(
x
x
x
f
x
f
x
x
−
−
→
0
0
*
)
(
'
)
(
*
)
(
)
(
lim[
0
)]
(
)
(
lim[
)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
0
0
0
=
=
−
−
−
⇔
⇔
=
−
⇔
=
→
x
f
x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
1
)
1
lim(
lim
)
0
(
1
)
1
lim(
lim
)
0
(
lim
)
0
(
)
0
(
lim
)
0
(
)
(
=
=
→
−
=
−
=
→
=
−
+
→
=
+
−
h
h
h
h
h
h
h
h
h
f
h
f
h
x
x
f
Nie istnieje pochodna w punkcie 0!
Tw. Jeżeli f i g są różniczkowalne to:
POCHODNA FUNKCJI ODWROTNEJ
Tw. Jeżeli f(x) jest rosnąca (malejąca), istnieje pochodna f ‘(a)
≠
0 , jeżeli b= f (a) to f
–1
(x) jest
różniczkowalna w punkcie b oraz pochodna tej funkcji odwrotnej w punkcie b
Przykład:
POCHODNA FUNKCJI ZŁOŻONEJ
Tw. Jeżeli istnieje pochodna funkcji w punkcie x oraz istnieje pochodna funkcji f w punkcie g(x), to
istnieje pochodna funkcji złożonej fog w punkcie x oraz (fog)’(x)=f’(g(x))*g’(x).
Przykład:
Przykład:
0
)
(
,
)
(
'
)
(
'
*
)
(
)
(
*
)
(
'
)'
)
(
)
(
(
)
3
)
(
'
*
)
(
)
(
*
)
(
'
))'
(
*
)
(
(
)
2
)
(
'
)
(
'
))'
(
)
(
(
)
1
0
0
0
≠
−
=
+
=
±
=
±
x
g
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
)
(
)
(
'
1
))
(
(
'
1
)
(
)'
(
1
1
1
b
f
a
a
f
b
f
f
b
f
−
−
−
=
=
=
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
x
f
x
a
a
x
x
f
a
x
f
x
x
x
x
f
a
a
x
a
ln
)'
(
ln
1
ln
1
ln
1
)'
(log
)
(
)'
(
0
,
1
,
0
log
)
(
)
(
log
)
(
1
1
1
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
>
≠
>
=
=
−
−
−
1
ln
ln
ln
1
*
*
1
*
*
)'
(
)'
(
ln
ln
ln
ln
0
,
,
)
(
−
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
>
∈
=
=
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
x
x
x
x
e
e
x
e
y
x
y
x
y
x
R
x
y
x
x
f
x
x
x
)
1
(ln
'
1
ln
'
ln
ln
ln
ln
0
,
+
=
⇒
+
=
=
=
>
=
x
x
y
x
x
x
y
y
x
x
y
x
y
x
x
y
x
x
x
PRZEDSTAWIENIE PRZYROSTU FUNKCJI
Tw. Jeżeli dziedzina funkcji f zawiera pewne otoczenie (Ux
0
) punktu x
0
oraz istnieje pochodna f ‘ (x
0
),
to dla każdego h takiego, że x + h
∈
Ux
0
zachodzi wzór:
f(x
0
+h)-f(x
0
)=f’(x
0
)*h+
α
(h)*h,
przy czym:
(x
→
0) lim
α
(h)=0.
RÓŻNICZKA FUNKCJI f W PUNKCIE X
0
Def. df (x
0
) = f ’ (x
0
) * h.
h =
∆
x
Def. df (x
0
) f ’ (x
0
) *
∆
x
x
→
df (x)
Przykład:
f (x
0
+h)
≈
f (x
0
) + f ’ (x
0
) * h
więc h = 0,01
TWIERDZENIE DE L’HOSPITALA
Stosujemy tylko kiedy występuje symbol nieoznaczony)
Tw. (Z: - założenie)
są określone i różniczkowalne w
sąsiedztwie punktu x
0
(Sx
0
).
Teza (T) Istnieje:
Przykład:
Przykład:
Przykład:
01
,
4
4
2
1
)
('
)
(
01
,
4
0
0
=
+
=
=
=
h
x
x
x
x
f
x
x
f
0025
,
2
01
,
0
*
4
1
4
01
,
4
=
+
≈
g'
f'
,
g
f
:
Z
)
1
0
)
(
0
g(x)
lim
f(x)
lim
)
x
(x
:
Z
)
2
0
0
±∞
=
=
→
(x)
g'
(x)
'
f
lim
g(x)
f(x)
lim
)
x
(x
istnieje
:
Z
)
3
0
0
=
→
(x)
g'
(x)
'
f
lim
g(x)
f(x)
lim
)
(
0
=
→
x
x
1
1
1
lim
]
0
0
[
1
ln
lim
)
1
(
=
=
=
−
→
x
H
x
x
x
1
]
0
[
lim
)
0
(
ln
0
=
=
=
→
+
x
x
x
e
H
x
x
0
*
)
2
lim(
*
1
)
2
lim(
*
2
1
1
lim
]
[
ln
lim
]
*
0
[
ln
lim
)
0
(
2
1
2
3
2
3
2
1
=
−
=
=
−
=
−
=
∞
∞
=
=
=
∞
=
→
−
−
+
x
x
x
x
x
H
x
x
H
x
x
x
http://notatek.pl/ciaglosc-funkcji-nieciaglosc-w-punkcie-sciaga-z-m
atematyki-na-egzamin-ustny?notatka