1

RUCH DRGAJĄCY 

 

RUCH HARMONICZNY

 

Ruchem harmonicznym , zwanym takŜe ruchem drgającym prostym , nazywamy taki 
ruch drgający , w którym wychylenie jest wprost proporcjonalne do działającej siły. 

Wychylenie

X

r

    jest  wektorem  zaczepionym  w  pozycji  równowagi  i  wskazującym 

połoŜenie ciała drgającego. 

 Amplituda wyraŜa wartość maksymalnego wychylenia (A).  

Zgodnie z definicją , w ruchu harmonicznym musi zachodzić związek: 

 

X

k

F

r

r

−−−−

====

 

 

Znak „-” informuje , Ŝe wektory 

F

r

i 

x

r

 mają zawsze przeciwne zwroty . Korzystając z 

drugiej zasady dynamiki otrzymujemy: 

   

ma

kX

==== −−−−

 

            

a

dV

dt

d x

dt

====

====

2

2

 Przyśpieszenie  jest drugą pochodną połoŜenia po czasie.    

                                                          

m

d x

dt

kX

2

2

==== −−−−

 

             

 

 

                                

                                                   

d x

dt

k

m

X

2

2

0

++++

====

 - róŜniczkowe równanie ruchu 

 

Rozwiązaniem powyŜszego równania jest kaŜda funkcja 

x(t)

 , która je spełnia . Aby 

określić ogólny kształt takiej funkcji  , kierujemy się następującymi przesłankami: 

1. Wychylenie w ruchu harmonicznym zmienia się okresowo , a zatem poszukiwana 
funkcja musi być okresowa. 

2.Maksymalna wartość funkcji  

x(t)

 musi być równa 

A

. 

        

X

 A

 

 

2

3.Ruch moŜe się rozpocząć z kaŜdej pozycji , a zatem 

x(o

) nie musi być równe zeru. 

Wszystkie powyŜsze warunki spełnia funkcja:  

 

X=A sin(

ω

ω

ω

ω

 t + 

ϕ)  

ϕ)  

ϕ)  

ϕ)      

Ustalamy w jakim związku powinny być stałe : 

ω

ω

ω

ω

, k

  i  

m

. 

dx

dt

A

t

====

++++

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ϕϕϕϕ

cos(

)

     

d x

dt

A

t

2

2

2

==== −−−−

++++

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ϕϕϕϕ

sin(

)

 

−−−−

++++

++++

++++

====

A

t

k

m

A

t

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ϕϕϕϕ

ω

ω

ω

ω

ϕϕϕϕ

2

0

sin(

)

sin(

)

 

                                                       

ω

ω

ω

ω

2

====

k

m

 

Ustalamy okres  (T) funkcji  x(t).     

         x (t + T ) = x(t)     

          

((((

))))

[[[[

]]]]

((((

))))

A

t

T

A

t

sin

sin

ω

ω

ω

ω

ϕϕϕϕ

ω

ω

ω

ω

ϕϕϕϕ

++++

++++

====

++++

 

            

ω 

ω 

ω 

ω 

t + 

ω 

ω 

ω 

ω 

T + 

ϕ 

ϕ 

ϕ 

ϕ 

= 

ω 

ω 

ω 

ω 

t + 

ϕ 

ϕ 

ϕ 

ϕ 

+ 2

ππππ    

 

         

T

====

2

ππππ

ω

ω

ω

ω

        ;      

ω

ω

ω

ω

2

====

k

m

            

T

m

k

====

2

ππππ

 

 

Prędkość w ruchu harmonicznym:        

V

dx

dt

====

          

((((

))))

V

A

t

====

++++

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω ϕϕϕϕ

cos

     

Przyspieszenie :                       

((((

))))

a

dV

dt

d x

dt

A

t

====

====

==== −−−−

++++

2

2

2

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ϕϕϕϕ

sin

   

                                     

 

 

 

a

x

==== −−−−ω

ω

ω

ω

2

  

 

Siła :                                                  

F

m

x

==== −−−− ω

ω

ω

ω

2

   

Energia kinetyczna: 

 

((((

))))

((((

))))

[[[[

]]]]

E

mv

mA

t

mA

t

k

====

====

++++

====

−−−−

++++

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ϕϕϕϕ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ϕϕϕϕ

cos

sin

         

((((

))))

E

m

A

x

k

====

−−−−

1

2

2

2

2

ω

ω

ω

ω

 

 

3

Energia całkowita :         

E

E

k

====

.max

           

E

mA

====

1

2

2

2

ω

ω

ω

ω

    

 

Energia potencjalna :      

E

E

E

p

k

==== −−−−

      

E

m

x

p

====

1

2

2

2

ω

ω

ω

ω

   

 

Wszystkie wielkości charakteryzujące ruch harmoniczny są funkcjami czasu. 

Kąt, który określa chwilową wartość kaŜdej z tych wielkości nazywamy fazą. 

                                                     

ω 

ω 

ω 

ω 

t +

 ϕ

 ϕ

 ϕ

 ϕ

     -   faza ruchu

    

 

           

t = 0

⇒

⇒

⇒

⇒

 

ω 

ω 

ω 

ω 

t + 

ϕ 

ϕ 

ϕ 

ϕ = ϕ                    ϕ

= ϕ                    ϕ

= ϕ                    ϕ

= ϕ                    ϕ

   -     faza początkowa      

ZWI

Ą

ZEK RUCHU HARMONICZNEGO Z RUCHEM PO OKR

Ę

GU

 

 
Jeśli  punkt  materialny  porusza  się  ruchem  jednostajnym  po  okręgu,  to  rzut 
prostokątny  tego  punktu  na  kierunek  jednej  ze  średnic  porusza  się  ruchem 
drgającym. MoŜna wykazać, Ŝe jest to ruch harmoniczny.            

 

 

Podobnie  moŜna  określić  prędkość  w  ruchu 

harmonicznym.  Jeśli  punkt  porusza    się  po 
okręgu ze stałą prędkością kątową 

 ω

ω

ω

ω,

 to jego 

rzut  ma  prędkość

V

r

,  równą  składowej 

prędkości  punktu,  skierowanej  w  kierunku 

X

r

. 

 

V = A 

ω

ω

ω

ω

 cos (

α+ϕ)         

α+ϕ)         

α+ϕ)         

α+ϕ)         

 

  

V = A 

ω

ω

ω

ω

 cos ( 

ω 

ω 

ω 

ω 

t + 

ϕ )

ϕ )

ϕ )

ϕ )

   

 
Punkt  poruszający  się  ruchem  jednostajnym 

połoŜenie maksymalnego wychylenia    

(x = A)

 

połoŜenie chwilowe 

 x(t)

  

 

     

połoŜenie początkowe  

x(o)

 

połoŜenie równowagi 

 x = 0

 

   

 x = A sin(

α + ϕ )

α + ϕ )

α + ϕ )

α + ϕ )

    

ω

ω

ω

ω αααα

αααα ω

ω

ω

ω

====

⇒

⇒

⇒

⇒

====

t

t

 

                 x = A sin (

ω 

ω 

ω 

ω 

t + 

ϕϕϕϕ

 )

     

 

V

r

 

 

 

V

r

α+ϕ

α+ϕ

α+ϕ

α+ϕ

ϕϕϕϕ

αααα

ω

ω

ω

ω

A

A

 

 

    

X

r

αααα ϕϕϕϕ

X

A

A

 

 

4

po okręgu doznaje przyspieszenia dośrodkowego:    

                     

a

A

r

==== ω

ω

ω

ω

2

       

Jego rzut ma przyspieszenie równe składowej równoległej do 

r

X

.  

 

              

((((

))))

a

A

====

++++

ω

ω

ω

ω

αααα ϕϕϕϕ

2

sin

 

 

((((

))))

a

A

t

====

++++

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ϕϕϕϕ

2

sin

 

  Uwzględniając przeciwne zwroty 

a

r

 i 

X

r

 

 otrzymujemy:  

a

A

t

==== −−−−

++++

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ϕϕϕϕ

2

sin(

)

   

a

X

==== −−−−ω

ω

ω

ω

2

 

F

ma

F

m

x

====

⇒

⇒

⇒

⇒

==== ω

ω

ω

ω

2

 

         

WAHADŁO MATEMATYCZNE

 

 
Wahadłem matematycznym nazywamy punktową masę zawieszoną na nieskończenie 
cienkiej,  niewaŜkiej  i  nierozciągliwej  nici.  Na  wahadło  wychylone  z  połoŜenia                

równowagi  działa  siła  cięŜkości    mg  .  Jedna  składowa  siły 
cięŜkości  powoduje  naciąg  nici  ,  a  druga  składowa  (F)  -  ruch 
wahadła. Jeśli wychylenie wahadła jest nieznaczne w stosunku do 
długości nici, to ruch wahadła moŜna uwaŜać za ruch drgający.           

F = m g sin 

αααα

                

αααα

αααα

≈≈≈≈

⇒

⇒

⇒

⇒

====

O

x

l

sin

 

         

F

mg

l

x

====

           













−−−−

====

x

l

mg

F

r

r

 

Ruch wahadła jest zatem ruchem harmonicznym. 

k

m g

l

====

 

      

T

m

K

====

2

ππππ

            

T

ml

mg

====

2

ππππ

 

 

  

T

l

g

====

2

ππππ

   

 
Jeśli  wahadło  porusza  się  pod  wpływem  innych  sił,  przy  czym  wypadkowa  sił 
naciągających  nić  wahadła  w  pozycji  równowagi  wynosi     

F

N

,  to  stosując 

   a

      

      x 

              a 
  
    

α+ϕ

  

 

X

r

F

r

αααα

l

l

mg

 

 

5

analogiczne rozumowanie, moŜna wykazać, Ŝe okres wahań takiego wahadła wyraŜa 
się wzorem:   

 

T

ml

F

N

====

2

ππππ

 

  

 

DRGANIA TŁUMIONE

 

 
Drgania tłumione mają miejsce wtedy, gdy na ciało drgające ruchem harmonicznym 
działa siła oporów ruchu wprost proporcjonalna do prędkości ciała. 

 

F

kx

hV

==== −−−−

−−−−

 

 

m

d x

dt

kx

h

dx

dt

2

2

==== −−−−

−−−−

 

 

 

 

 

 

d x

dt

h

m

dx

dt

k

m

X

O

2

2

++++

++++

====

   równanie ruchu 

 

MoŜna wykazać, Ŝe rozwiązaniem tego równania jest funkcja : 
 
 

 

 

 

 

X = A sin (

ω 

ω 

ω 

ω 

t +

 ϕ )

 ϕ )

 ϕ )

 ϕ )    

 

gdzie:    

A

A e

t

====

−−−−

0

ββββ

 − 

amplituda drgań tłumionych, 

ββββ ====

h

m

2

   -  stała tłumienia 

 

 

 

 

 

ω

ω

ω

ω

2

2

2

4

====

−−−−

k

m

h

m

                    

T

====

2

ππππ

ω

ω

ω

ω

  -  okres drgań tłumionych   

 

Kształt funkcji  

X = A sin (

ω 

ω 

ω 

ω 

t +

ϕ)

ϕ)

ϕ)

ϕ)

  przedstawia poniŜszy wykres . 

 

A

A e

t

====

−−−−

0

ββββ

 

6

 
Szybkość  zanikania  drgań  moŜna  określić  podając  stałą  tłumienia  lub  tzw. 
logarytmiczny dekrement tłumienia. Jest to logarytm naturalny ze stosunku amplitud 
wziętych w odstępie okresu. 
 

(((( ))))

((((

))))

Λ

Λ

Λ

Λ ====

++++

ln

A t

A t

T

 

 

Λ

Λ

Λ

Λ ====

−−−−

−−−−

++++

ln

(

)

A e

A e

t

t T

0

0

ββββ

ββββ

 

 

Λ

Λ

Λ

Λ ====

ln e

T

ββββ

 

    

Λ = βΤ

Λ = βΤ

Λ = βΤ

Λ = βΤ

      

    

⇒

⇒

⇒

⇒

     

ββββ ==== Λ

Λ

Λ

Λ

T

 

                   

   

A

A e

T

t

====

−−−−

0

Λ

Λ

Λ

Λ

          lub         

A

A

T

t

====

−−−−











0

exp

Λ

Λ

Λ

Λ

 

 

 
 

DRGANIA WYMUSZONE

 

 
Drgania  wymuszone  mają  miejsce  wtedy,  gdy  na  ciało  drgające  ruchem 
harmonicznym działa siła wymuszająca określona równaniem :             

 

F

w

 = F

o

 cos 

ω

ω

ω

ω

 t

 

 

F = - kX - h V + F

0

 cos 

ω

ω

ω

ω

 t 

 

m

d X

dt

kX

h

dX

dt

F

t

2

2

0

==== −−−−

−−−−

++++

cos

ω

ω

ω

ω

         

 

 

 

 

 

d X

dt

h

m

dX

dt

k

m

X

F

m

t

2

2

0

++++

++++

====

cos

ω

ω

ω

ω

    -  równanie ruchu    

 
MoŜna wykazać, Ŝe rozwiązaniem powyŜszego równania jest funkcja : 
 

X = A sin (

ω 

ω 

ω 

ω 

t + 

ϕϕϕϕ

 ) 

 

 

7

((((

))))

A

F

m

====

−−−−

++++

0

0

2

2

2

2

2

4

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ββββ ω

ω

ω

ω

      ;   

ctg

ϕϕϕϕ

βω

βω

βω

βω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

====

−−−−

2

0

2

2

     ;   

ω

ω

ω

ω

0

2

====

k

m

   ;  

ββββ ====

h

m

2

      

         
Amplituda drgań wymuszonych jest maksymalna wtedy, gdy wyraŜenie zawarte pod 
pierwiastkiem przyjmuje wartość minimalną.   

 

((((

))))

Y

====

−−−−

++++

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ββββ ω

ω

ω

ω

0

2

2

2

2

2

4

           

                                                             

  

 

ω

ω

ω

ω

2222

 =

 =

 =

 =

 z 

 

(((( ))))

Y z

z

z

z

====

−−−−

++++

++++

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ββββ

0

4

0

2

2

2

2

4

        

 

(((( ))))

((((

))))

Y z

z

z

====

−−−−

−−−−

++++

2

0

2

2

0

4

2

2

ω

ω

ω

ω

ββββ

ω

ω

ω

ω

       

 

((((

))))

∆∆∆∆ ====

−−−−

++++

−−−−

4

4

4

4

0

4

2

0

2

4

0

4

ω

ω

ω

ω

ββββ ω

ω

ω

ω

ββββ

ω

ω

ω

ω

 

    

∆ = 16 β

∆ = 16 β

∆ = 16 β

∆ = 16 β

2222

 (β

 (β

 (β

 (β

2222

 − ω

 − ω

 − ω

 − ω

0000

2222

 ) ) ) )

 

 

((((

))))

Y

a

min

====

−−−− ====

−−−−

∆∆∆∆

4

4

2

0

2

2

ββββ ω

ω

ω

ω

ββββ

                

Z

b

a

min

==== −−−−

====

−−−−

2

2

0

2

2

ω

ω

ω

ω

ββββ

 

A

F

m

max

====

⋅⋅⋅⋅

−−−−

0

0

2

2

2

ββββ ω

ω

ω

ω

ββββ

                                   

ω

ω

ω

ω

    

2222

min

 =

 ω

 ω

 ω

 ω

0000

2222

 − 2 β

 − 2 β

 − 2 β

 − 2 β

  2

  2

  2

  2

        

 

 
Amplituda  drgań  wymuszonych  jest  zatem  maksymalna  wtedy,  gdy  spełniony  jest 
warunek :  

ω

ω

ω

ω

 2

 2

 2

 2

 =  ω

 =  ω

 =  ω

 =  ω

0000

2222

 − 2 β

 − 2 β

 − 2 β

 − 2 β

 2

 2

 2

 2

 

 
Przypadek  taki  nazywamy  rezonansem.  Jeśli  stała  tłumienia  jest  bliska  zeru,  to 
amplituda drgań wymuszonych zmierza wtedy do nieskończoności.  
 

 

 

 

 

 

T

0

0

2

==== ππππ

ω

ω

ω

ω

  

      -      okres drgań własnych 

                 

 

 

T

====

2

ππππ

ω

ω

ω

ω

         -       okres drgań wymuszonych 

 
Jeśli stała tłumienia jest bliska zeru, to warunkiem rezonansu jest równość okresów 
drgań własnych i siły wymuszającej . 
                              

 

8

DRGANIA ELEKTRYCZNE

 

 
RozwaŜamy obwód  LC  zawierający naładowany kondensator .Zamknięcie obwodu 

wywoła przepływ prądu. Prąd jest wywołany sumą napięć, których 
ź

ródłem jest zwojnica i kondensator . 

 

I

U

U

R

l

c

====

++++

 

 

IR = U

l

 + U

c

     ;    U

L

dI

dt

l

==== −−−−

      ; U

q

c

c

====

          ;     I

dq

dt

==== −−−−

 

 

R

O

L

dI

dt

q

c

O

≈≈≈≈

⇒

⇒

⇒

⇒

−−−−

++++ ====

 

 

q

LC

dI

dt

====

 

 

I

dq

dt

LC

d I

dt

==== −−−−

==== −−−−

2

2

 

 

d I

dt

LC

I

O

2

2

1

++++

====

 

 
Równanie  opisujące  prąd  w  takim  obwodzie  jest  analogiczne  do  równania  ruchu 
harmonicznego :   

  

d X

dt

k

m

X

O

2

2

++++

====

 

 
NatęŜenie  prądu  płynącego  w  obwodzie    LC,    po  zamknięciu  tego  obwodu 
przedstawia funkcja :        

((((

))))

I

I

t

====

++++

0

sin

ω

ω

ω

ω

ϕϕϕϕ

    ;    

ω

ω

ω

ω

2

1

====

LC

 

 

Okresem tej funkcji jest :           T

LC

====

====

2

2

ππππ

ω

ω

ω

ω

ππππ

  

 

          

U

c

     

          

U

L