Olsztyn, 27th May, 2013 

University of Warmia and Mazury in Olsztyn 
Faculty of Geodesy and Land Management 
Department of Satellite Geodesy and Navigation 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ESSAY 

Kepler’s equation solution: different methods. 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Daria Bruniecka 

Geodesy and Satellite Navigation  

1st year M.Sc. studies 

 
 
 
 
 
 

 

Kepler’s equation solution: different methods 

(M, e)          E-esinE=M          E=? 

 
In  1609  Kepler  published  his  work  Astronomia  Nova,  containing  the  first  (and  the  second)  law  of 
planetary motion: 

Planets move in elliptical orbits with the sun at one focus. 

 
Between  1617  and  1621  Kepler  wrote  Epitome  Astronomiae  Copernicanae,  the  first  astronomy 
textbook based on the Copernican model. Kepler introduced what is now known as Kepler's equation 
for the solution of planetary orbits, using the eccentric anomaly E, and the mean anomaly M. 
 
The term anomaly (instead of angle), which means irregularity, is used 
by  astronomers  describing  planetary  positions.  The  term  originates 
from  the  fact  that  the  observed  locations  of  a  planet  often  showed 
small deviations from the predicted data.  
 
The mean anomaly M is the angular distance from perihelion which a 
(fictitious) planet would have if it moved on the circle of radius a with 
a  constant  angular  velocity  and  with  the  same  orbital  period  T  as  the 
real  planet  moving  on  the  ellipse.  By  definition,  M  increases  linearly 
(uniformly) with time. 
 
Operating with radians the Kepler’s equation is: 
 

( ) −

( ) =

( ) 

or, using degrees: 

( ) −

180°

sin

( ) =   ( )

 
Where: 

  M is the mean anomaly (anomalia średnia),  
  E is the eccentric anomaly (anomalia mimośrodowa),  
  e is the eccentricity (mimośród orbity).  

 

 
Kepler's equation gives the relation between the polar coordinates of a celestial body (such as a planet) 
and  the  time  elapsed  from  a  given  initial  point.  Kepler's  equation  is  of  fundamental  importance  in 
celestial mechanics, but cannot be directly inverted in terms of simple functions in order to determine 
where the planet will be at a given time. 
 
The value of M at a given time is easily found when the eccentricity e and the eccentric anomaly E are 
known. The problem is to find E (from which the position of the planet can be computed) when M and 
e are known. Kepler's equation is a transcendental equation because sine is a transcendental function, 
meaning  it  cannot  be  solved  for  E  algebraically.  It  can  be  treated  by  iteration  methods.  Numerical 
analysis and series expansions are generally required to evaluate E. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Methods of solving the Kepler's equation 

 
First, this equation can be solved graphically and interpreted as the search for the point of intersection 
of the graphs of two functions of the eccentric anomaly. 
Kepler’s equation rewrited as follows:  

E = M + e sin (E) 

So: 

f

1

(E) = E, 

f

2

(E) = M + e sin(E) 

This point is illustrated in below figure: 

 

For obvious reasons, limit is square of 
2π × 2π. 
 
On  the  horizontal  axis  there  is 
eccentric  anomaly  E  a  and  on  the 
vertical  axis  there  are  plots  of  two 
functions f

1

 =(E) and f

2

 = E (E) = M + 

e sin (E). 
 
It  is  clear  that  equation  always  has  a 
solution, and only one.  
 
It  is  also  visible  that  the  solution  is 
always in the range  
<M-e; M+e>. 
 

 

The next step in solving the Kepler’s equation is to find a zero approximate solution. 

Zero approximation can be calculated in many different ways. 

1.  If we have some of the values of E for the next few dates get through extrapolation. 
2.  One of many graphical methods can be used, for example: 

  two curves are drawn in one coordinate system (the same diagram): 

 

  and E as a point of intersection is found. 

 

3.  If M and e is known development in a number (rozwinięcie w szereg) can be used: 

 

 
  
 
 

Solution 





M

E

e

y

E

y







1

;

sin

M

e

M

e

M

E

2

sin

2

1

sin

2

0







Found zero approximation E

0

 may be clarified as follows: 

We have: 

 

Where E is exact value. Now ΔE

0

 is needed. From Kepler’s equation: 

 

Because ΔE

0 

is very small so: 

 

 

Next procedure is simple iteration since the assumed accuracy is obtained. 

 

 

Newton Iteration 

 

The geometric interpretation of Newton's method 

This method is based on Kepler’s equation rewritten as: 

 

that gives: 

 

and 

f’(E) = −1 + e cosE 

 

0

0

0

0

0

0

0

;

;

sin

E

E

E

M

M

M

E

e

E

M





















0

0

0

0

0

0

sin

E

E

e

E

E

M

M

















0

0

0

0

cos E

E

e

E

M











0

0

0

cos

1

E

e

M

E









k

k

k

k

E

e

M

E

E

cos

1

1











 

0

sin









E

E

e

M

E

F

 

 

n

n

n

n

E

f

E

f

E

E

'

1







Algorithm for Newton's method:  

  Choose E

1

 = M. 

  Update: 

 = 

 − 

 − 

 +   

 −  1

 

  If | E

n+1 

- E

n

 | < ε where ε is sufficiently small value we can stop calculation. 

  Otherwise repeat. 

The secant method 

 

The geometric interpretation of secant method 

It is a variant of the Newton's method in which the derivative is replaced by the differential quotient. 
The formula for further approximation has the form: 

=

−

( (

)(

−

))

( (

) − (

))

 

It can be seen that the method needs to start two initial values E

0

 and E

1

, which we calculate E

3

, etc. 

As in previous case if | E

n+1 

- E

n

 | < ε where ε is sufficiently small value we can stop calculation. 

 

There are other useful methods to solve Kepler’s equation, for example: 

  Bisection method, 

  The method "regula falsi", 

  Converting between True and Eccentric Anomaly.