Biotechnologia, 3 rok, 6 semestr
Instrukcja do laboratorium nr 4 z Modelowania Biosystemów
Model Lotki-Volterry
Prowadzący: dr inŜ. Krzysztof Psiuk-Maksymowicz (p.629)
krzysztof.psiuk-maksymowicz@polsl.pl
1.
Zakres materiału do zajęć
Przygotowanie do zajęć obejmuje znajomość modelu Lotki-Volterry w wersji podstawowej, modelu
drapieŜnik-ofiara z ograniczoną pojemnością środowiska dla ofiar oraz modelu drapieŜnik-ofiara z
kryjówkami dla ofiar. NaleŜy posiadać wiedzę na temat punktów równowagi modeli oraz ich zachowań
asymptotycznych (stabilność).
2.
Wprowadzenie
Model Lotki-Volterry to dwuwymiarowy model ekologiczny opisujący dynamikę zmian dwóch
populacji współistniejących w tym samym środowisku. Model dotyczy zmian liczebności populacji
drapieŜników (ang. predator) i ich ofiar (ang. prey).
Oznaczając przez V(t) liczebność ofiar w chwili t oraz przez P(t) liczebność drapieŜników w chwili t,
model przyjmuje postać układu dwóch równań róŜniczkowych zwyczajnych
−
=
−
=
,
sP
abVP
dt
dP
aVP
rV
dt
dV
gdzie r oznacza współczynnik rozrodczości ofiar, a współczynnik skuteczności polowań, b współczynnik
rozrodczości drapieŜników (na jednostkę upolowanej ofiary) oraz s współczynnik śmiertelności
drapieŜników.
Model posiada dwa punkty równowagi na przecięciu izoklin obu zmiennych.
Obliczenie tzw. całki pierwszej prowadzi do otrzymania wzoru na trajektorie fazowe na płaszczyźnie
(V,P). Zamknięte trajektorie na płaszczyźnie (V,P) oznaczają istnienie periodycznego (okresowego)
rozwiązanie liczebności P i V w czasie.
Model drapieŜnik-ofiara z ograniczoną pojemnością środowiska dla ofiar
Jednym z nierzeczywistych załoŜeń modelu Lotki-Volterry jest nieograniczony wzrost populacji ofiar
w przypadku braku drapieŜników. Bardziej realistyczny model uwzględnia zmienność współczynnika
wzrostu ofiar w zaleŜności od liczebności populacji (w ogólnym przypadku obu populacji). Przykładem
modelu stosującego taką zaleŜności jest model, który zakłada konkurencję wewnątrzgatunkową
występującą w populacji ofiar (wprowadzenie dodatkowego członu ograniczającego wzrost populacji, tak
jak w modelu logistycznym, oznacza pojemność środowiska).
Okazuje się, Ŝe wprowadzenie dodatkowego czynnika ograniczającego wzrost populacji ofiar zmienia
dynamikę układu, a konkretne rozwiązanie uzaleŜnione jest od wielkości parametru K.
