Macierz jednostkowa: I
n
=
1 0 . . .
0 0
0 1 . . .
0 0
... ...
... ...
0 0 . . .
1 0
0 0 . . .
0 1
∈ Mat
n×n
(R),
A · I
n
= I
m
· A dla A ∈ Mat
m×n
(R).
1
Macierz jednostkowa: I
n
=
1 0 . . .
0 0
0 1 . . .
0 0
... ...
... ...
0 0 . . .
1 0
0 0 . . .
0 1
∈ Mat
n×n
(R),
A · I
n
= I
m
· A dla A ∈ Mat
m×n
(R).
1
Macierz skalarna: c · I
n
=
c 0 . . .
0 0
0
c . . .
0 0
... ...
... ...
0 0 . . .
c 0
0 0 . . .
0
c
∈ Mat
n×n
(R), c ∈ R,
cA = A · (cI
n
) = (cI
m
)
· A dla A ∈ Mat
m×n
(R).
2
Macierz diagonalna:
c
1
0
. . .
0
0
0
c
2
. . .
0
0
...
...
...
...
0
0
. . .
c
n−1
0
0
0
. . .
0
c
n
∈ Mat
n×n
(R), gdzie
c
1
, . . . , c
n
∈ R.
3
c
1
0
. . .
0
0
c
2
. . .
0
...
...
...
0
0
. . .
c
m
·
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
=
c
1
a
11
c
1
a
12
. . .
c
1
a
1n
c
2
a
21
c
2
a
22
. . .
c
2
a
2n
...
...
...
c
m
a
m1
c
m
a
m2
. . .
c
m
a
mn
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
·
c
1
0
. . .
0
0
c
2
. . .
0
...
...
...
0
0
. . .
c
n
=
c
1
a
11
c
2
a
12
. . .
c
n
a
1n
c
1
a
21
c
2
a
22
. . .
c
n
a
2n
...
...
...
c
1
a
m1
c
2
a
m2
. . .
c
n
a
mn
4
Macierz o wymiarach n × n nazywamy kwadratową.
Macierz diagonalna jest macierzą kwadratową. Spośród macierzy
kwadratowych wyróżniamy macierze górnotrójkątna i dolnotrój-
kątne.
Macierz górnotrójkątna:
a
11
a
12
. . .
a
1,n−1
a
1n
0
a
22
. . .
a
2,n−1
a
2n
...
...
...
...
0
0
. . .
a
n−1,n−1
a
n−1,n
0
0
. . .
0
a
nn
,
gdzie a
ij
∈ R.
Macierz A =
h
a
ij
i
i,j=1,...,n
∈ Mat
n×n
(R) jest górnotrójkątna ⇔
a
ij
= 0 dla i > j.
5
Macierz dolnotrójkątna:
a
11
0
. . .
0
0
a
21
a
22
. . .
0
0
...
...
...
...
a
n−1,1
a
n−1,2
. . .
a
n−1,n−1
0
a
n1
a
n2
. . .
a
n,n−1
a
nn
,
gdzie a
ij
∈ R.
Macierz A =
h
a
ij
i
i,j=1,...,n
∈ Mat
n×n
(R) jest dolnotrójkątna ⇔
a
ij
= 0 dla i < j.
6
Niech A ∈ Mat
n×n
(R) będzie macierzą kwadratową.
Macierz B ∈ Mat
n×n
(R) nazywamy odwrotną do macierzy A, jeśli
AB = BA = I
n
.
Oznaczenie macierzy odwrotnej: A
−1
.
Przykłady.
1. Macierzą odwrotną do A =
"
1
a
0 1
#
jest macierz
"
1
−a
0
1
#
.
2. Macierz A =
"
1 2
3 6
#
nie posiada macierzy odwrotnej.
7
3. Macierzą odwrotną do macierzy diagonalnej:
A =
c
1
0
. . .
0
0
c
2
. . .
0
...
...
...
0
0
. . .
0
0
0
. . .
c
n
,
gdzie c
1
, . . . , c
n
6= 0, jest macierz
A
−1
=
c
−1
1
0
. . .
0
0
c
−1
2
. . .
0
...
...
...
0
0
. . .
0
0
0
. . .
c
−1
n
8
Niech A ∈ Mat
m×n
(R) będzie dowolną macierzą:
A =
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
.
Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz
A
T
=
a
11
a
21
. . .
a
m1
a
12
a
22
. . .
a
m2
...
...
...
a
1n
a
2n
. . .
a
mn
,
A ∈ Mat
n×m
(R).
9
Przykłady.
1. Jeśli A =
"
1 2 3
4 5 6
#
, to A
T
=
1 4
2 5
3 6
.
2. Macierzą transponowaną do macierzy diagonalnej jest ta sama
macierz.
3. Macierz transponowana do macierzy górnotrójkątnej jest ma-
cierzą dolnotrójkątną, i na odwrót.
10
Symbolicznie możemy zapisać: A
T
=
h
b
ij
i
n×m
, gdzie b
ij
= a
ji
dla
i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.
Dla dowolnych macierzy A, B i dowolnej liczby c zachodzą rów-
ności
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
, A, B ∈ Mat
m×n
(R),
(cA)
T
= cA
T
,
(AB)
T
= B
T
A
T
, A ∈ Mat
m×n
(R), B ∈ Mat
n×k
(R),
(A
T
)
T
= A.
11
Macierz kwadratową A nazywamy symetryczną, jeśli A
T
= A,
Macierz kwadratową A nazywamy antysymetryczną, jeśli A
T
=
−A.
1 2 3
2 4 5
3 5 6
– symetryczna,
0
1
−3
−1
0
2
3
−2
0
– antysymetryczna,
Dla dowolnej macierzy kwadratowej A macierz A + A
T
jest sy-
metryczna, a macierz A − A
T
jest antysymetryczna.
12
Zadanie. Przedstawić dowolną macierz kwadratową w postaci
sumy macierzy symetrycznej i macierzy antysymetrycznej. Uza-
sadnić, że takie przedstawienie jest jednoznaczne.
13
Permutacje
Permutacją zbioru
{1, 2, . . . , n} nazywamy bijekcję
σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}.
Permutację zapisujemy w postaci tabelki:
σ =
1
2
. . .
n − 1
n
σ(1) σ(2) . . .
σ(n − 1) σ(n)
!
.
Przykład. Permutacja σ =
1 2 3 4
4 1 3 2
!
jest określona następu-
jąco: σ(1) = 4, σ(2) = 1, σ(3) = 3, σ(4) = 2.
14
Zbiór permutacji zbioru
{1, 2, . . . , n} oznaczamy przez S
n
.
Permutacje składamy jak funkcje:
(στ )(i) = σ(τ (i))
dla σ, τ ∈ S
n
, i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Przykład.
1 2 3 4 5 6
3 4 5 6 2 1
!
1 2 3 4 5 6
1 4 6 2 3 5
!
=
1 2 3 4 5 6
3 6 1 4 5 2
!
15
Cykl (a
1
a
2
. . . a
k
) długości k to permutacja σ zbioru {1, 2, . . . , n}
taka, że:
σ(a
1
) = a
2
, σ(a
2
) = a
3
, . . . , σ(a
k−1
) = a
k
, σ(a
k
) = a
1
,
σ(i) = i dla i ∈ {1, 2, . . . , n} \ {a
1
, a
2
, . . . , a
k
}.
Przykład. Cykl (1357) jako permutacja zbioru
{1, 2, . . . , n}:
(1357) =
1 2 3 4 5 6 7 8
3 2 5 4 7 6 1 8
!
.
16
Cykle (a
1
a
2
. . . a
k
) i (b
1
b
2
. . . b
l
) nazywamy rozłącznymi, jeśli zbio-
ry
{a
1
, a
2
, . . . , a
k
} i {b
1
, b
2
, . . . , b
l
} są rozłączne.
Każdą permutację można rozłożyć na cykle rozłączne.
Przykład:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 4 5 6 7 2 1 9 8 10
!
= (1357)(246)(89).
17
Rozważmy permutację
σ =
1
2
. . .
n − 1
n
c
1
c
2
. . .
c
n−1
c
n
!
.
Parę (c
k
, c
l
) taką, że k < l i c
k
> c
l
, nazywamy nieporządkiem.
Permutację nazywamy parzystą, jeśli liczba jej nieporządków jest
parzysta, a nieparzystą, jeśli ta liczba jest nieparzysta.
18
Znak permutacji σ oznaczamy symbolem sgn(σ). Jeśli σ jest
permutacją parzystą, to sgn(σ) = +1, a jeśli nieparzystą, to
sgn(σ) = −1.
Znak cyklu długości k jest równy (−1)
k−1
.
Znak złożenia permutacji jest równy iloczynowi znaków tych per-
mutacji:
sgn(σ
1
σ
2
. . . σ
m
) = sgn(σ
1
) sgn(σ
2
) . . . sgn(σ
m
).
19
Przykład. Znak permutacji
σ =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 4 5 6 7 2 1 9 8 10
!
możemy wyznaczyć na dwa sposoby.
1. Nieporządki permutacji σ: (3, 2), (3, 1), (4, 2), (4, 1), (5, 2),
(5, 1), (6, 2), (6, 1), (7, 2), (7, 1), (2, 1), (9, 8). Liczba nieporząd-
ków: 12, znak permutacji: sgn(σ) = +1.
2. Rozkład na cykle rozłączne: σ = (1357)(246)(89),
sgn(σ) = sgn(1357) sgn(246) sgn(89) = (−1) · 1 · (−1) = 1.
20