Uzupełnienie zestawu wybranych wzorów matematycznych 

Granica ciągu 

Dane są ciągi 

 

n

a

 i 

 

n

b

, określone dla 

1

n



.  

Jeżeli 

lim

n

n

a

a





 

oraz lim

n

n

b

b



 , to 





lim

n

n

n

a

b

a b





 

   





lim

n

n

n

a

b

a b





 

   





lim

n

n

n

a b

a b





 

 

Jeżeli ponadto 

0

n

b

  dla 

1

n



 oraz 

0

b



, to 

lim

n

n

n

a

a

b

b





 

 
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny 

 

n

a

,  określony dla 

1

n



, o ilorazie  q .  

Niech 

n

S

 oznacza ciąg sum początkowych wyrazów ciągu 

 

n

a

, tzn. ciąg określony wzorem  

1

2

...

n

n

S

a

a

a

 

  . Jeżeli 

1

q



, to ciąg 

n

S

 ma granicę  

1

lim

1

n

n

a

S

S

q









. 

Tę granicę nazywamy sumą wszystkich wyrazów ciągu 

 

n

a

.  

 
Pochodna funkcji 

 

 

c f x

c f x







 









 dla 

c R



 

 

 

 

 

f x

g x

f x

g x





















 

 

 

 

 

f x

g x

f x

g x





















 

   

   

   

f x g x

f x g x

f x g x

























 

 

 

   

   

 

2

f x

f x g x

f x g x

g x

g x



































, gdy 

 

0

g x



 

 

Pochodne niektórych funkcji       

Niech 

a

, 

b

, 

c

 będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, 

2

n



 dowolną liczbą naturalną. 

 

funkcja pochodna 

funkcji 

 

f x

c



 

 

0

f x





 

 

f x

ax b





 

 

f x

a





 

 

2

f x

ax

bx c







 

 

2

f x

ax b







 

 

a

f x

x

  

 

2

a

f x

x







 

 

n

f x

x



  

 

1

n

f x

nx







 

 
Równanie stycznej 
Jeżeli funkcja 

f  ma pochodną w punkcie 

0

x , to równanie stycznej do wykresu funkcji f  

w punkcie 

 





0

0

,

x f x

 dane jest wzorem  

y ax b



 ,  

gdzie współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pochodnej funkcji 

f  w punkcie 

0

x , tzn. 

 

0

a

f x





, natomiast 

 

 

0

0

0

b

f x

f x

x









. 

 

Trygonometria  
Sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych 

sin

sin

2sin

cos

2

2

 

 













 

sin

sin

2sin

cos

2

2

 

 













 

cos

cos

2 cos

cos

2

2

 

 













 

cos

cos

2sin

sin

2

2

 

 











 

 













1

sin sin

cos

cos

2





 

 

 







 













1

cos cos

cos

cos

2





 

 









 













1

sin cos

sin

sin

2





 

 









 

 
Rachunek prawdopodobieństwa 
Prawdopodobieństwo warunkowe 
Niech   A ,  B  będą zdarzeniami losowymi zawartymi w 

 , przy czym 

 

0

P B



. 

Prawdopodobieństwem warunkowym 





|

P A B

 nazywamy liczbę 









 

|

P A B

P A B

P B





 

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym 
Jeżeli zdarzenia losowe 

1

2

,

,...,

n

B B

B  zawarte w 

  spełniają warunki: 

1. 

1

2

,

,...,

n

B B

B  są parami rozłączne, tzn. 

i

j

B

B



   dla  i

j

 , 

1 i n

 

, 1 j n

  , 

2. 

1

2

...

n

B

B

B



 

  , 

3. 

 

0

i

P B



 dla 

1 i n

 

, 

to dla każdego zdarzenia losowego 

A  zawartego w 

  zachodzi równość 

 



  



  



  

1

1

2

2

|

|

...

|

n

n

P A

P A B

P B

P A B

P B

P A B

P B









 

