Projekt ”Społeczeństwo wykształcone- największy kapitał współczesnego kraju” jest wspó
ł
finansowany ze środków
Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
KURS VI: Standard 2.1.
Po ukończeniu tego kursu będziesz znał:
I.
Treść standardu 2.1
Prawa i metody statyki stosowane do analizowania p
ł
askich i przestrzennych uk
ł
adów si
ł
I.
Treści kształcenia objęte standardem.
Po realizacji tego kursu powtórzysz wiadomo
ś
ci wymagane na egzaminie potwierdzaj
ą
cym kwalifikacje zawodowe z
zakresu:
-
Poj
ę
cie siły
-
Rodzaje sił
-
Rodzaje układów sił
-
Warunki równowagi dla płaskiego zbie
Ŝ
nego układu sił
-
Moment siły wzgl
ę
dem punktu
-
Warunki równowagi dla płaskiego dowolnego układu sił
Siła jako wektor
Siła
to mechaniczne
oddziaływanie
jednego ciała na
drugie
....
Kierunek
(linia
działania)
zwrot
Punkt
przyło
Ŝ
enia
Warto
ść
(moduł)
Cechy siły:
Nacisk stołu na r
ę
k
ę
.
Nacisk r
ę
ki na stół.
F
SIŁA I JEJ
WŁA
Ś
CIWO
Ś
CI
SIŁA I JEJ
WŁA
Ś
CIWO
Ś
CI
Jednostka warto
ś
ci siły
W układzie SI warto
ść
siły wyra
Ŝ
ana jest w
niutonach
(symbol
N
).
2
1
1
1
s
m
kg
N
⋅
=
Jeden niuton to warto
ść
siły, która masie jednego kilograma
nadaje przy
ś
pieszenie jednego metra na sekund
ę
do kwadratu.
Pochodne jednostki:
kiloniuton
meganiuton
N
kN
3
10
1
1
⋅
=
N
MN
6
10
1
1
⋅
=
Składanie sił.
Wielobok sił:
Równoległobok sił:
O
F
1
F
2
F
3
F
1
F
2
F
3
S
R
R
- wypadkowa układu sił, która zast
ę
puje działanie tego układu.
S
- suma układu sił
O
F
1
F
2
F
3
R
F
1
F
2
F
3
S
F
12
Rozkład siły na składowe
...o kierunkach prostych l, m
m
l
F
F
m
F
l
F
l
, F
m
-
składowe siły
F
na
zadanych kierunkach l, m.
...o kierunkach osi x, y
y
x
F
F
x
F
y
F
x
, F
y
-
składowe siły
F
na
osiach x, y.
Podział sił
SIŁY MECHANICZNE
WEWN
Ę
TRZNE
ZEWN
Ę
TRZNE
CZYNNE
REAKCJE
MI
Ę
DZY
CZ
Ą
STE
CZKOWE
NAPI
Ę
CIA
Siły zewn
ę
trzne
Siły te
s
ą
wynikiem działania ciał znajduj
ą
cych si
ę
na zewn
ą
trz
danej bryły (ciała).
Siły czynne d
ąŜą
do
wywołania ruchu lub jego
zmiany.
Siły reakcji (bierne)
przeciwdziałaj
ą
ruchowi i
wyst
ę
puj
ą
w miejscu podparcia
ciała w chwili przyło
Ŝ
enia sił
czynnych oraz znikaj
ą
po
odci
ąŜ
eniu ciała.
Reakcje
Siły zewn
ę
trzne bierne - ich cechy zale
Ŝą
od rodzaju podpory.
Cechy reakcji
:
punkt przyło
Ŝ
enia
- w punkcie
podparcia
kierunek:
w stałych podporach nieznany,
wprowadza si
ę
reakcje składowe
R
x
i R
y
w ruchomych podporach
prostopadły do powierzchni
podpieraj
ą
cej
w wiotkich podporach wzdłu
Ŝ
osi
podpory
warto
ść
- otrzymana z oblicze
ń
zwrot
- na schemacie przyj
ę
ty
dowolnie, ostatecznie potwierdzony
obliczeniami warto
ś
ci.
uskok
przegub
ło
Ŝ
ysko
stałe
Podpory:
stałe
ruchome
powierzchnia
gładka
ostrze,
pryzma
ło
Ŝ
ysko
ruchome
wiotkie
sznury, liny, ła
ń
cuchy, pr
ę
ty.
R
y
R
x
R
y
R
y
R
x
R
x
R
R
R
R
1
R
2
Sił wewn
ę
trzne
Siły te
wyst
ę
puj
ą
wewn
ą
trz ciała.
Siły mi
ę
dzycz
ą
steczkowe
s
ą
siłami wzajemnego
oddziaływania cz
ą
steczek
powoduj
ą
cymi odpowiednie
fizyko-mechaniczne
wła
ś
ciwo
ś
ci materiału ciała.
Siły napi
ę
cia powstaj
ą
wewn
ą
trz ciała na skutek
działania sił zewn
ę
trznych,
wyst
ę
puj
ą
parami i wzajemnie
równowa
Ŝą
si
ę
.
zewn
ę
trzna
czynna
zewn
ę
trzna
bierna
(reakcja)
Układ sił
Układ sił to zbiór sił czynnych i biernych (reakcji) działaj
ą
cych
jednocze
ś
nie na ciało oswobodzone
.
Oswobodzi
ć
ciało
tzn.
usun
ąć
podpory (wi
ę
zy), a w ich miejsce
wprowadzi
ć
reakcje.
Q
A
B
Ciało nieswobodne.
Q
A
B
R
A
R
B
Ciało oswobodzone.
Podział układów sił.
UKŁADY SIŁ
PŁASKIE
PRZESTRZENNE
ZBIE
ś
NE
RÓWNOLEGŁE
DOWOLNE
DOWOLNE
ZBIE
ś
NE
RÓWNOLEGŁE
Płaskie układy sił.
A
C
B
Q
R
C
R
A
Zbie
Ŝ
ny układ sił
-
zbiór
sił (w jednej płaszczy
ź
nie),
których kierunki przecinaj
ą
si
ę
w jednym punkcie (punkcie
zbie
Ŝ
no
ś
ci).
A
B
F
1
F
2
F
3
R
A
R
B
Równoległy układ sił
- zbiór sił (w jednej płaszczy
ź
nie),
których linie działania s
ą
do siebie równoległe, b
ą
d
ź
tworz
ą
jedn
ą
prost
ą
.
Płaskie układy sił.
Płaskie układy sił.
A
B
F
1
F
2
F
3
R
A
R
B
Dowolny układ sił
- zbiór sił (w jednej płaszczy
ź
nie) o
ró
Ŝ
nych kierunkach działania.
Przestrzenne układy sił.
Układ sił, których linie działania nie le
Ŝą
w jednej płaszczy
ź
nie, lecz
s
ą
rozmieszczone w przestrzeni, nazywamy przestrzennym.
z
y
x
Q
R
1
R
2
R
3
Zbie
Ŝ
ny układ sił
-
kierunki działania sił przecinaj
ą
si
ę
w
jednym punkcie (punkcie zbie
Ŝ
no
ś
ci).
Przestrzenne układy sił.
Układ sił, których linie działania nie le
Ŝą
w jednej płaszczy
ź
nie, lecz
s
ą
rozmieszczone w przestrzeni, nazywamy przestrzennym.
R
1
R
2
R
3
R
4
Q
Równoległy układ sił
-
kierunki działania sił s
ą
do siebie
równoległe.
Przestrzenne układy sił.
Układ sił, których linie działania nie le
Ŝą
w jednej płaszczy
ź
nie, lecz
s
ą
rozmieszczone w przestrzeni, nazywamy przestrzennym.
z
y
x
Q
1
Q
2
R
1
R
2
Dowolny układ sił
-
kierunki działania sił s
ą
dowolnie
rozmieszczone w przestrzeni.
Rzut siły na o
ś
.
m
F
F
m
α
α
Rzutem siły na o
ś
m
(F
m
)
nazywamy wektor
ł
ą
cz
ą
cy rzut pocz
ą
tku z rzutem
ko
ń
ca wektora danej siły na t
ę
o
ś
.
α
cos
⋅
=
F
F
m
Warto
ść
F
m
:
Szczególne przypadki rzutów siły na o
ś
.
m
F
F
m
F
F
m
=
m
F
F
m
F
F
m
−
=
α
cos
⋅
=
F
F
m
m
F
F
m
α
F
m
m
α
F
F
m
α
cos
⋅
−
=
F
F
m
m
F
F
0
=
m
F
uwzgl
ę
dniaj
ą
c znaki (+,-)
rzutów
F
x
i
F
y
okre
ś
la si
ę
,
w stron
ę
której
ć
wiartki
układu x,y zwrócona jest
siła
F
.
Rzut siły na osie x, y.
O
F
F
x
X
Y
F
y
α
Warto
ść
rzutów siły
F
na osie x i y:
α
α
sin
cos
⋅
=
⋅
=
F
F
F
F
y
x
Rzuty siły F na osie x i y okre
ś
laj
ą
jednoznacznie jej:
warto
ść
:
kierunek:
zwrot:
2
2
y
x
F
F
F
+
=
2
2
cos
y
x
x
F
F
F
+
=
α
Twierdzenie o sumie rzutów sił.
X
Układ sił
F
1
F
2
F
3
F
4
S
Suma rzutów dowolnej liczby sił na o
ś
jest równa rzutowi
sumy tych sił na t
ę
sam
ą
o
ś
.
ny
y
y
y
y
nx
x
x
x
x
F
F
F
F
S
F
F
F
F
S
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
K
K
3
2
1
3
2
1
X
O
F
1
F
2
F
3
Y
F
4
S
F
1x
F
2x
F
3x
F
4x
S
x
F
1y
F
2y
F
3y
F
4y
S
y
Wypadkowa płaskiego zbie
Ŝ
nego
układu sił.
Istniej
ą
dwie metody wyznaczania wypadkowej płaskiego
zbie
Ŝ
nego układu sił:
metoda analityczna
metoda wykre
ś
lna
W metodzie wykre
ś
lnej mo
Ŝ
na posłu
Ŝ
y
ć
si
ę
wielobokiem
lub
równoległobokiem sił.
Oba sposoby zostały przedstawione na
slajdzie „Składanie sił” w dziale „Siła i jej własno
ś
ci”.
Składanie sił.
Wielobok sił:
Równoległobok sił:
O
F
1
F
2
F
3
F
1
F
2
F
3
S
R
S
- suma układu sił
R
- wypadkowa układu sił, która zast
ę
puje działanie tego układu.
O
F
1
F
2
F
3
R
F
1
F
2
F
3
S
F
12
Analityczna metoda
wyznaczania wypadkowej płaskiego zbie
Ŝ
nego
układu sił.
X
F
1
F
2
O
Y
F
3
Kolejno
ść
działa
ń
:
przez punkt zbie
Ŝ
no
ś
ci O poprowadzi
ć
osie x,y
obliczy
ć
warto
ść
rzutów wypadkowej
na osie x,y
obliczy
ć
warto
ść
wypadkowej
R
okre
ś
li
ć
kierunek wypadkowej
R, odczytuj
ą
c z
tablic warto
ść
k
ą
ta
okre
ś
li
ć
zwrot wypadkowej
R według znaków jej
rzutów R
x
i R
y.
3
2
2
1
1
2
2
1
1
sin
sin
cos
cos
F
F
F
R
F
F
R
Y
X
−
⋅
+
⋅
=
⋅
−
⋅
=
α
α
α
α
2
2
Y
X
R
R
R
+
=
α
R
R
X
=
α
cos
R
α
1
α
2
α
Analityczne warunki równowagi
płaskiego zbie
Ŝ
nego układu sił.
Płaski zbie
Ŝ
ny układ sił jest w równowadze, je
Ŝ
eli punkt materialny
b
ę
d
ą
cy pod jego działaniem pozostaje w spoczynku tzn.
wypadkowa R tego układu ma warto
ść
0.
R
X
= 0
R
Y
= 0
Suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na o
ś
x jest równa zeru.
Suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na o
ś
y jest równa zeru.
0
sin
sin
sin
0
cos
cos
cos
3
3
2
2
1
1
4
3
3
2
2
1
1
=
⋅
−
⋅
+
⋅
=
−
⋅
+
⋅
+
⋅
−
α
α
α
α
α
α
F
F
F
F
F
F
F
Y
X
O
F
1
F
2
F
3
F
4
1
α
2
α
3
α
Zrównowa
Ŝ
ony
układ sił.
Wykre
ś
lny warunek równowagi
płaskiego zbie
Ŝ
nego układu sił.
Płaski zbie
Ŝ
ny układ sił jest w równowadze, je
Ŝ
eli
wielobok sił tego układu jest zamkni
ę
ty
.
Zamkni
ę
ty
wielobok sił.
F
1
F
2
F
3
F
4
Y
X
O
F
1
F
2
F
3
F
4
1
α
2
α
3
α
Zrównowa
Ŝ
ony
układ sił.
Moment siły
wzgl
ę
dem
punktu
Moment siły
wzgl
ę
dem
punktu
Dana jest Siła F działająca wzdłuŜ prostej L oraz dowolny punkt O.
Momentem siły F wzgl
ę
dem punktu
(bieguna) O nazywamy iloczyn warto
ś
ci
tej siły przez jej rami
ę
, czyli odległo
ść
obranego punktu od linii działania danej
siły
Mo=F*r
Moment uwaŜamy za dodatni, jeŜeli siła dąŜy do obrócenia swego ramienia
r
dookoła
bieguna
O
w kierunku niezgodnym z ruchem wskazówek zegara
( lewo).
JeŜeli siła dąŜy do obrócenia swego ramienia
r
w kierunku zgodnym z ruchem
wskazówek zegara,
(w prawo)
moment uwaŜany jest za ujemny.
Moment siły względem punktu jest wektorem i
Moment siły względem punktu jest wektorem i
posiada wszystkie jego cechy.
posiada wszystkie jego cechy.
Wartość- Równą iloczynowi (F*r) wartości siły przez jej ramie.
Kierunek-Prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej
przez linię działania siły i biegun.
Zwrot- Przyjmujemy zgodnie z regułą śruby prawej.
Przyjmujemy w płaszczyźnie trzy siły, których wartości wynoszą:
F1=100 N F2=200 N F3=150 N . Następnie obieramy w płaszczyźnie punkt O, który
uwaŜamy za biegun momentu.
Długości ramion wynoszą r1=0,015 m; r2=0,015 m; r3=0,02 m;
Obliczamy momenty tych sił (Mo=F*r)
które wynoszą
Mo1=100N*0,015m=1,5 N*m
Mo2=200N*0,015m=3 N*m
Mo3= -150N*0,02m=-3 N*m
Tworzymy sumę tych momentów
M
0
=M
01
+M
02
+M
03
Mo=1,5N*m+3N*m-3N*m=1,5N*m
Znaleziony moment nazywamy
Znaleziony moment nazywamy
MOMENTEM GŁÓWNYM
MOMENTEM GŁÓWNYM
Momentem głównym dowolnego układu sił na płaszczyźnie względem przyjętego
bieguna O nazywamy sumę momentów poszczególnych sił tego układu względem
tego samego bieguna O.
M
M
o
o
=M
=M
o1
o1
+M
+M
o2
o2
+M
+M
o3
o3
...
...
Moment wypadkowej R dowolnej liczby sił zbieŜnych względem jakie
Moment wypadkowej R dowolnej liczby sił zbieŜnych względem jakie
goś bieguna
goś bieguna
O jest równy sumie momentów poszczególnych sił składowych względ
O jest równy sumie momentów poszczególnych sił składowych względ
em tego
em tego
samego bieguna.
samego bieguna.
MoR
MoR
=Mo1+Mo2+Mo3...+
=Mo1+Mo2+Mo3...+
Mon
Mon
Suma momentu wszystkich sił układu zbieŜnego znajdującego się w
Suma momentu wszystkich sił układu zbieŜnego znajdującego się w
równowadze jest równa zeru dla kaŜdego dowolnie obranego bieguna
równowadze jest równa zeru dla kaŜdego dowolnie obranego bieguna
.
.
Analityczne warunki równowagi
płaskiego dowolnego układu sił.
Płaski dowolny układ sił jest w równowadze, je
Ŝ
eli punkt materialny
b
ę
d
ą
cy pod jego działaniem pozostaje w spoczynku tzn. wypadkowa R tego
układu ma warto
ść
0 i moment główny wszystkich sił wzgl
ę
dem obranego
bieguna jest równy 0.
Suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na o
ś
x jest równa zeru.
Suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na o
ś
y jest równa zeru.
Suma momentów wszystkich sił wzgl
ę
dem obranego bieguna jest równa zeru.
∑
=
+
+
=
0
...
2
1
F
F
F
x
x
ix
∑
=
+
+
=
0
...
2
1
F
F
F
y
y
iy
∑
=
+
+
=
0
...
2
1
M
M
M
o
o
io
Zadania
Zadania
Przykłady zada
ń
z egzaminu
Przykłady zada
ń
z egzaminu
Zadanie 1
Y
X
O
F
4
F
3
F
2
F
1
2
β
3
α
4
β
Równania, które s
ą
zapisanymi warunkami
równowagi danego układu sił.
Rzuty na o
ś
x:
0
sin
cos
sin
4
4
3
3
2
2
1
=
⋅
−
⋅
−
⋅
+
β
α
β
F
F
F
F
Rzuty na o
ś
y:
0
cos
sin
cos
4
4
3
3
2
2
=
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
β
α
β
F
F
F
Y
X
O
F
1
F
2
F
3
2
α
3
α
Zadanie 2
Rzuty wypadkowej R układu sił na osie :
3
3
2
2
1
cos
cos
α
α
⋅
+
⋅
+
−
=
F
F
F
R
X
3
3
2
2
sin
sin
α
α
⋅
−
⋅
=
F
F
R
Y
Zadanie 3
poprawnie przedstawione reakcje w podporach
A
B
G
R
A
R
BY
R
BX
A
B
G
R
A
R
B
1.
2.
Zadanie 4
Dorysuj reakcje w podporach.
F
1
F
2
A
B
A
B
G
Odpowied
ź
do zad. 4
Czy tak przedstawiłe
ś
reakcje w podporach?
A
B
G
R
A
R
B
F
1
F
2
A
B
R
AX
R
AY
R
B
R
A
R
B=25N
F=100N
b
l=8m
Układ b
ę
dzie w równowadze gdy długo
ść
b wyniesie?
A-1m, B-2m, C-3m, D-4m
Odp: Długo
ść
wyznaczysz z warunków równowagi, w tym przypadku nale
Ŝ
y
skorzysta
ć
z równania momentów:
∑
∑
=
⋅
+
⋅
−
=
=
0
8
:
0
m
b
F
R
M
M
B
iA
iA
m
N
m
N
b
m
N
b
N
2
100
200
0
8
25
100
=
⋅
=
=
⋅
+
⋅
−
Powtórzyłeś juŜ niezbędne wiadomości do opanowania standardu 2.1.
Teraz sprawdź swoje wiadomości rozwiązując test wielokrotnego wyboru
z jakim spotkasz się równieŜ na egzaminie zawodowym.
Projekt ”Społeczeństwo wykształcone- największy kapitał współczesnego kraju” jest wspó
ł
finansowany ze środków
Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego