Zadania domowe

Zestaw 9

1. Sprawdzić, że podany zbiór W jest podprzestrzenią liniową odpowiedniej przestrzeni 

V:

W =

{



x , y , z ,t ∈R

4

: x − y=z−t

}

,V =R

4



w

1

={

x

1,

y

1,

z

1,

t

1

}⇒

x

1

−

y

1

=

z

1

−

t

1



w

2

={

x

2,

y

2,

z

2,

t

2

}⇒

x

2

−

y

2

=

z

2

−

t

2

Sprawdzenie 1-go warunku:



w

1

 

w

2

=

x

1



x

2,

y

1



y

2,

z

1



z

2,

t

1



t

2



⇒

x− y= x

1



x

2

−

y

1

−

y

2

=

x

1

−

y

1



x

2

−

y

2

=

z

1

−

t

1



z

2

−

t

2

=

z

1



z

2

−

t

1



t

2

=

z−t

Sprawdzenie 2-go warunku:

 

w

1

= {

x

1

, y

1

, z

1

, t

1

}={

x

1

, y

1

,  z

1

, t

1

}

⇒

x− y= x

1

−

y

1

=

x

1

−

y

1

=

z

1

−

t

1

=

z

1

−

t

1

=

z −t

ODP: Podany zbiór jest podprzestrzenią liniową V

Zadania do wykładu 9 (Seria 2) - Rozwiązania

2. Wektory  3,−2,5 , 0,1,1 przedstawić na wszystkie możliwe sposoby jako 

kombinacje liniowe wektorów:  1,−2,3 , 1,0 ,1 ,0,2 ,−1

[

3,−2,5]=a [1,−2,3]b[1,0 ,1]c[0,2 ,−1]

[

1

1

0

−

2 0

2

3

1 −1

][

a
b

c

]

=

[

3

−

2

5

]

[

1

1

0

−

2 0

2

3

1 −1

∣

3

−

2

5

]

w

2



2w

1

w

3

−

3w

1

[

1

1

0

0

2

2

0 −2 −1

∣

3
4

−

4

]

w

3



w

2

w

2

/

2

[

1 1 0
0 1 1
0 0 1

∣

3
2
0

]

w

2

−

w

3

[

1 1 0
0 1 0
0 0 1

∣

3
2
0

]

w

1

−

w

2

[

1 0 0
0 1 0
0 0 1

∣

1
2
0

]

⇒

a=1,b=2, c=0

Zadania do wykładu 9 (Seria 2) - Rozwiązania

[

0,1,1]=a [1,−2,3]b [1,0 ,1]c [0,2 ,−1]

[

1

1

0

−

2 0

2

3

1 −1

][

a
b
c

]

=

[

0
1
1

]

[

1

1

0

−

2 0

2

3

1 −1

∣

3

−

2

5

]

w

2



2w

1

w

3

−

3w

1

[

1

1

0

0

2

2

0 −2 −1

∣

0
1
1

]

w

3



w

2

w

2

/

2

[

1 1 0
0 1 1
0 0 1

∣

0

0,5

2

]

w

2

−

w

3

[

1 1 0
0 1 0
0 0 1

∣

0

−

1,5

2

]

w

1

−

w

2

[

1 0 0
0 1 0
0 0 1

∣

1,5

−

1,5

2

]

⇒

a=1,5 , b=−1,5 , c=2

Zadania do wykładu 9 (Seria 2) - Rozwiązania

3. Uzasadnić liniową zależność podanych wektorów w odpowiednich przestrzeniach 

liniowych przedstawiając jeden z tych wektorów jako kombinacje liniową pozostałych: 



1,2,3 , 2,3,4 ,1,1,1

a 1,2,3b 2,3 ,4c 1,1,1=0,0,0

{

a2bc=0
2a3bc=0
3a4bc=0

r

3

−

r

1

{

a2bc=0
2a3bc=0
2a2b=0⇒ a=−b

podstawiając a do równania 2 otrzymujemy :

{

a2bc=0

−

2b3bc=0⇒ c=−b

a=−b

a=−b=c

za a podstawiamy dowolną liczbę , np. 1⇒ a=1, b=−1, c=1

podstawiając do równania początkowegootrzymujemy :1,2 ,3−2,3,41,1,1=0

za pomocą transformacji tego równania możemy przedstawić każdy z wektorów

jako kombinację liniową pozostałych

4. Wektory  u , v , 

w , x są liniowo niezależne w przestrzeni liniowej V. Zbadać liniową 

niezależność wektorów  u−v ,v− 

w , 

w

c

1

u−v c

2

v− 

wc

3



w=[0,0 ,0]

c

1



u−c

1



vc

2



v−c

2



wc

3



w=[0,0 ,0]



u c

1



v −c

1



c

2

 

w −c

2



c

3

=[

0,0 ,0]

{

c

1

=

0

−

c

1



c

2

=

0

−

c

2



c

3

=

0

⇒

c

1

=

c

2

=

c

3

=

0 ⇒ wektory są liniowo niezależne

Zadania do wykładu 9 (Seria 2) - Rozwiązania