Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
2. Wstęp do matematyki
2.2. Produkt kartezjański
Dla dowolnych elementów
i
parę
uporządkowaną (
) definiujemy jako zbiór
{ { }}. Oznacza to ustawienie tych elementów
w kolejności takiej, że element
jest pierwszy, a
element
jest drugi.
Z powyższej definicji wynika, że:
( ) ( ). (2.47)
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Iloczynem kartezjańskim dowolnych zbiorów
i
nazywamy zbiór
{( ) }. (2.51)
Przykład 2.6. Na rysunku 2.6 przedstawiono
iloczyn
, gdzie 〈 ) i 〈 ).
Rysunek 2.6.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
2.3. Funkcje
Funkcją
przekształcającą zbiór
w zbiór
nazywamy dowolne
przypisanie każdemu elementowi
dokładnie jednego elementu
.
Oznacza to, że obrazem formalnym
dowolnej funkcji
jest wykres
funkcji
spełniający warunki:
( ) , (2.52)
((
) (
) )
. (2.53)
Jeśli (
) , to wtedy zapisujemy:
( ) (2.54)
i w ten sposób argumentowi funkcji
jest przypisana wartość funkcji
.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Dla dowolnej funkcji
zbiór ( )
nazywamy
dziedziną
funkcji
(zbiorem
argumentów funkcji).
Przykład 2.7. Na rysunku 2.7 przedstawiono wykres
funkcji
określonej na zbiorze { }.
Za pomocą strzałek poszczególnym elementom zbioru
przypisano tam elementy ze zbioru { }.
Wykres tej funkcji jest dany jako zbiór
{( ) ( ) ( ) ( )}. Wykres ten możemy też
opisać za pomocą zależności:
( ) ( )
( ) ( ) .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Zbiór wartości funkcji (przeciwdziedziną
funkcji) określany, jako:
̅( ) { ( )} (2.55)
Jeśli jest spełniony warunek:
̅( ) , (2.56)
to funkcja
przekształca
na
, co
zapisujemy
→ .
Jeśli jest spełniony warunek:
(
)
(
) (
),
to
nazywamy
funkcją
różnowartościową.
Każdą różnowartościową funkcję
→
nazywamy izomorfizmem i oznaczamy za pomocą
symbolu
→ .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład 2.8. Funkcja
określona w
przykładzie 2.7 nie jest funkcją przekształcającą na
zbiór
, gdyż zbiór jej wartości
̅( ) { } . Nie
jest to też funkcja różnowartościowa, gdyż nie spełnia
ona warunku (2.57).
Rys. 2.8
Na rysunku 2.8 przedstawiono funkcję
przekształcającą zbiór
{ } na zbiór
{ }. Jest to funkcja różnowartościowa. Wszystko to
oznacza, że funkcja
→ jest izomorfizmem.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Złożeniem funkcji
i
nazywamy funkcję
określoną za
pomocą tożsamości:
( ) ( ) ( ).
Funkcję
nazywamy
funkcją
wewnętrzną, zaś funkcję
nazywamy
funkcją zewnętrzną.
Opisana powyżej funkcja złożona nie zawsze
istnieje. Warunkiem koniecznym i dostatecznym
na to, aby istniała funkcja złożona
jest zawieranie się przeciwdziedziny
̅( ) funkcji
wewnętrznej
w
dziedzinie
( ) funkcji
zewnętrznej.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład 2.9. Wyznaczmy złożenie
funkcji opisanych w poprzednich przykładach.
jest funkcją wewnętrzną, zaś funkcja
jest funkcją zewnętrzną. Wyznaczamy
kolejne wartości funkcji złożonej:
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ).
Uzyskana funkcja złożona jest przedstawiona poniżej
Rysunek 2.9
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Na marginesie tych rozważań zauważmy, że
̅( )
( ) . W tej sytuacji nie istnieje złożenie funkcji
. Oznacza to między innymi, że w
ogólnym przypadku składanie funkcji nie jest
przemienne.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
2.4. Ciągi
Ciągiem nazywamy każdą funkcję
przekształcającą zbiór indeksów
w dowolny zbiór wartości
. W ten sposób
każdemu indeksowi
jest przyporządkowany
wyraz ciągu:
( ). (2.59)
Ciąg taki oznaczamy za pomocą symbolu {
}
.
(
), to wtedy nazywamy ciągiem
nieskończonym i oznaczamy symbolem {
}
lub symbolem {
}
, lub symbolem {
} .
(
{ }), to wtedy ciąg
nazywamy ciągiem m-elementowym lub ciągiem
skończenie elementowym i oznaczamy symbolem
{
}
.
Określenie ciągu za pomocą zależności (2.59)
nazywamy analityczną definicją ciągu.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Jeśli jest dany ciąg {
}
początkowych
wartości, to wtedy dowolny ciąg {
}
może być
też określony za pomocą zależności:
(
) . (2.60)
Taki sposób
określenia ciągu nazywamy
rekurencyjną definicją ciągu.
Przykład 2.10. Symbolem (
) oznaczamy resztę
z dzielenia przez 3 zadanej liczby naturalnej
.
Ciąg przekształcający zbiór liczb naturalnych
na
zbiór
{ } jest określony za pomocą funkcji:
( ) {
( )
( )
( )
Jest to analityczna definicja tego ciągu. Początkowe
wyrazy tego ciągu przedstawiają się następująco:
(*)
Zanim wprowadzimy definicję rekurencyjną tego
ciągu, określamy funkcję
. Funkcja ta jest
dana za pomocą zależności:
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
( ) {
gdzie
. Definicja rekurencyjna ciągu (*)
przyjmuje wtedy postać:
,
,
(
).
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Szczególnym przypadkiem ciągów rozważanym w
matematyce są ciągi liczbowe określone jako
funkcje postaci
. Przykładem
ciągu liczbowego jest ciąg {
}
określony
rekurencyjnie:
, (2.61)
( ) . (2.62)
jest nazywana silnią liczby
.
symbol Newtona:
(
)
( )
.
Implementacja WOLFRAM
wartość
Wyznaczamy, wydając polecenie:
Fact[n].
Wartość
(
) wyznaczamy, wydając polecenie:
Bin[n,k]. █
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
2.5. Tablice
Tablicą prostokątną o
wierszach i kolumnach
nazywamy każdą funkcję
przekształcającą
zbiór
par
indeksów
{ } { } w dowolny zbiór
wartości
. W ten sposób każdej parze indeksów
( ) jest przyporządkowany element tablicy
.
Tablicę taką oznaczamy za pomocą symboli
[
].
Każdą tablicę możemy zapisać w postaci ujętego w
nawiasy kwadratowe prostokąta elementów:
[
] (2.64)
(
)
i-ty
wiersz
tablicy.
(
) j-ta kolumną tablicy. element
macierzy
jest oznaczony przez dwa indeksy:
pierwszy jest numerem wiersza, a drugi numerem
kolumny.
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład 2.11. Przykładem tablicy o elementach
pochodzących ze zbioru
{ } jest prostokąt
figur geometrycznych:
[
] .
Tablicę
kwadratową
[
],
której
elementy spełniają warunek:
(2.62)
nazywamy tablicą symetryczną.
Przykład 2.12. Przykładem tablicy symetrycznej o
elementach pochodzących ze zbioru
{ } jest
kwadrat figur geometrycznych:
[
] .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
3. Grafy i digrafy
3.1. Grafy
Grafem
nazywamy parę:
( ( )), (3.1)
gdzie
{
}
jest
zbiorem
wierzchołków, a
( ) {
} –
zbiorem krawędzi
{
} .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład 3.1. Przedstawić na rysunku graf
( ( ))
({
} {
}) ,
gdzie
{
},
{
},
{
},
{
},
{
}. Kolejność wierzchołków
nie ma znaczenia. Dzięki temu możemy na przykład
zapisać
{
} {
}.
Rysunek 3.1
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
3.2. Digrafy
Digrafem
nazywamy parę:
( ( )), (3.5)
gdzie
{
}
jest
zbiorem
wierzchołków, a
( ) {
} –
zbiorem łuków
(
) .
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Przykład 3.10. Na rysunku 3.3 przedstawiono
przykładowy digraf.
Rysunek 3.3
Zbiór wierzchołków tego digrafu to
{
},
zaś zbiór łuków
( ) {
}, gdzie
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
W przypadku digrafu istotna jest kolejność
wierzchołków. Dzięki temu możemy na przykład
zapisać
(
) (
)
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Tablicą przyległości digrafu
( ( ))
opisanego przez (3.5) nazywamy kwadratową
tablicę
( ) [
]
elementów:
{
(
) ( )
(
) ( )
(3.8)
Przykład 3.15. Tablica przyległości
( ) grafu z
rysunku 3.3 ma postać:
( ) [
].
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Grafem (digrafem) obciążonym nazywamy
każdą trójkę (
) taką, że para
( ) jest grafem (digrafem). Wartość (
)
nazywamy wagą krawędzi (łuku)
.
Przykład 3.33. Na rysunku 3.11 przedstawiono
przykład graf obciążonego. Na rysunku 3.13
przedstawiono przykład digrafu obciążonego.
Rysunek 3.11
Opracowano na podstawie K. Piasecki, M. Anholcer, K. Echaust: e-Matematyka wspomagająca ekonomię, C.H. Beck 2013
Siecią nazywamy digraf spełniający warunki:
węzeł niebędący końcem żadnego łuku i
nazywany źródłem sieci.
węzeł, niebędący początkiem żadnego łuku i
nazywany ujściem sieci.
skierowana ścieżka ze źródła do każdego innego
węzła sieci
ścieżka do ujścia z każdego innego węzła sieci.
.
Przykładową sieć przedstawia rysunek 3.13. Źródłem
jest węzeł s = v
1
, zaś ujściem t = v
6
. W nawiasach
podano wagi łuków.
Rysunek 3.13