Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
20
1
80
1
...
...
Z
Z
Y
Z
Z
X
+
+
=
+
+
=
(
)
(
)
5
2
1
2
1
20
...
var
...
;
...
...
cov
)
,
cov(
20
1
20
1
80
21
20
1
=
⋅
⋅
=
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Y
X
5
2
1
2
1
20
var
20
2
1
2
1
80
var
=
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
Y
X
2
1
5
20
5
)
,
(
=
=
Y
X
ρ
Zadanie 2
)
5
,
4
(
)
2
,
9
(
)
2
,
5
(
)
2
,
4
(
Beta
U
Y
X
Y
X
≅
Γ
≅
+
Γ
≅
Γ
≅
→
=
+
=
9
4
5
4
4
EU
(A) NIE
→
=
+
=
+
=
2
9
2
5
2
4
)
(
Y
X
E
EV
(E) NIE
X=UV
Y=V(1-U)
0
)
1
(
U
-
1
V
-
U
≠
=
+
−
=
=
V
UV
U
V
V
JAKOBIAN
0
)
1
,
0
(
>
∈
v
u
v
u
v
uv
e
v
u
u
v
e
u
v
e
v
u
v
u
f
2
8
4
3
)
1
(
2
4
4
2
3
3
)
1
(
9
32
)
1
(
3
4
3
8
)
,
(
−
−
−
−
−
=
−
=
( )
)
5
,
4
(
)
1
(
)
5
(
)
4
(
)
9
(
)
1
(
2
!
8
9
32
)
9
(
2
)
1
(
9
32
4
3
4
3
9
2
8
9
2
8
4
3
Beta
u
u
u
u
e
v
e
v
u
u
v
u
f
v
v
≅
−
Γ
Γ
Γ
=
−
=
Γ
−
=
−
−
( )
9
4
5
4
4
=
+
=
V
U
E
Zadanie 3
IX=W
( )
( )
2
2
2
var
W
N
W
N
N
S
σ
µ
µ
σ
+
=
9
8
9
16
2
1
4
3
4
1
2
2
2
=
=
⋅
=
N
σ
3
2
3
4
2
1
4
3
4
1
2
=
=
⋅
=
N
µ
1
2
2
1
=
⋅
=
⋅
=
EX
EI
W
µ
(
)
3
5
12
20
5
12
3
1
2
1
5
,
0
12
1
2
2
2
2
2
=
=
⋅
+
=
+
+
=
⋅
=
EX
EI
EW
3
2
1
3
5
2
=
−
=
W
σ
( )
3
4
9
12
9
4
9
8
3
2
3
2
1
9
8
var
=
=
+
=
+
⋅
=
N
S
Zadanie 4
Dla
6
)
6
,...,
0
(
i
1
1
2
≥
∈
>
N
n
N
N
(
)(
) (
)
(
)(
) (
)
6
4
5
6
....
4
5
6
7
6
6
6
7
2
1
1
2
1
1
1
1
2
2
−
+
⋅⋅
⋅
−
+
−
+
−
−
−
=
−
−
=
n
N
n
N
n
N
N
N
N
n
N
n
N
N
n
N
n
L
jest to niemalejąca
funkcja statystyki
n
X
1
1
=
(
)
715
60
143
12
1
1
0
0
0
=
=
≤
=
≤
=
≥
m
X
P
t
X
P
t
X
P
H
H
H
715
60
715
4
5005
28
6
15
6
8
0
7
)
0
(
0
<
=
=
=
=
X
P
H
715
60
715
56
715
4
)
1
(
czyli
715
56
5005
56
7
5005
5
8
1
7
)
1
(
0
0
=
+
=
≤
=
⋅
=
=
=
X
P
X
P
H
H
czyli
{ }
1
,
0
=
K
czyli odrzucamy H gdy X<2
Zadanie 5
( )
2
2
var
;
2
θ
θ
=
Γ
≅
X
X
2
5
,
0
2
:
dla
1
2
2
:
dla
2
1
2
0
=
→
=
=
→
=
θ
θ
θ
θ
H
H
∑
=
∑
∑
=
−
−
−
∏
∏
i
i
i
x
x
i
x
i
e
e
x
e
x
L
20
2
20
2
2
(
)
05
,
0
2
20
0
=
>
∑
−
t
e
P
i
x
H
(
)
(
)
(
)
∑
−
−
−
⋅
>
−
=
⋅
>
∑
20
20
2
ln
2
0
0
t
x
P
t
e
P
i
H
x
H
i
∑
→
Γ
≅
→
Γ
≅
)
1
,
20
(
)
1
,
2
(
:
0
i
X
X
H
przy
(
)
∫
∑
=
=
=
Γ
=
=
⋅
−
<
→
−
−
X
y
X
i
H
t
y
dy
e
y
t
X
P
0
19
20
2
)
20
(
1
05
,
0
2
ln
0
48
47
6
∫
∫
=
=
Γ
=
−
X
X
t
dt
e
t
2
0
2
0
2
2
20
19
05
,
0
)
40
(
2
)
20
(
1
χ
z tablic rozkładu
25
,
13
509
,
26
2
)
40
(
2
≈
→
=
X
x
χ
i
{
}
∑
<
=
25
,
13
i
X
K
Zadanie 6
możliwe ilości kul po II etapie, oznaczamy te zdarzenia:
a) gdy losujemy z urny A:
a1 – losujemy 2 białe kule – wtedy – (2b,5cz)
a2 – losujemy 2 czarne kule – (4b,3cz)
a3 – losujemy 1 biała i 1 czarną – (3b,4cz)
b) gdy losujemy z urny B:
a4 – losujemy 2 białe – (4b,3cz)
a5 – losujemy 1 biała i 1 czarną – (5b,2cz)
20
1
10
1
2
1
2
5
2
2
2
1
)
1
(
=
=
=
a
P
20
4
10
4
2
1
)
5
(
20
6
10
6
2
1
)
4
(
20
6
10
6
2
1
)
3
(
20
3
10
3
2
1
)
2
(
=
=
=
=
=
=
=
=
a
P
a
P
a
P
a
P
B2 – dwie kule jednakowego koloru w II etapie
B3 – zdarzenie, że w III etapie kula biała
(
)
70
19
20
6
7
4
20
3
7
4
20
1
7
2
3
2
=
+
+
=
∩
B
B
P
70
38
7
5
20
4
7
4
20
6
7
3
20
6
7
4
20
3
7
2
20
1
)
3
(
=
+
+
+
+
=
B
P
(
)
2
1
38
70
70
19
)
3
(
3
2
=
=
∩
=
B
P
B
B
P
ODP
Zadanie 7
(
)
(
)
(
)
1
,...,
min
1
1
1
0
≥
=
=
=
n
X
X
P
X
U
P
dla
)
1
,
0
(
∈
t
(
)
(
)
(
)
t
X
X
P
X
t
U
P
n
≤
=
=
≤
,...,
min
1
1
0
(
)
(
)
(
)
n
n
n
t
t
X
P
t
P
t
X
X
P
3
1
1
1
1
)
(
1
min
1
,...,
min
+
−
=
>
−
=
≥
−
=
≤
(
)
n
X
U
P
3
0
2
1
1
1
=
=
=
(
)
n
t
X
t
U
P
3
0
1
1
1
1
+
−
=
=
≤
(
)
1
3
2
3
0
1
1
3
)
1
(
1
)
1
(
3
1
1
1
+
+
=
+
−
+
⋅
+
−
=
=
n
n
t
n
t
t
n
t
X
t
f
4
4
4
3
4
4
4
2
1
A
n
n
dt
t
n
t
ODP
∫
+
+
⋅
+
=
1
0
1
3
3
1
1
3
2
1
∫
=
−
−
+
−
=
−
=
=
+
=
−
+
−
+
2
1
2
1
3
1
3
1
3
3
1
3
3
1
)
1
(
3
1
n
x
n
x
n
dx
x
x
n
x
t
A
n
n
n
1
3
1
3
2
1
2
1
3
1
3
3
1
3
1
1
3
2
1
3
2
3
3
1
3
3
1
3
−
−
−
+
−
=
−
+
−
−
−
−
+
−
=
−
−
+
−
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
=
−
+
−
−
+
=
−
−
−
−
+
+
=
−
−
n
n
n
n
n
n
n
n
ODP
n
n
n
n
3
1
3
1
3
1
3
1
2
1
1
3
1
3
2
1
3
1
3
2
1
2
1
1
3
1
3
3
3
1
3
1
2
1
1
3
1
1
1
2
1
1
3
1
3
−
−
=
−
−
=
−
−
n
n
n
n
Zadanie 8
(
)
min
2
→
−
σ
a
S
E
(
)
min
2
2
2
→
+
−
σ
σ
a
a
S
S
E
(
)
2
;
0
1
σ
N
X
i
≅
−
(
)
−
⋅
−
−
+
−
=
−
=
∑
∑
=
=
n
i
j
i
i
n
i
i
a
X
X
n
n
X
a
X
a
S
1
2
2
2
1
2
2
1
1
)
1
(
1
1
∫
∫
∞
∞
−
−
−
=
Π
−
Π
=
−
0
0
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
dx
e
x
dx
e
x
X
E
x
x
i
σ
σ
σ
σ
∫
∫
∞
∞
−
−
=
Π
=
=
=
=
Π
=
0
0
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
dt
e
dt
xdx
t
x
dx
e
x
t
x
σ
σ
σ
σ
Π
Π
=
Π
Π
=
Π
=
Π
=
−
Π
=
∞
−
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
0
2
2
2
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
t
e
(
)
(
)
n
X
E
n
X
n
i
i
n
i
i
2
1
2
2
2
1
2
1
)
(
1
σ
χ
σ
=
−
→
≅
−
∑
∑
=
=
Π
−
+
=
Π
Π
−
+
=
2
)
1
(
2
)
1
(
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
a
n
n
n
a
ES
a
σ
σ
σ
Π
Π
=
2
σ
an
ES
a
(
)
=
+
Π
Π
−
Π
−
+
=
−
2
2
2
2
2
2
2
2
)
1
(
σ
σ
σ
σ
n
a
n
n
n
a
S
E
a
min
1
2
2
2
)
1
(
2
2
→
+
Π
Π
−
Π
−
+
=
n
a
n
n
n
a
σ
minimum dla
2
2
2
)
1
(
2
2
2
)
1
(
1
2
2
)
1
(
2
1
2
2
−
Π
+
Π
=
−
+
Π
Π
=
Π
−
+
Π
Π
=
Π
−
+
Π
Π
=
n
n
n
n
n
n
n
a
Zadanie 9
(
)
(
)
n
n
i
i
i
J
J
Y
J
J
X
J
J
J
a
b
X
,...,
min
,...,
max
)
1
,
0
(
gdzie
)
(
1
1
=
=
≅
−
≅
)
1
,
0
(
dla
)
1
(
)
(
)
1
,
0
(
dla
)
(
1
1
∈
−
=
∈
=
−
−
y
y
n
y
f
x
nx
x
f
n
Y
n
X
x
y
dla
y
x
n
n
n
x
y
x
n
x
y
f
n
n
X
Y
<
−
−
=
⋅
−
⋅
−
−
⋅
=
−
−
)
)(
1
(
!
0
)!
2
(
!
0
)
1
(
)
(
!
)
,
(
2
0
2
,
∫
+
=
+
=
=
+
1
0
1
0
1
1
1
n
n
n
nx
nx
EX
n
n
∫
∫
∫
+
=
+
−
=
+
−
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
+
−
−
−
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)
1
(
1
)
1
(
n
n
n
n
nt
t
nt
nt
t
nt
t
y
y
y
n
EY
n
n
n
n
n
n
∫
+
=
+
=
=
+
+
1
0
1
0
2
1
2
2
2
n
n
n
nx
nx
EX
n
n
(
)
∫
∫
=
+
+
+
−
=
+
−
=
=
−
=
−
=
+
+
−
−
1
0
1
0
1
0
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
1
)
1
(
n
nt
n
nt
t
t
t
nt
t
y
y
y
n
EY
n
n
n
n
n
)
2
)(
1
(
2
)
2
)(
1
(
4
2
2
3
2
1
2
1
2
2
2
+
+
=
+
+
+
+
−
−
+
+
=
+
+
+
−
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
∫ ∫
∫ ∫
−
−
−
=
+
−
=
=
−
=
−
−
=
1
0
1
1
0
1
0
2
2
)
(
)
1
(
)
)(
1
(
)
(
y
y
n
n
ydtdy
y
t
t
n
n
t
y
x
xydxdy
y
x
n
n
XY
E
∫
∫
=
=
−
=
−
−
+
−
−
=
−
+
−
=
−
−
−
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
x
y
dy
n
y
y
n
y
y
n
n
dy
n
yt
n
t
y
n
n
n
n
y
n
n
∫
∫
=
−
+
−
−
−
−
−
−
+
−
=
−
−
+
−
−
=
+
+
−
−
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
)
1
(
1
)
1
(
)
1
)(
1
(
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
n
n
x
x
n
x
x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
∫
+
=
+
+
−
=
+
+
−
=
−
+
−
+
−
−
−
=
+
+
+
−
1
0
1
0
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
2
)
1
(
1
)
1
(
1
1
)
1
(
n
n
n
x
x
x
x
n
n
x
n
n
n
n
x
n
n
n
n
n
n
n
n
(
)
[
]
1
1
1
1
)
(
)
(
1
1
)
(
1
min
max
−
+
=
→
−
=
+
−
−
=
−
+
−
−
+
=
−
n
n
c
a
b
n
n
a
b
c
a
b
n
a
b
n
n
c
c
E
[
]
[
]
=
+
−
−
=
−
2
2
2
2
2
)
(
2
)
(
min)
(max
EX
XY
E
EY
c
a
b
c
E
=
+
+
+
−
+
+
−
=
2
2
2
)
2
)(
1
(
2
)
(
2
2
n
n
n
n
n
a
b
c
=
−
+
+
+
−
−
−
+
=
+
+
+
+
+
−
−
+
−
=
2
2
2
2
2
2
)
(
2
2
2
2
)
1
(
1
)
2
)(
1
(
)
1
(
)
1
(
2
2
)
1
(
)
1
(
)
(
a
b
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b
2
2
2
)
(
)
2
)(
1
(
)
1
(
)
(
2
)
1
(
)
1
(
1
a
b
n
n
n
n
a
b
n
n
n
n
n
−
+
−
+
=
−
+
−
−
+
=
=
+
−
+
−
−
+
−
=
−
−
−
+
−
+
=
)
2
)(
1
(
)
2
)(
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
2
)(
1
(
)
1
(
var
2
2
2
n
n
n
n
n
n
a
b
a
b
a
b
n
n
n
n
)
2
)(
1
(
)
(
2
)
(
)
2
)(
1
(
2
2
2
2
2
2
+
−
−
=
−
+
−
+
+
−
−
+
=
n
n
a
b
a
b
n
n
n
n
n
n
n
Zadanie 10
(
)
1
10
−
∏
=
θ
θ
i
X
L
∑
=
−
+
=
10
1
ln
)
1
(
ln
10
ln
i
i
x
L
θ
θ
∑
∑
∑
−
=
→
=
+
→
=
+
=
∂
∂
i
i
i
x
x
x
ln
10
ˆ
0
ln
10
0
ln
10
θ
θ
θ
θ
θ
dla
)
0
;
(
−∞
∈
t
(
)
(
)
[ ]
∫
=
=
=
<
=
<
−
)
exp(
0
)
exp(
0
1
ln
t
t
t
t
e
x
dx
x
e
X
P
t
x
P
θ
θ
θ
θ
czyli
)
(
ln
θ
wykl
X
≅
−
∑
=
≅
Γ
≅
−
10
1
)
,
10
(
ln
i
i
X
X
θ
(
)
(
)
∫
∑
=
Γ
=
<
=
<
=
−
<
=
<
−
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
c
x
i
dx
e
x
c
X
P
c
X
P
X
c
P
c
P
10
0
9
10
)
10
(
10
10
ln
10
ˆ
∫
≈
→
=
→
=
=
=
=
=
c
c
c
dt
dt
dx
t
x
20
0
2
54
,
0
851
,
10
20
05
,
0
)
20
(
2
2
χ
θ
θ
(
)
(
)
=
>
=
>
=
−
>
=
>
∑
θ
θ
θ
θ
θ
d
X
P
d
X
P
X
d
P
d
P
i
10
10
ln
10
ˆ
∫
∫
∞
∞
−
≈
→
=
→
=
=
=
=
Γ
=
θ
θ
χ
θ
θ
d
d
x
d
d
dx
t
x
dx
e
x
10
20
2
9
10
57
,
1
41
,
31
20
05
,
0
)
20
(
)
10
(
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2009.04.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2003.12.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2003 12 06 prawdopodobie stwo i statystykaid 21710
2008.10.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2000.04.08 prawdopodobie stwo i statystyka
2009.10.05 prawdopodobie stwo i statystyka
2009 10 05 prawdopodobie stwo i statystykaid 26670
1997.04.05 prawdopodobie stwo i statystyka
2002.04.13 prawdopodobie stwo i statystyka
2002 04 13 prawdopodobie stwo i statystykaid 21638
1997 04 05 prawdopodobie stwo i statystyka
2008 10 06 prawdopodobie stwo i statystyka
2000 04 08 prawdopodobie stwo i statystyka
2002 06 15 prawdopodobie stwo i statystykaid 21643
2011 04 04 prawdopodobie stwo i statystykaid 27339
więcej podobnych podstron