Konspekt nr 2 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa” 

1 

Rozkład jednowymiarowej zmiennej losowej i jej podstawowe 

parametry charakterystyczne 

1. 

Pojęcie zmiennej losowej 

Zmienna  losowa  w  ujęciu  intuicyjnym  (związana  z  pewnym  doświadczeniem),  to  taka 

zmienna, która w wyniku doświadczenia przyjmuje pewną wartość liczbową, a więc nie dają-

cą się ustalić przed przeprowadzeniem doświadczenia. Formalna definicja jest następująca. 

Mamy dowolną przestrzeń probabilistyczną (Ω, T, P) 

I

 

. 

Zmienna losową nazywamy do-

wolną  funkcję  X,  której  dziedziną  są  elementy  ω  przestrzeni zdarzeń  elementarnych  Ω,  a 

przeciwdziedziną  (czyli  wartości  jakie  ta  funkcja  może  przyjmować)  zbiór  liczb  rzeczywi-
stych  R

,  mającą  następujące  własności:  dla  dowolnej,  ustalonej  liczby  rzeczywistej  x  zbiór 

zdarzeń elementarnych  ω, dla których spełniona jest nierówność X(ω) < x, jest zdarzeniem 
losowym, czyli 

( )

{

}

T

∈

<

ω

ω

x

X

:

 dla ka

żdego 

R

∈

x

 

(1). 

Zmienne 

losowe oznaczamy dużymi literami np.: X, Y, Z, S, T a ich wartości odpowiedni-

mi małymi literami: x, y, z, s, t, czasami z indeksami. 

PRZYKŁAD 1. W pewnym zakładzie pracy zatrudnionych jest N osób. Załóżmy, że interesuje nas taka ce-

cha pracowników jak ich wiek. Oznaczmy go przez X. Dokonujemy losowego wyboru jednego pracownika spo-

śród wszystkich N osób. Oczywiście przed wybraniem pracownika nie jesteśmy w stanie dokładnie powiedzieć 

jaki będzie on miał wiek. A więc wiek pracownika będzie zmienna losową, którą oznaczyliśmy przez X, a kon-
kretny wiek wylosowanej osoby oznaczamy przez x. 

Rozróżniamy dwa typy zmiennych losowych: 

−  zmienne losowe skokowe (dyskretne), 
−  zm

ienne losowe ciągłe. 

 

Zmienne  losowe  skokowe  mogą  przyjmować  wartości  wyrażające  się  tylko  niektórymi 

liczbami  rzeczywistymi  z  określonych  przedziałów.  Najczęściej  są  to  liczby  całkowite  nie-
ujemne. 

Zbiór  wszystkich  wartości  jakie  może  przyjmować  zmienna  losowa  skokowa  jest 

zawsze przeliczalny

II

PRZYKŁAD 2. Przykładem zmiennej losowej skokowej o przeliczalnym zbiorze wartości może być liczba 

wypadków  komunikacyjnych  w  określonym  przedziale  czasowym  w  danym  kraju,  liczba  cykli  do  momentu 

zniszczenia próbki w próbie zmęczeniowej, liczba kontuzji zawodników w ciągu roku w danym klubie sporto-

wym itp. Każda z tych zmiennych losowych może przyjmować wartości wyrażające się liczbami całkowitymi 

nieujemnymi. W żaden jednak sposób nie da się ściśle ustalić jaką może ona przyjąć wartość największą. 

 

a niekiedy skończony. 

PRZYKŁAD 3. Zmienną losową skokową ze skończonym zbiorem wartości może być przykładowo liczba 

wadliwych sztuk 

w danej partii produktu. Taka zmienna nie może oczywiście przyjąć wartości większej niż ilość 

sztuk. 

Zmienne losowe ciągłe przyjmują wartości wyrażające się dowolnymi liczbami rzeczywi-

stymi z określonych przedziałów. 

                                                           

I

 Pojęcie przestrzeni probabilistycznej nie będzie zdefiniowana w niniejszym opracowaniu. Należy jedynie wie-

dzieć, że jest to trójka składająca się z następujących elementów: przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, pola 
zdarzeń T, oraz prawdopodobieństwa P.  

II

 Zbiór przeliczalny intuicyjnie można zdefiniować jako zbiór, którego elementy można uporządkować w ciąg 

(skończony bądź nie), tzn. „wypisać je po kolei”, „ponumerować”. Zbiór licz rzeczywistych R nie jest zbiorem 

przeliczalnym.  

Konspekt nr 2 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa” 

2 

 

PRZYKŁAD 4. Za przykład  zmiennej losowej ciągłej może posłużyć temperatura jakiegoś ciała, stężenie 

procentowe roztworu, czas bezawaryjnej pracy jakiegoś urządzenia itp. Jeżeli temperaturę ciała będziemy mie-

rzyć w kelwinach, to wówczas może ona wyrazić się dowolną liczbą rzeczywistą z przedziału [-273, T

r

], gdzie T

r

 

oznacza temperaturę termicznego rozkładu materiału. Stężenie roztworu wyraża sie dowolną liczbą rzeczywistą 

z przedziału [0, 100] a czas bezawaryjnej pracy urządzenia - liczbą rzeczywistą z przedziału [0, +∞). 

Przedstawiony podział na zmienne losowe skokowe i ciągłe ma znaczenie tylko meryto-

ryczne. W praktyce wszystkie zmienne losowe są skokowe. Niektóre z nich jak np. tempera-
t

ura ciała jest zmienną losową, której wartości zmieniają się z krokiem równym dokładności 

termometru  za  pomocą,  którego  dokonujemy  pomiaru.  Można  jednak  użyć  termometru  o 

jeszcze większej dokładności i ta sama zmienna losowa będzie zmieniać się z jeszcze mniej-

szych krokiem. Pomijając ograniczenia fizyczne, można użyć termometru o dowolnej dokład-

ności, dlatego pod względem matematycznym taka zmienna jest traktowana jako ciągła. 

2.  Charakterystyki jednowymiarowej zmiennej losowej 

Każda zmienna losowa przedstawiona w postaci (1) jest funkcją, która zdarzeniom loso-

wym  przyporządkowuje  wartości  liczbowe.  Zdarzenia  te  realizują  się  z  prawdopodobień-

stwem określonym przez zespół warunków, w którym się ono odbywa. W konsekwencji, po-

szczególne wartości zmiennej losowej realizują się z takimi samymi prawdopodobieństwami 

jak odpowiadające im zdarzenia losowe. Regułę, według której jednostkowa masa prawdopo-

dobieństwa rozłożona jest na poszczególne wartości zmiennej losowej, albo na pewne skupi-

ska tych wartości, nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej. 
2.1. Funkcja prawdopodobieństwa oraz funkcja gęstości prawdopodobieństwa 

Dla zmiennej losowej skokowej rozkład prawdopodobieństwa może być dany za pomocą 

funkcji prawdopodobieństwa 

 

(

) ( )

i

i

i

p

x

x

X

=

=

=

P

P

 dla i = 1, ...,k 

(2) 

takiej, że 

* 

∑

=

=

k

i

i

p

1

1

 

(3) 

Funkcja  (2) 

przyporządkowuje  wartości  prawdopodobieństwa  p

i

  poszczególnym warto-

ściom x

i

  zmiennej losowej X

. Jeżeli zmienna losowa X przyjmowałaby nieskończenie wiele 

wartości, to granicę sumowanie w (3) należy zamienić z k na ∞. 

 

PRZYKŁAD 1. Na podstawie długotrwałych obserwacji procesu produkcji pewnych odlewów stwierdzono, 

że: 

70% odlewów spełnia warunki jakościowe i należy do gatunku pierwszego (zdarzenie losowe A

1

), 

25% odlewów spełnia warunki jakościowe i należy do gatunku drugiego (zdarzenie losowe A

2

), 

5% odlewów nie odpowiada wymogom jakościowym (zdarzenie losowe A

3

). 

Określmy następującą zmienną losową: 

 











−

−

−

=

.

zdarzenie

zachodzi

gdy

3

,

zdarzenie

zachodzi

gdy

2

,

zdarzenie

zachodzi

gdy

1

3

2

1

A

A

A

X

 

 

Funkcja prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej przedstawia się następująco: 

Konspekt nr 2 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa” 

3 

 

(

)

(

)

(

)

.

05

.

0

3

P

,

25

.

0

2

P

,

70

.

0

1

P

=

=

=

=

=

=

X

X

X

 

Wykres tej funkcji przedstawiony jest na rys. 1. 
 

 

Rys. 1. 

Przykład funkcji prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej skokowej 

W przypadku zmiennej losowej ciągłej zamiast funkcji prawdopodobieństwa określa się 

funkcję gęstości prawdopodobieństwa f(x), która zdefiniowana jest w następujący sposób 

 

( )

(

)

x

x

x

X

x

x

f

x

∆

∆

+

<

≤

=

→

∆

P

lim

0

 

(4), 

przy czym 

* 

( )

∫

=

b

a

dx

x

f

1

 

(5). 

Granice 

całkowania a i b oznaczają kres dolny i kres górny zmienności zmiennej losowej 

X. 

Bardzo często zamiast granic a, b w zmiennej losowej ciągłej w rozważaniach teoretycz-

nych 

występuje całkowanie od -∞ do +∞. W praktyce oczywiście wiemy, że zmienna przyj-

muje 

skończoną wartość, jednak bardzo często nie jesteśmy w stanie w sposób ścisły ustalić 

kresu dolnego i górnego zmienności zmiennej losowej X. 

Dowodzi  się,  że  prawdopodobieństwo  zdarzenia  losowego  polegającego  na  tym,  że 

zmienna losowa 

ciągła X przyjmie wartość równą konkretnej liczbie rzeczywistej x

0

, jest zaw-

sze równe zeru, co zapisuje się następująco 

 

(

)

0

P

0

=

= x

X

 

(6). 

Stwierdzenie  to  ma  intuicyjne  wytłumaczenie.  W  każdym  przedziale  liczbowym  na  osi 

rzeczywistej i

stnieje  nieskończenie  wiele  liczb.  Zatem  skoro  zmienna  losowa  ciągła  może 

przyjąć dowolną wartość rzeczywistą z danego przedziału, to mamy nieskończenie wiele wy-

borów, a więc prawdopodobieństwo tego, że wybierzemy tą jedną konkretną wartość wynosi 
zero. 

Konspekt nr 2 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa” 

4 

2.2. Dystrybuanta 

Dystrybuanta zmiennej losowej X 

definiowana jest w następujący sposób 

* 

( ) (

)

x

X

x

F

<

= P

, dla x 

∈ R 

(7). 

Wartościami dystrybuanty są prawdopodobieństwa zdarzeń losowych polegające na tym, 

że  zmienna  losowa  X  przyjmie  wartość  mniejszą  niż  liczba  rzeczywista  x. Dla zmiennych 

losowych skokowych, w powyższym równaniu, stosuje się niekiedy słabą nierówność, czyli 

≤. 

Dystrybuanta zmiennej losowej ma następujące właściwości: 

1. 

( )

1

0

≤

≤

x

F

, dla wszystkich x, 

2. 

jeśli x

2

 > x

1

, to 

( )

( )

1

2

x

F

x

F

≥

, 

3. 

( )

0

lim

=

−∞

→

x

F

x

, 

4. 

( )

1

lim

=

+∞

→

x

F

x

. 

Między dystrybuantą a funkcją prawdopodobieństwa i funkcją gęstości prawdopodobień-

stwa zachodzą następujące związki 

* 

( )

∑

<

=

x

x

i

i

p

x

F

 

(8), 

* 

( )

( )

∫

∞

−

=

x

du

u

f

x

F

 

(9). 

Ze wzoru (9) 

wynika, że 

* 

( )

( )

x

F

x

f

'

=

 

(10), 

czyli pochodna dystrybuanty zmiennej 

losowej ciągłej równa jest funkcji gęstości prawdopo-

dobieństwa. Należy zauważyć, że w równaniu (9) zamieniono oznaczenie zmiennej całkowa-

nia, tak aby nie była taka sama jak górna granica całkowania. 

PRZYKŁAD 1. Na podstawie funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej X z przykładu 1 w rozdziale 2, 

wyznaczyć jej dystrybuantę oraz narysować jej wykres. 

Zmienna losowa X 

jest skokowa i może przyjmować wartości 1, 2 lub 3 z odpowiednimi prawdopodobień-

stwami tj. 0.70, 0.25 lub 0.05. Aby wyliczyć jej dystrybuantę posługujemy się wzorem (8). 

− 

prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą od 1 

 

( )

0

1

1

=

=

∑

<

i

x

i

p

F

,

 

 

− 

prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą od 2 

 

( )

(

)

70

.

0

1

P

2

2

=

=

=

=

∑

<

X

p

F

i

x

i

, 

 

− 

prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą od 3 

 

( )

(

) (

)

95

.

0

25

.

0

70

.

0

2

P

1

P

3

3

=

+

=

=

+

=

=

=

∑

<

X

X

p

F

i

x

i

 

 

Konspekt nr 2 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa” 

5 

− 

oraz prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przyjmie wartość większą lub równą od 3 

 

(

)

(

) (

) (

)

1

05

.

0

25

.

0

70

.

0

3

P

2

P

1

P

3

3

=

+

+

=

=

+

=

+

=

=

=

≥

∑

≥

X

X

X

p

x

F

i

x

i

. 

Zbierając powyższe wyniki otrzymujemy 

 

( )













≥

<

≤

<

≤

<

=

3

dla

1

3

2

dla

95

.

0

2

1

dla

70

.

0

1

dla

0

x

x

x

x

x

F

 

 

Wykres dystrybuanty będzie wyglądał następująco 

 

Rys. 2. Wykres dystrybuanty zmiennej losowej X typu skokowego 

Zamalowane kropki na wykresie oznaczają, że funkcja w tym punkcie przyjmuje właśnie taką wartość. 
 

3.  Podstawowe parametry jednowymiarowej zmiennej losowej 

Podstawowymi parametrami jednowymiarowej zmiennej losowej są: 

− 

wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna, wartość przeciętna), 

−  wariancja, 

−  odchylenie standardowe. 

Wartość oczekiwana zmiennej losowe X definiowana jest w następujący sposób: 

−  dla zmiennej losowej skokowej 

* 

( )

∑

=

i

i

i

p

x

X

E

 

(11), 

− 

dla zmiennej losowej ciągłej 

Konspekt nr 2 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa” 

6 

* 

( )

( )

∫

+∞

∞

−

⋅

=

dx

x

f

x

X

E

 

(12). 

W niektórych podręcznikach można spotkać oznaczenie wartości oczekiwanej małą literą 

m. 

Wariancj

ę, którą będziemy oznaczać przez D

2

(X) 

III

−  dla zmiennej losowej skokowej 

, zmiennej losowej X zdefiniowana jest 

następująco: 

* 

( )

( )

(

)

∑

−

=

i

i

i

p

X

E

x

X

D

2

2

 

(13), 

− 

dla zmiennej losowe ciągłej 

* 

( )

( )

(

) ( )

∫

+∞

∞

−

−

=

dx

x

f

X

E

x

X

D

2

2

 

(14). 

W przypadku liczenia wariacji dla dużej ilości zmiennych losowych, wygodniej jest po-

służyć się przekształceniem wzoru (13) do postaci 

* 

( )

( )

( )

(

)

2

2

2

X

E

X

E

X

D

−

=

 

(15). 

Odchylenie  standardowe,  niezależnie  od  rodzaju  zmiennej  losowej,  obliczamy jako nie-

ujemny pierwiastek kwadratowy z wariancji 

 

( )

( )

X

D

X

D

2

=

 

(16). 

Innym oznaczeniem, spotykanym w książkach, odchylenia standardowego jest grecka litera σ.  

PRZYKŁAD 1. Na podstawie funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej X z przykładu 1 w rozdziale 2, 

obliczyć jej wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe. 

Aby obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X korzystamy ze wzoru (11). Sumujemy po wszystkich 

wartościach i = 1, 2, 3 

 

( )

∑

=

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

=

3

1

35

.

1

05

.

0

3

25

.

0

2

70

.

0

1

i

i

i

p

x

X

E

. 

 

Wariancję wyliczamy w oparciu o równanie (13) 

 

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

∑

=

=

−

+

−

+

−

=

−

=

3

1

2

2

2

2

2

3275

.

0

05

.

0

35

.

1

3

25

.

0

35

.

1

2

70

.

0

35

.

1

1

i

i

i

p

X

E

x

X

D

. 

 

Wy

liczmy jeszcze raz wariancję tym razem korzystając ze wzoru(15). Wyliczmy najpierw wartość oczeki-

waną z kwadratu zmiennej losowej 

 

( )

∑

=

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

=

3

1

2

2

2

2

2

15

.

2

05

.

0

3

25

.

0

2

70

.

0

1

i

i

i

p

x

X

E

.

 

 

                                                           

III

 Inne spotykane oznaczenia wariancji to: V(X) i σ

2

.

 

Konspekt nr 2 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa” 

7 

Podstawiając wartości do wzoru (15) otrzymujemy 

 

( )

( )

( )

(

)

3275

.

0

35

.

1

15

.

2

2

2

2

2

=

−

=

−

=

X

E

X

E

X

D

. 

Odchylenie standardowe wg równania (16) 

 

( )

( )

5723

.

0

3275

.

0

2

=

=

=

X

D

X

D

. 

PRZYKŁAD  2.  Funkcja  gęstości  prawdopodobieństwa  pewnej  zmiennej  losowej  Y  typu  ciągłego  podana 

jest następującym wzorem 

 

( )













≤

<

≤

+

−

<

≤

−

<

=

y

y

y

y

y

y

y

f

6

dla

0

6

4

dla

5

.

1

25

.

0

4

2

dla

5

.

0

25

.

0

2

dla

0

. 

 

Obliczyć: 

a) 

wartość oczekiwaną, 

b) 

wariancję, 

c)  odchylenie standardowe, 
d) 

dystrybuantę w punktach załamania wykresu f(y) wykres. 

Zanim przejdziemy do obliczeń, wygodniej będzie przedstawić sobie funkcję f(y) na wykresie 

 

Rys. 3. Wykres funkcji 

gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y 

 

Ad. a). Wartość oczekiwaną liczymy ze wzoru (12) rozbijając całkę na cztery części. Ponieważ nasza funk-

cja dla y  < 2 oraz 6 

≤ y jest zerowa, to jej całka oznaczona też będzie zerowa. Zatem pozostaje nam obliczyć 

dwie całki w zakresie od 2 do 4 oraz od 4 do 6 

 

( )

(

)

(

)

∫

∫

+

−

+

−

=

6

4

4

2

5

.

1

25

.

0

5

.

0

25

.

0

dy

y

y

dy

y

y

Y

E

 

 

Konspekt nr 2 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa” 

8 

 

( )

(

)

(

)

( )

( )
( )

4

4

75

.

0

4

3

25

.

0

6

75

.

0

6

3

25

.

0

2

25

.

0

2

3

25

.

0

4

25

.

0

4

3

25

.

0

75

.

0

3

25

.

0

25

.

0

3

25

.

0

5

.

1

25

.

0

5

.

0

25

.

0

2

3

2

3

2

3

2

3

6

4

2

3

4

2

2

3

6

4

2

4

2

2

=

⋅

−

+

⋅

+

−

⋅

+

−

⋅

−

=













+

−

+













−

=

+

−

+

−

=

∫

∫

Y

E

Y

E

y

y

y

y

Y

E

dy

y

y

dy

y

y

Y

E

 

Ad. b). Wa

riancję liczymy ze wzoru (14) rozbijając całkę na cztery części. Dwie całki zerują się dla tych 

wartości, gdzie funkcja f(y) przyjmuje wartości zerowe. Obliczamy dwie pozostałe 

 

( ) (

) (

)

(

) (

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

667

.

0

24

8

6

7

16

1

8

4

6

5

16

1

24

16

2

7

4

1

8

8

2

5

4

1

5

.

1

25

.

0

16

8

5

.

0

25

.

0

16

8

5

.

1

25

.

0

4

5

.

0

25

.

0

4

2

6

4

2

3

4

4

2

2

3

4

2

6

4

2

3

4

2

2

3

2

6

4

2

4

2

2

2

6

4

2

4

2

2

2

=













+

−

+

−

+













−

+

−

=













+

−

+

−

+













−

+

−

=

+

−

⋅

+

−

+

−

⋅

+

−

=

+

−

−

+

−

−

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Y

D

y

y

y

y

y

y

y

y

Y

D

dy

y

y

y

dy

y

y

y

Y

D

dy

y

y

y

dy

y

y

y

Y

D

dy

y

y

dy

y

y

Y

D

.

 

Ad. c). Odchylenie standardowe 

 

( )

( )

817

.

0

667

.

0

2

=

=

=

Y

D

Y

D

. 

Ad. d). Korzystamy ze wzoru (9) 

−  dla y < 2 

 

( )

( )

∫

∞

−

=

=

2

0

2

dy

y

f

F

,

 

 

−  dla 2 

≤ y < 4 

 

( )

( )

(

)

( )

2

1

2

1

8

1

0

4

5

.

0

25

.

0

4

4

2

2

4

2

2

=













−

+

=

−

+

=

∫

∫

∞

−

y

y

F

dy

y

dy

y

f

F

. 

 

−  dla 4 

≤ y < 6 

Konspekt nr 2 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa” 

9 

 

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

1

2

1

2

1

0

6

2

3

8

1

2

1

0

6

5

.

1

25

.

0

6

6

4

2

6

4

4

2

2

=

+

+

=













+

−

+

+

=

+

−

+

+

=

∫

∫

∫

∞

−

F

y

y

F

dy

y

dy

y

f

dy

y

f

F

. 

 

−  dla 6 

≤ y  

 

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

1

0

2

1

2

1

0

6

6

6

6

4

4

2

2

=

+

+

+

=

+

+

+

=

≤

∫

∫

∫

∫

+∞

∞

−

F

dy

y

f

dy

y

f

dy

y

f

dy

y

f

y

F

. 

 

 
LITERATURA 
 
W. Krysicki, J. Bartos, W. Dysza, K. Królikowska, M. Wasilewska: Rachunek prawdopo-

dobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warsza-
wa 2005. 

 
A. Iwasiewicz, A. Paszek: Statystyka z elementami statystycznych metod monitorowania 

procesów. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 2004. 

 
W. Kordecki: 

Rachunek  prawdopodobieństwa  i  statystyka  matematyczny. Oficyna Wy-

dawnicza GiS, Wrocław 2003.