Cykl Carnota

Rozważania   poniższe   dotyczą   maszyny   cieplnej   wyidealizowanej,   w   której   procesy 
przebiegają odwracalnie. Nie ma tu strat ciepła spowodowanych tarciem lub uchodzeniem 
przez ściany izolujące. Maszyna ta wykonuje cykl zamknięty Carnota, tzn. po pewnej liczbie 
przemian   wraca   z   powrotem   do   stanu   wyjściowego.   Ciałem,   które   podlega   procesowi 
cyklicznemu, jest gaz doskonały.
Cykl Carnota składa się z 4 kolejnych procesów: 

I. Rozprężania izotermicznego w temperaturze T

l

.

II. Rozprężania adiabatycznego przy zmianie temperatury od T

l

 do T

2

. 

III. Sprężania izotermicznego w temperaturze T

2

.

IV. Sprężania adiabatycznego przy zmianie temperatury od T

2

 do T

l

. 

Po przejściu tych czterech procesów gaz wraca 
do stanu wyjściowego. Rysunek 1 przedstawia 
wykres cyklu Carnota we współrzędnych p, V;
poniżej wykresu są pokazane położenia tłoka w 
zbiorniku gazu na początku i na końcu każdego 
procesu.   Zbiornik   gazu   ma   ścianki   i   tłok   z 
osłony adiabatycznej, tzn. nie przepuszczającej 
ciepła,   doskonale   zaś   przepuszczająca   ciepło 
podstawa   może   być   ustawiona   na   zbiorniku 
ciepła o temperaturze T

1,

 zwanym grzejnicą, lub 

na zbiorniku o temperaturze niższej T

2

, zwanym 

chłodnicą, albo też na osłonie adiabatycznej A.
Punkty 2 i 3 cyklu Carnota mogą być dowolnie 
obrane,   byleby   leżały   na   izotermach 
odpowiadających   temperaturom   T

l

  i   T

2

, 

natomiast punkt 4 o współrzędnych  p

4

, V

4

, T

4 

nie   może   być   dowolnie   obrany   na   izotermie, 
ponieważ wartości p

4

 i V

4

 są wyznaczone przez 

wartości p

l

, V

1

, T

1

 punktu początkowego 1 oraz 

temperaturę  T

2

.  Zmiany  objętości   gazu   i   jego 

temperatury   oraz   wielkość   pracy   wykonanej 
przez   gaz   i   ilość   ciepła   pobranego   w 
poszczególnych procesach cyklu zestawione są 
w Tabeli 1.

Tabela 1

Proces

Rozprężanie 
izotermiczne

Rozprężanie 

adiabatyczne

Sprężanie 

izotermiczne

Sprężanie 

adiabatyczne

Zmiana 

objętości

2

1

V

V

→

3

2

V

V

→

4

3

V

V

→

1

4

V

V

→

Zmiana 

temperatury

.

1

const

T

=

2

1

T

T

→

.

2

const

T

=

1

2

T

T

→

Wykonana 

praca

2

1

1

ln

V

V

RT

W

=

(

)

1

2

2

T

T

c

W

V

−

=

3

4

2

3

ln

V

V

RT

W

−

=

(

)

2

1

4

T

T

c

W

v

−

=

Ciepło pobrane

1

Q

0

2

Q

0

Dla procesów adiabatycznych (II i IV) możemy zapisać następujące związki:

Rysunek 1 Cykl Carnota: a) Wykres cyklu, b) 
położenie tłoka na początku i na końcu każdego 
procesu

1

1

1

2

1

4

1

1

2

2

1

3

T

V

T

V

T

V

T

V

−

−

−

−

=

=

χ

χ

χ

χ

.

Dzieląc stronami otrzymujemy:

1

1

2

1

4

3

−

−









=









χ

χ

V

V

V

V

czyli:

.

1

2

4

3

V

V

V

V

=

*

Praca wykonana w procesie III wynosi:

3

4

2

3

ln

V

V

RT

W

−

=

,

.

ln

4

3

2

3

V

V

RT

W

=

Korzystając z * możemy zapisać:

,

ln

2

1

2

3

V

V

RT

W

−

=

czyli:

.

3

1

W

W

−

=

Podczas cyklu gaz pobrał z grzejnicą o temperaturze T

1

  ciepło Q

1

  i oddał do chłodnicy o 

temperaturze T

2

 ilość ciepła Q

2

 oraz wykonał pracę W

1

+W

2

, a pobrał W

3

+W

4

.

Widzimy,   że   suma   prac   w   procesach   adiabatycznych   jest   równa   0.   Zatem   suma   prac 
pobranych i wykonanych w cyklu Carnota, wynosi:

(

)

.

ln

2

1

2

1

3

1

V

V

T

T

R

W

W

W

−

=

+

=

Z I zasady termodynamiki dla przemiany izotermicznej mamy 

,

Q

W

−

=

 czyli:

1

2

1

1

1

ln

Q

V

V

RT

W

−

=

=

i analogicznie: 

2

2

1

2

3

ln

Q

V

V

RT

W

−

=

−

=

stąd:

(

)

(

)

.

ln

2

1

2

1

2

1

3

1

Q

Q

V

V

T

T

R

W

W

W

+

−

=

−

=

+

=

Ponieważ V

1

 < V

2

, więc W

1

 jest ujemne, W

3

 – dodatnie, W zaś ujemne, gdyż T

1

 > T

2

. Zatem 

Q

1

 jest dodatnie, Q

2

 jest ujemne i oznacza ciepło oddane. Rezultatem cyklu jest więc praca W 

wykonana przez gaz kosztem pobranego ciepła  

.

2

1

Q

Q

−

Ponieważ  

2

1

W

W

>

  bo  

2

1

T

T

>

, 

więc 

,

2

1

Q

Q

>

 czyli ciepło pobrane jest większe od oddanego.

Wprowadzamy   definicję  wydajności   (sprawności)   cyklu  jako   stosunek   ciepła  

2

1

Q

Q

−

 

zamienionego na pracę do całkowitego ciepła pobranego 

:

1

Q

.

1

2

1

Q

Q

Q

−

=

η

Dla silnika Carnota można również zapisać:

(

)

,

ln

ln

2

1

1

2

1

2

1

1

V

V

RT

V

V

T

T

R

W

W

−

=

=

η

czyli:

.

1

2

1

T

T

T

−

=

η

I twierdzenie Carnota:
Wszystkie   maszyny   termodynamiczne   odwracalne   pracujące   między   tymi   samymi 
temperaturami mają tę samą sprawność.

II twierdzenie Carnota
Silnik nieodwracalny nie może mieć większej sprawności od silnika odwracalnego.