10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
1
10.
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
10.1. Zastosowanie funkcji Airy'ego
∇
2
x
y
=0
(10.1)
Zakładamy, że istnieje funkcja F(x,y) spełniająca następujące warunki (przy założeniu p
x
=0 oraz
istnienia siły masowej skierowanej przeciwnie do osi Y):
x
= ∂
2
F
∂ y
2
(10.2)
y
= ∂
2
F
∂ x
2
(10.3)
xy
= ∂
2
F
∂ x ∂ y
qx
(10.4)
∇
4
F
x , y
=0
(10.5)
∇
4
≡ ∂
4
∂ x
4
2
∂
4
∂ x
2
∂ y
2
∂
4
∂ y
4
(10.6)
∂
x
∂
x
∂
xy
∂ y
p
x
=0
(10.7)
∂
xy
∂ x
∂
y
∂ y
p
y
=0
(10.8)
Sprawdzamy czy funkcja Airy'ego spełnia te warunki.
∂
3
F
∂ y
2
∂ x
− ∂
3
F
∂ x ∂ y
2
−q=0
(10.9)
−∂
3
F
∂ x
2
∂ y
q ∂
3
F
∂ x ∂ y
2
−q=0
(10.10)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
2
Zadanie 1.
Znaleźć stan naprężeń w dowolnym punkcie tarczy.
Rys.10.1. Rysunek do zadania 1.
Przyjmujemy taką funkcję by spełniała równania biharmoniczne – warunek konieczny.
F
x , y
=ax
2
bxycy
2
(10.11)
Warunek dostateczny:
x
= ∂
2
F
∂ y
2
=2 c
(10.12)
y
= ∂
2
F
∂ x
2
=2 a
(10.13)
xy
=−b
(10.14)
Warunki brzegowe:
1
x
=l
−h yh
(10.15)
x
= p
x
xy
= p
(10.16)
2 c
= p
−b= p
(10.17)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
p
x
p
y
p
y
p
x
x
y
h
1
l
l
h
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
3
c
=
p
x
2
b
=− p
(10.18)
2
x
=−l
−h ∢ y∢h
(10.19)
x
= p
x
xy
= p
(10.20)
Warunki zgodne.
3
y
=−l
−h∢x∢h
(10.21)
y
= p
y
xy
= p
(10.22)
a
=
p
y
2
b
=− p
(10.23)
F
=
1
2
p
y
x
2
− p xy p
x
y
2
(10.24)
Zadanie 2.
Zginanie belki
Rys.10.2. Rysunek do zadania 2.
przyjmujemy funkcję F(x,y)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
l
l
b
=1
h
2
h
2
x
ql
ql
y
q
ql
ql
l
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
4
F
x , y
=a
2
x
2
b
3
x
2
y
d
5
x
2
y
3
−
y
5
5
(10.23)
∇
2
F
=0
(10.24)
∂
4
F
∂ x
4
=0
(10.25)
∂
4
F
∂ y
4
=−24 d
5
y
(10.26)
2 ∂
4
F
∂ x
2
∂ y
2
=24 d
5
y
(10.27)
Warunek jest spełniony.
1
x
= ∂
2
F
∂ y
2
=d
5
6 x
2
y
−4 y
3
(10.28)
2
y
= ∂
2
F
∂ x
2
=2 a
2
2 b
3
y
2 d
5
xy
3
(10.29)
3
xy
= ∂
2
F
∂ y ∂ x
=−2 b
3
x
−6 d
5
xy
2
(10.30)
Warunki brzegowe (wyrażone w naprężeniach).
1
y
=±
h
2
−lxl
xy
=0
(10.31)
2
y
=
h
2
−lxl
y
=−q
(10.32)
3
y
=−
h
2
−lxl
y
=0
(10.33)
4a
x
=l −
h
2
y
h
2
∫
−
h
2
h
2
xy
dy1
=ql
(10.34)
4b
x
=−l −
h
2
y
h
2
∫
−
h
2
h
2
xy
dy1
=−ql
(10.35)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
5
5
x
=±l
∫
−
h
2
h
2
x
dy1
=0
(10.36)
6
x
=±l
∫
−
h
2
h
2
x
ydy1
=0
(10.37)
y
∣
y
=
h
2
=−q
(10.38)
y
∣
y
=−
h
2
=0
(10.39)
Po podstawieniu do wzoru (10.29) otrzymamy:
{
2 a
2
2 b
3
h
2
2 d
5
h
3
8
=−q
2 a
2
−2 b
3
h
2
−2 d
5
h
3
8
=0
(10.40)
Z układu otrzymamy:
a
2
=−
q
4
(10.41)
xy
∣
y
=
h
2
=0
(10.42)
Po podstawieniu do wzoru (10.30) otrzymamy:
x
−2 b
3
−6 d
5
−
h
2
4
=0
(10.43)
Z równań (10.40) i (10.43) otrzymujemy:
d
5
=
q
h
3
10.44)
b
3
=−
3
4
q
4
(10.45)
Zatem
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
6
x
=
q
h
3
6 x
2
y
−4 y
3
(10.46)
y
=−
q
2
−
3
2
q
h
y
2 q
h
3
y
3
(10.47)
xy
=
3
2
q
h
x
−
6 q
h
3
x y
2
(10.48)
I
z
=I =
1 h
3
12
(10.49)
Zatem
x
=
1
I
q
2
x
2
−
2
3
y
2
y
(10.50)
y
=
1
I
q
2
y
3
3
−
h
2
4
y
−
h
3
12
(10.51)
xy
=
1
I
q
2
h
2
4
− y
2
x
(10.52)
Sprawdźmy warunki brzegowe (10.34)-10.37):
∫
xy
dy
=±ql
(10.53)
Warunek spełniony.
∫
x
dy
=0
(10.54)
Warunek spełniony.
∫
−h
2
h
2
x
ydy
=
1
I
q
2
l
2
h
3
12
−
h
2
10
≠0
(10.55)
Warunek nie jest spełniony czyli źle przyjęto funkcję F do przyjętej funkcji dodajemy F
1
F
=F F
1
(10.56)
gdzie
F
1
=d
3
y
3
(10.57)
Zatem
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
7
x
1
=6 d
3
y
(10.58)
y
1
=0
(10.59)
xy
1
=0
(10.60)
Po zmodyfikowaniu σ
x
wszystkie dotychczasowo spełnione warunki brzegowe są spełnione.
Wprowadźmy zmienione σ
x
x
=
1
I
q
2
x
2
2
3
y
2
y
6 d
3
y
(10.61)
do ostatniego warunku brzegowego, którego spełnienie prowadzi do relacji:
d
3
=−
q
2 I
l
2
−
h
2
10
(10.62)
Ostatecznie σ
x
ma postać:
x
=−
q
2 I
l
2
−x
2
y
−
q
2 I
2
3
y
2
−
h
2
10
y
(10.63)
Rys. 10.3. Naprężenia
x
=−
M
x
I
y
(10.64)
M
x=
q
2
l
2
−x
2
(10.65)
σ
x
jest krzywą trzeciego stopnia.
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
8
Rys. 10.4. Naprężenia σ
x
Porównajmy maksymalne naprężenia w włóknach skrajnych:
max
x
=
∣
x
d
−
x
p
∣
∣
x
d
∣
(10.67)
1
h
1 l
=0,1
0,3 promil
(10.68)
2
h
2 l
=0,25
1,7 promil
(10.69)
3
h
2 h
=0,5
6,7 promil
(10.70)
Przyjęte do rozważań wzory określające zginanie belki są wystarczająco dokładne.
Rys. 10.5. Naprężenia σ
y
, τ
xy
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
h
x
dokł.
x
przybl.
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
9
Ekstremalne wartości σ
y
=q << σ
x
zatem możemy je zaniedbać w obliczeniach. τ
xy
liczymy z wzoru
znanego z wytrzymałości materiałów:
T
x=−qx
(10.71)
xy
=
TS
Ib
(10.72)
9.2 Wyznaczenie przemieszczeń w belce.
Płaski stan naprężeń:
x
=
1
E
x
−
y
x
= ∂
u
∂ x
(10.73)
y
=
1
E
y
−
x
y
= ∂
v
∂ y
(10.74)
xy
=
1
2 G
xy
xy
=
1
2
∂ u
∂ y
∂
v
∂ x
(10.75)
W celu otrzymania u i v wykonujemy obustronne całkowanie nieoznaczone:
x
= ∂
u
∂ x
⇒ u x , y=
∫
x
dx
=... f
1
y
(10.76)
Dla x w środku belki ze względu na symetrię geometryczną i obciążenia:
u
0, y=0
⇒
f
1
y=0
(10.77)
y
= ∂
v
∂ y
⇒
v
x , y=
∫
y
dy
=... f
1
x
(10.78)
Wyznaczenie stałej całkowania:
xy
=
q
4 EI
h
2
4
− y
2
x
=
1
2
∂ u
∂ y
∂
v
∂ x
xy
= −
q
4 EI
[
l
2
x
−
x
3
3
2 q
2
−
h
2
10
x
2 y
2
−
h
2
4
x
]
1
2
df
1
x
dx
(10.79)
df
1
x
dx
=
q
2 EI
[
8
5
h
4
4
x
l
2
xi
x
3
3
]
(10.80)
f
1
x=... f
0
(10.81)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
xy
y
d
q
q
2
y
g
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
10
v
x , y=
q
2 EI
{
y
4
12
−
h
2
4
y
2
2
−
h
3
12
y
[
l
2
−x
2
y
2
2
y
4
6
−
h
2
20
y
2
]
}
q
2 EI
[
l
2
x
2
2
−
x
4
12
−
h
2
20
x
2
1
2
h
2
4
x
2
f
0
]
(10.82)
przyjmijmy następujące warunki:
x
=±l
y
=0
}
v
=0
(10.83)
Wówczas otrzymamy:
f
0
=−
ql
2
2 EI
[
5
12
2
4
5
3
h
4
4
]
(10.84)
W wyniku podstawienia f
0
do f
1
otrzymamy wzory na ugięcie w dolnych punktach belki (tylko w
poziomie).
v
=
5 ql
4
24 EI
(10.85)
9.3 Płaskie zadania osiowo symetryczne (współrzędne biegunowe)
Zadanie osiowo symetryczne to zadanie tak skonstruowane, że funkcja miejsca i obciążenia są zależne
tylko od jednej zmiennej ( promień).
Φ=Φ(r) – funkcja naprężeń
1
r
=
1
r
d
dr
(10.86)
=
d
2
dr
2
(10.87)
r
=0
(10.88)
2
∇
2
=
d
2
d r
2
1
r
d
dr
(10.89)
∇
4
=
d
4
dr
4
2
r
d
3
dr
3
−
1
r
2
d
2
dr
2
1
r
3
d
dr
(10.90)
∇
4
r=0
(10.91)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater
10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
11
Istnieje tylko jedna funkcja która spełnia to równanie.
r=AlnrBr
2
ln
rCr
2
D
(10.92)
Stan naprężeń i odkształceń łatwo możemy określić z definicji.
r
=
A
r
2
B
[
1
2 lnr
]
2C
(10.93)
=−
A
r
2
B
[
3
2 lnr
]
2C
(10.94)
r
=0
(10.95)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.
AlmaMater