1
Równania różniczkowe zwyczajne
Definicja
Równaniem różniczkowym rzędu pierwszego nazywamy
równanie postaci
F (x, y, y
0
) = 0,
gdzie
F
jest funkcją ciągłą na pewnym obszarze
∆ ⊂ R
3 , zaś
y = y(x)
jest szukaną (niewiadomą) funkcją.
Jeżeli równanie
F (x, y, y
0
) = 0
można rozwiązać ze względu na
y
0
, to otrzymujemy tzw. postać normalną równania różniczkowego
rzędu pierwszego:
y
0
= f (x, y),
gdzie
f
jest funkcją ciągłą na pewnym obszarze
D ⊂ R
2 .
2
Przykłady równań różniczkowych rz. 1:
y
0
+ 2y
2
sin x = 0
y
0
= 3x − y
xy
0
+ 2y (ln y − ln x) = 0
Definicja
Rozwiązaniem rr
y
0
= f (x, y)
na przedziale
I
nazywamy każdą funkcję
y = y(x)
o ciągłej pochodnej w
I
i
wykresie zawartym w obszarze
D
, która równanie to przeprowadza
w tożsamość, tj.
∀
x∈I
y
0
(x) ≡ f ( x , y(x) ).
Rozwiązanie rr nazywamy także całką rr.
3
Przykład
Najprostszym rr rz. 1 jest równanie:
y
0
= f (x),
gdzie
f
jest daną funkcją ciągłą w przedziale
I
.
Rozwiązanie tego równania ma postać:
y(x) =
Z
f (x) dx = F (x) + C
• Pojedyńcze rozwiązanie rr nazywamy całką szczególną (CS) rr.
• Rodzinę wszystkich rozwiązań postaci
y = y(x; C)
nazywamy
całką ogólną (rozwiązaniem ogólnym) rr.
NP.
y
0
=
1
x
4
Definicja
(Zagadnienia początkowego - Cauchy’ego)
Niech funkcja
f = f (x, y)
jest określona w obszarze
D
. Dla
zadanego punktu
(x
0
, y
0
) ∈ D
wyznaczyć takie rozwiązanie (CS)
y = y(x)
równania
y
0
= f (x, y)
, aby
y(x
0
) = y
0 . Tak postawiony
problem rozwiązania rr nazywamy zagadnieniem początkowym
(Cauch’ego), warunek
y(x
0
) = y
0 nazywamy warunkiem początkowym.
Zagadnienie początkowe zapisujemy:
y
0
= f (x, y)
y(x
0
) = y
0
5
Twierdzenie
(O istnieniu i jednoznaczności rozwiązań rr)
Jeżeli funkcja
f (x, y)
oraz jej pochodna cząstkowa
f
y
(x, y)
są
ciągłe na obszarze
D
oraz
(x
0
, y
0
) ∈ D
, to zagadnienie początkowe
y
0
= f (x, y)
y(x
0
) = y
0
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Przykład
Korzystając z podanego twierdzenia uzasadnić, że
zagadnienie początkowe
y
0
= ln(1 + y
2
),
y(0) = 0
ma dokłdnie jedno rozwiazanie.
6
Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Jest to równanie postaci:
y
0
= h(x) · g(y)
gdzie funkcje
h(x)
i
g(y)
są danymi funkcjami ciągłymi.
Twierdzenie
Jeżeli funkcje
h(x)
i
g(y)
są ciągłe odpowiednio w
przedziałach
(a, b)
i
(c, d)
, przy czym
g(y) 6= 0
dla
y ∈ (c, d)
oraz
x
0
∈ (a, b) y
0
∈ (c, d)
, to zagadnienie początkowe
y
0
= h(x) · g(y),
y(x
0
) = y
0
,
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
7
Uwaga
Sposób rozwiązywania rr o zmiennych rozdzielonych
y
0
= h(x)g(y)
:
dy
dx
= h(x) · g(y)
dy = h(x) · g(y) dx
dy
g(y)
= h(x) dx
Z
dy
g(y)
=
Z
h(x) dx
Całkę ogólną otrzymujemy z ostatniej tożsamości.
Uwaga
Jeżeli
y
∗
jest taką liczbą, że
g(y
∗
) = 0
, to funkcja
stała
y(x) = y
∗
,
x ∈ (a, b)
jest też rozwiązaniem równania
y
0
= h(x)g(y)
.
8
Przykład
Znaleźć całkę ogólną równania:
y
0
= 2x (y − 3)
Przykład
Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego:
y
0
=
cos x
3y
2
,
y
π
2
= −1
9
Równania sprowadzalne do
równań o zmiennych rozdzielonych
• Równanie jednorodne - jest to równanie postaci
y
0
= f
y
x
,
gdzie
f (u)
jest funkcją ciągłą w pewnym przedziale.
Równanie to sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych
przez podstawienie:
u(x) =
y(x)
x
Przykład
Znaleźć całkę ogólną równania:
y
0
=
x
3
+ y
3
xy
2
10
• Równanie postaci:
y
0
= f (ax + by + c) ,
gdzie
a 6= 0, b 6= 0
i
f (u)
jest funkcją ciągłą w pewnym
przedziale.
Równanie to sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych
przez podstawienie:
u(x) = ax + by(x) + c
Przykład
Rozwiązać równanie różniczkowe:
y
0
= (y + 4x − 3)
2
11
Równanie liniowe rzędu pierwszego
Równanie postaci:
y
0
+ p(x) y = f (x),
gdzie
p(x)
i
f (x)
są funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale
I
,
nazywamy równaniem liniowym rzędu pierwszego.
• Jeżeli
f (x) ≡ 0
, to równanie powyższe nazywamy równaniem
liniowym jednorodnym.
• Jeżeli
f (x)
nie jest tożsamościowo równe 0 na przedziale
I
, to
równanie powyższe nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym.
12
• Przykłady równań liniowych:
y
0
+ 2 y = cos x,
y
0
+ x y = e
x
,
y
0
+ y ln x = 0
• Przykłady równań, które nie są liniowe:
y
0
+ y
2
= sin x,
y
0
+ 2 x = e
y
,
y
0
+ x ln y = 0
Uwaga Równanie liniowe jednorodne jest równaniem o rozdzielonych
zmiennych.
Twierdzenie
(O budowie całki ogólnej równania liniowego
niejednorodnego
i
jednoznaczności
rozwiązania
zagadnienia
początkowego)
13
Załóżmy, że w równaniu
y
0
+ p(x) y = f (x),
funkcje
p(x)
i
f (x)
są funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale
I
. Wówczas:
• jeżeli
y = y
0
(x; C), x ∈ I, C ∈ R
jest całką ogólną równania
jednorodnego
y
0
+ p(x) y
=
0
oraz
y = y
S
(x), x ∈ I
jest dowolną całką szczególną równania niejednorodnego, to całka
ogólna równania niejednorodnego ma postać:
y = y
0
(x; C) + y
S
(x),
x ∈ I, C ∈ R.
14
• zagadnienie początkowe
y
0
+ p(x) y = f (x)
y(x
0
) = y
0
,
x
0
∈ I
ma dokładnie jedno rozwiązanie określone w całym przedziale
I
. Można je otrzymać z całki ogólnej poprzez odpowiedni dobór
stałej
C
.
Przykład
Znaleźć całkę szczególną równania
y
0
−
1
x
y = 2x
2
spełniającą warunek początkowy
y(−1) = 3
.
Przykład
Rozwiązać równanie:
y
0
+ cos x y = sin x cos x