Wyb
oczenie pręta
Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod
Komputerowych Mechaniki
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH
Wyb
oczenie pręta
Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod
Komputerowych Mechaniki
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH
R
ównowaga ciał - przykład
Stan równowagi statecznej
(trwałej)
minimum energii potencjalnej
Równowaga niestateczna
max energii potencjalnej
Równowaga obojętna
R
ównowaga ciał
•Równowaga stateczna (trwała)
- taka forma
równowagi w której ciało wychylone z położenia
pierwotnego z powrotem do niego powraca.
•Równowaga niestateczna
– ciało wychylone z
położenia pierwotnego nie wraca do niego, ale
przechodzi do innego.
•Równowaga obojętna
– ciało wychylone z
położenia pierwotnego pozostaje w nowym
położeniu.
W
yboczenie pręta
Wygięcie pręta spowodowane przekroczeniem
przez siłę ściskającą wartości krytycznej P
kr
Formuła Eulera
na siłę krytyczną
przy wyboczeniu sprężystym pręta:
E – moduł Younga
I – moduł przekroju poprzecznego pręta
"
( )
g
v EI
M x
= −
( )
g
kr
M x
P v
=
⋅
"
kr
EIv
P v
= −
Po uporządkowaniu:
"
0
kr
P
v
v
EI
+
=
Podstawiając
2
k
EI
P
kr
=
( )
sin
cos
v x
A
kx B
kx
=
+
otrzymujemy:
2
"
0;
v
k v
+
=
Całka ogólna ma postać:
( )
sin
cos
kr
kr
P
P
v x
A
x B
x
EI
EI
=
+
Podstawiając:
EI
P
k
kr
=
otrzymujemy:
Warunki brzegowe:
0,
0,
0
Dla x
v
B
=
= ⇒
=
( )
sin
cos
v x
A
kx B
kx
=
+
,
0,
sin
0
Dla x l v
A
kl
=
= ⇒
=
Warunek
⇒
lub gdy:
czyli:
,...
3
,
2
,
1
,
=
=
n
n
kl
π
podstawiając:
0
sin
=
kl
A
jest spełniony gdy A=0,
0
sin
=
kl
EI
P
k
kr
=
π
n
l
EI
P
kr
=
⇒
2
2
2
l
EI
n
P
kr
π
=
Wzór na Eulerowską siłą krytyczną:
2
2
2
r
kr
l
EI
n
P
π
=
2
2
2
r
kr
l
EI
n
P
π
=
Gdzie:
l
l
r
⋅
=
α
N
aprężenia
Naprężenie krytyczne :
A
l
EAi
A
P
r
kr
kr
2
2
2
π
σ
=
=
2
Ai
I
=
2
2
2
r
kr
l
EI
n
P
π
=
A
P
kr
kr
=
σ
2
2
2
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
i
l
E
A
l
EAi
r
r
kr
π
π
σ
Przekształcając:
smukłość pręta
λ
=
i
l
r
eulerowskie naprężenie krytyczne
2
2
λ
π
σ
E
kr
=
N
aprężenia
2
2
λ
π
σ
E
kr
=
jest prawdziwe tylko gdy
H
kr
σ
σ
≤
(granica
proporcjonalności)
2
2
gr
H
E
λ
π
σ
=
⇓
H
gr
E
σ
π
λ
=
smukłość graniczna
P
odsumowanie
2
2
λ
π
σ
E
kr
=
2
2
2
r
kr
l
EI
n
P
π
=
Siła krytyczna
Naprężenie krytyczne
TYLKO WTEDY GDY:
gr
λ
λ
>
H
gr
E
σ
π
λ
=
smukłość graniczna
gdzie
Gdy
i
e
kr
R
<
σ
Stosujemy zależności eksperymentalne:
λ
σ
b
a
kr
−
=
2
λ
σ
B
A
kr
−
=
Wzór Tetmajera-Jasińskiego
Wzór Johnsona-Ostenfelda
Gdzie:
A, B, a, b – stałe materiałowe
ustalone doświadczalnie
gr
λ
λ
<
K
ryteria wyboczenia
,
w
kr
n
σ
σ
≤
2
2
r
w
l
n
EI
P
π
≤
,
w
kr
n
P
P
≤
w
kr
n
A
P
σ
≤
n
w
– współczynnik bezpieczeństwa ze względu na wyboczenie
czyli
czyli
U
proszczone kryterium wyboczenia
,
c
k
β
σ
≤
c
k
A
P
β
≤
k
c
– dopuszczalne naprężenie materiału na ściskanie
czyli
β – współczynnik zależny od smukłości pręta i rodzaju materiału
0,110
0,140
0,180
0,230
0,300
0,410
0,600
0,770
0,880
0,950
18G2
18G2A
0,160
0,200
0,250
0,320
0,420
0,550
0,680
0,800
0,890
0,950
St05
St35
St35x
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
λ
Materiał