1
Katedra Geodezji Szczegółowej
UWM w Olsztynie
Ćwiczenie nr 1
"
Wykonywanie obliczeń na liczbach przybliżonych, przeliczanie kątów
wyrażonych w różnych jednostkach”
Nazwisko i imię
Grupa: Data:
1. Wykonywanie obliczeń na liczbach przybliżonych
Błąd pomiaru
.
W geodezji mierzymy odległości, wysokości i kąty. Pomiary tych wielkości są
obarczone nieuniknionymi błędami. Błędy te nie są synonimem pomyłki lub gafy. Źródłem błędów są
niedoskonałości instrumentów mierniczych, błędy osobowe obserwatora i wpływ środowiska np.
temperatura powietrza. Zazwyczaj błędy są klasyfikowane na grube (pomyłki), systematyczne i
przypadkowe. Dokładność wyniku pomiaru zależy od tego jak ułożą się te błędy pomiarowe i dlatego
mówimy że wynik pomiaru jest liczba przybliżoną.
Ponieważ wszystkie pomiary geodezyjne są obarczone błędami (niepewnością) nie jest rozsądnym
podawanie dowolnej liczby cyfr jako wynik pomiaru. Przykładowo, jeśli mierzymy odległość taśmą
stalową to wynik podajemy tylko do centymetrów np. 253.23 metra a nie w postaci 253.4 m lub
253.2345 m. Każdy wynik pomiaru składa się z pewnej liczby cyfr znaczących. Cyframi znaczącymi
liczby przybliżonej nazywamy wszystkie jej cyfry z wyjątkiem zer położonych na lewo od pierwszej
różnej od zera cyfry. Wynik pomiaru powinien zawierać tyle cyfr znaczących aby ostania cyfra
znacząca była zwykle tego samego rzędu (stać na tym samym miejscu dziesiętnym), co błąd pomiaru
(niepewność).
Każda liczba przybliżona zawiera pewną ilość liczb po przecinku dziesiętnym. Znakami dziesiętnymi
liczby przybliżonej nazywamy te jej cyfry, które są położone na prawo od przecinka (kropki)
dziesiętnej.
Na pierwszym roku studiów spotykamy się z pomiarami o średniej dokładności dlatego też wyniki
pomiarów zapisujemy zgodnie z zasadami podanymi w poniższej tabeli 1.
Tabela 1
Typ pomiaru
Liczba przybliżona
Pomiary liniowe
centymetry (np. 128.23, 163.01, 436.00),
decymetry (np. 876.8, 546.0),
metry np. 364
Pomiary kątowe
stopnie, minuty, sekundy (np.
123 12 45
o
′ ′′
,
123 00 00
o
′ ′′
)
stopnie, minuty (np.
23 52
o
′
,
43 05.2
o
′
)
grady (np.
132 32 46 48 97 56 9876
g
c
cc
g
c
g
,
,
.
)
Pomiary wysokościowe milimetry (np.2.345 m, 1.001 m, 0.003 m)
Obliczenia
Liczba przyblizona
Współrzędne x i y
centymetry (np. 43.09, 56.32)
W rachunkach geodezyjnych mamy więc do czynienie z działaniami na liczbach przybliżonych.
Wyjątki stanowią, wynikające z zależności matematycznych, stałe współczynniki. Przykładowo obwód
koła liczony jest ze wzoru 2
πr, gdzie liczba 2 jest stałym współczynnikiem, a r wielkością mierzoną.
Wynik działań rachunkowych na liczbach przybliżonych powinien być podany z taką dokładnością aby
realnie odzwierciedlał dokładność pomiaru. Przykładowo jeśli w celu określenia powierzchni działki
budowlanej w kształcie kwadratu pomierzono jeden bok z dokładnością do decymetra np. 45,8 m to
2
po podniesieniu tej liczby przybliżonej do kwadratu otrzymujemy 2 976.64 m
2
czyli powierzchnię z
dokładnością do cm
2
, co jest oczywistym nonsensem. Rozsądnym wynikiem jest liczba 2 976.6 m
2
.
Rachunki na liczbach przybliżonych są wykonywane z zachowaniem pewnych reguł, które są
następujące:
Reguła 1. Przy dodawaniu lub odejmowaniu liczb przybliżonych, z których liczba o najmniejszej ilości
znaków dziesiętnych ma
k
znaków należy:
√ zaokrąglić przed rachunkiem wszystkie występujące w rachunku liczby do
k+1
znaków,
√ dokonać rachunków,
√ w ostatecznym wyniku zachować
k
znaków dziesiętnych.
Reguła 2. Przy mnożeniu lub dzieleniu liczb przybliżonych, z których liczba o najmniejszej ilości cyfr
znaczących ma
k
znaków należy:
√ zaokrąglić przed rachunkiem wszystkie występujące w rachunku liczby do
k+1
cyfr
znaczących,
√ dokonać rachunków,
√ w ostatecznym wyniku zachować
k
cyfr znaczących.
Reguła 3. Przy potęgowaniu i pierwiastkowaniu liczb przybliżonych w wyniku zachować tyle cyfr
znaczących ile ich zawiera podstawa potęgi lub liczba podpierwiastkowa.
Reguła 4. Zasada zaokrąglania liczb przybliżonych. W rachunkach geodezyjnych przyjmuje się, że
liczby przybliżone zakończone na 5 zaokrąglamy zawsze do parzystej liczby, np. 15785 ≈ 15780,
254.435 ≈ 254.44, 0.895 ≈ 0.90.
Przykład 1-1
Zgodnie z regułami wykonaj dodawanie następujących liczb:
2323.5678
11.4
234.678
1248.57425
754.23
110.000001
0.230
222.3401
Przykład 1-2.
Wykonaj mnożenie liczb przybliżonych 234.21 x 0.153 = 1.231 x 0.51 = 1.001 x 234 = ,
1.0001 x 0.0011 = 854.28672 x 2.4 =
Przykład 1-3.
Wykonaj dzielenie 7328.54 : 1.713 = 85.427 : 1.76 = 65.98763 : 23.3 =
347.18 : 1.2 = 642.1 : 0.0065 = 735.011 : 0.0002 =
Przykład 1-4.
Wykonaj potęgowanie 254.782 = 34.872 = 1.9822=.........0.3022= 0.0022 =
Przykład 1-5
Oblicz pierwiastek
64913
=
973
.
34
=
963002
.
1
=
0034
.
0
=
2. Przeliczanie kątów wyrażonych w różnych jednostkach
2.1. Zależność między miarą radialną a stopniowa jest następująca:
π
α
=
α
2
360
o
o
)
skąd
α
π
=
α
)
o
o
180
lub
o
o
180
α
π
=
α)
( 2-1)
3
gdzie
α
⋅
ρ
=
α
)
o
o
,
α
⋅
ρ′
=
α′
)
,
α
⋅
ρ ′′
=
α ′′
)
gdzie
3
.
57
o
o
=
ρ
,
8
343 ′
=
ρ′
,
5
20626 ′′
=
ρ ′′
Przykład 2-1.
Zgodnie z zasadami działań na liczbach przybliżonych zamienić 4.0, 3.2485 i 0.785341 radiana na
miarę stopniową.
Przykład 2-2.
Zgodnie z zasadami działań na liczbach przybliżonych Zamienić
12
.
23
o
,
3
2
63
o
′
i
8
4
3
5
13
o
′′
′
na miarę
radialną.
2.2. Zależność między miarą radialną a gradową jest następująca:
π
α
=
α
2
400
g
g
)
więc
g
go
ρ
α
=
α)
lub
α
⋅
ρ
=
α
)
g
g
α
⋅
ρ
=
α
)
g
g
,
α
⋅
ρ
=
α
)
c
c
,
α
⋅
ρ
=
α
)
cc
cc
gdzie
g
ρ = 63.7
g
,
c
ρ =6366
c
,
cc
ρ =636620
cc
Przykład 2-3
Zamienić 4.0, 3.2485 i 0.785341 radiana na miarę gradową:
Przykład 2-4
Zamienić na miarę radialną następujące kąty
cc
c
g
36
11
142
=
cc
c
g
66
62
56
=
cc
c
g
66
62
56
=
2.3. Zależność między miarą stopniową a gradową następująca:
o
g
9
10 α
=
α
,
α′
=
α
27
50
c
,
α ′′
=
α
81
250
cc
Przykład 2-5
Zamień na grady:
2
4
2
1
54
o
′′
′
=
2
5
7
4
184
o
′′
′
=
2
3
1
5
391
o
′′
′
=
Przykład 2-6
Zadnie 12. Zamień na stopnie:
cc
c
g
52
48
12
=
cc
c
g
32
18
387
3. Literatura
J. Ząbek, Z. Adamczewski, S. Kwiatkowski: „Ćwiczenia z geodezji I” cz. I, Warszawa, 1977 i następne
wydania