background image

 

1 

Układ równań liniowych 

 

 
Definicje  

     a) Równaniem liniowym o niewiadomych x

1

 , x

2

 , …, x

n

 nazywamy równanie  

          a

11

 x

1

 + a

12

 x

2

 + … + a

12

x

n

 = b

1

, gdzie a

11

,  a

12

, …,  a

12

 , b

1

 są danymi liczbami  

          rzeczywistymi.   

     b) Rozwiązaniem tego równania nazywamy ciąg liczb (r

1

 , r

2

 , …, r

n

 ) rzeczywistych     

          spełniających to równanie.  

 

Definicja  

            Układ równań (koniunkcję równań) postaci: 

                        



=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

m

n

mn

m

m

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

...

.

...

...

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

 

         nazywamy układem m równań liniowych o n niewiadomych .  

 

 Zapis macierzowy 

      Układ powyższy zapisuje się w postaci macierzowej następująco: 

            A

m x n

 

⋅

 X

n

 = B

m

  ,     gdzie  

        A

m x n 

 = 

mn

m

m

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

...

.

.

.

.

...

...

2

1

2

22

21

1

12

11

 ;     X

n

 = 

n

x

x

x

.

.

2

1

 ;              B

m

 = 

m

b

b

b

.

.

2

1

  

                  A

m x n 

 to macierz            X

n

 to wektor                  B

m

 to macierz (wektor)  

                  współczynników,           niewiadomych,                  wyrazów wolnych. 

            

          Zatem układ wyjściowy w postaci macierzowej ma postać: 

                                             

mn

m

m

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

...

.

.

.

.

...

...

2

1

2

22

21

1

12

11

 

⋅

n

x

x

x

.

.

2

1

= 

m

b

b

b

.

.

2

1

 

 

background image

 

2 

             Mówmy także o macierzy rozszerzonej lub uzupełnionej; jest macierz 

współczynników poszerzona o macierz wyrazów wolnych, pisze się U =  [A|B], czyli 

                U = 

m

mn

m

m

n

n

b

a

a

a

b

a

a

a

b

a

a

a

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

...

2

1

2

2

22

21

1

1

12

11

. 

        Gdy B = [0] jest wektorem zerowym mówimy, że układ równań jest układem 

jednorodnym.  

         Mogą zachodzić różne przypadki , może być tyle równań co niewiadomych ( m = n),  

        może być więcej równań niż niewiadomych ( m > n)  bądź mniej równań niż  

         niewiadomych  (m < n). 

 

Ć

wiczenia 

 
 1.  Dane są układy równań linowych:  

           a)   

=

−

−

=

−

1

3

5

2

y

x

y

x

,      b)  

=

−

+

=

+

+

−

−

=

+

−

1

3

2

0

2

1

3

z

y

x

z

y

x

z

y

x

 ,     c) 



−

=

+

+

+

−

=

+

−

=

+

−

+

=

−

−

1

4

3

2

2

1

7

5

3

4

3

2

t

z

y

x

t

z

x

t

z

y

x

z

y

x

 . 

             Zapisz każdy z nich w postaci: 

•

 

macierzowej  typu:   A 

⋅

 X = B  oraz  [A| B] ;   

•

 

wektorowej typu:  x

1

1

k

 +x

2

 

2

k

 +x

3

 

3

k + … +x

n

n

k  =   b  . 

         
2.  Dane są układy równań linowych:  

 

                  

1

0

0

2

1

0

3

2

1

 

⋅

 

z

y

x

  = 0 ,      – 

−

0

1

5

2

 

⋅

 

q

p

 = 

−

1

3

.          

 

   Zapisz każdy z nich w postaci: 

•

 

klasycznej – koniunkcji równań liniowych,  

•

 

macierzowej typu:  [A| B] ,   

•

 

wektorowej typu:  x

1

1

k

 +x

2

 

2

k

 +x

3

 

3

k + … +x

n

n

k  =   b  .