Zadania z zasady indukcji matematycznej
1
1. Udowodnij metodą indukcji matematycznej prawdziwość wzoru:
(a) ∀
n∈N
2 + 9 + 16 + · · · + (7n − 5) =
(7n−3)n
2
;
(b) ∀
n∈N
3 + 9 + 15 + · · · + (6n − 3) = 3n
2
;
(c) ∀
n∈N
1 + 2 + 3 + · · · + n =
n(n+1)
2
;
(d) ∀
n∈N
3 + 7 + 11 + · · · + (4n − 1) = n(2n + 1);
(e) ∀
n∈N
4 + 12 + 20 + · · · + (8n − 4) = 4n
2
;
(f) ∀
n∈N
2 + 7 + 12 + · · · + (5n − 3) =
n(5n−1)
2
;
(g) ∀
n∈N
2 + 11 + 20 + · · · + (9n − 7) =
n(9n−5)
2
;
(h) ∀
n∈N
1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n
2
;
(i) ∀
n∈N
1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ · · · + (2n − 1)
2
=
n
3
(4n
2
− 1);
(j) ∀
n∈N
1 + 3
1
+ 3
2
+ · · · + 3
n
=
3
n+1
−1
2
;
(k) ∀
n∈N
4 + 10 + 16 + · · · + (6n − 2) = n(3n + 1);
(l) ∀
n∈N
3 + 10 + 17 + · · · + (7n − 4) =
1
2
n(7n − 1);
(m) ∀
n∈N
1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n(n + 1) =
1
3
n(n + 1)(n + 2);
(n) ∀
n∈N
1·2·3+2·3·4+· · ·+n(n+1)(n+2) =
1
4
n(n+1)(n+2)(n+3);
(o) ∀
n∈N
1
1·2
+
1
2·3
+
1
3·4
+ · · · +
1
n(n+1)
=
n
n+1
;
(p) ∀
n∈N
1
1·3
+
1
3·5
+
1
5·7
+ · · · +
1
(2n−1)(2n+1)
=
n
2n+1
;
(q) ∀
n∈N
1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + · · · + n · n! = (n + 1)! − 1;
(r) ∀
n∈N
0
9|10
n
− 1;
(s) ∀
n∈N
0
133| 11
n+2
+ 12
2n+1
;
(t) ∀
n∈N
3|4
n
+ 5;
(u) ∀
n∈N,n2
12|10
n
− 4;
(v) ∀
n∈N
0
3| (10
n
+ 4
n
− 2);
(w) ∀
n∈N
0
7|(n
7
− n);
(x) ∀
n∈N
4| 5
5n−2
+ 3
;
(y) ∀
n∈N
0
3|(n
3
+ 2n);
(z) ∀
n∈N
0
6|(n
3
+ 3n
2
+ 2n);
1
Zadania opracowano na podstawie [14].
1
2. Ciąg (s
n
) jest określony wzorem rekurencyjnym s
1
= 1, s
n
= s
n−1
+
2(n − 1) + 1. Wykaż, że s
n
= n
2
dla każdego n ∈ N.
3. Ciąg (s
n
) jest określony wzorem rekurencyjnym s
0
= a s
n
= 2s
n−1
+b.
Wykaż, że s
n
= 2
n
a + (2
n
− 1)b dla każdego n ∈ N
0
.
4. Definiujemy rekurencyjnie ciąg (a
n
) wzorami:
(a) a
0
= 1, a
1
= 2 oraz a
n
=
a
2
n−1
a
n−2
dla n 2;
(b) a
0
= 1, a
1
= 2 oraz a
n
=
a
2
n−1
−1
a
n−2
dla n 2;
(c) a
0
= 0, a
1
= 1 oraz a
n
=
1
4
(a
n−1
− a
n−2
+ 3)
2
dla n 2.
Oblicz kilka pierwszych wyrazów tego ciągu, a następnie odgadnij i
udowodnij wzór ogólny na a
n
.
5. Definiujemy rekurencyjnie ciąg (a
n
) wzorami: a
0
= 1, a
1
= 2, a
2
= 3
oraz a
n
= a
n−2
+ 2a
n−3
dla n 3. Udowodnij, że a
n
>
3
2
n
dla
wszystkich n 1.
6. Definiujemy rekurencyjnie ciąg (a
n
) wzorami: a
0
= a
1
= a
2
= 1 oraz
a
n
= a
n−1
+ a
n−2
+ a
n−3
dla n 3. Udowodnij, że wszystkie liczby a
n
są nieparzyste oraz udowodnij, że a
n
¬ 2
n−1
dla wszystkich n 1.
7. Definiujemy rekurencyjnie ciąg (a
n
) wzorami: a
0
= 1, a
1
= 3, a
2
= 5
oraz a
n
= 3a
n−2
+ 2a
n−3
dla n 3.
• Udowodnij, że a
n
> 2
n
dla wszystkich n 1;
• Udowodnij, że a
n
< 2
n+1
dla wszystkich n 1;
• Udowodnij, że a
n
= 2a
n−1
+ (−1)
n−1
dla wszystkich n 1.
8. Definiujemy rekurencyjnie ciąg (a
n
) wzorami: a
0
= a
1
= a
2
= 1 oraz
a
n
= a
n−1
+ a
n−3
dla n 3.
• Pokaż, że a
n
2a
n−2
dla wszystkich n 3;
• Udowodnij nierówność a
n
√
2
n−2
dla wszystkich n 2;
• Udowodnij, że a
n
¬
3
2
n−1
dla wszystkich n 1.
2