Analiza widmowa
czyli
powrót na ziemię
Analiza widmowa
czyli
powrót na ziemię
Transformata Fouriera
f(t) — dowolna funkcja (dystrybucja)
Transformata Fouriera f(t)
( )
{ }
( )
( )
– j
e
d
j
t
f t
f t
t
F
ω
ω
+∞
∞
=
∫
≜
F
–
∞
∫
Odwrotna transformata Fouriera funkcji F(j
ω
)
( )
( )
{
}
( )
–1
j
d
j
j
e
2π
t
f t
F
F
ω
ω
ω
ω
+∞
−∞
=
=
∫
F
Istnienie i jednoznaczność przekształcenia Fouriera
Twierdzenie 1.
Jeżeli f(t) jest funkcją bezwzględnie całkowalną w przedziale (–
∞
,
∞
),
tzn.
to całka
( )
j
e
d
t
f t
t
ω
∞
−
−∞
∫
( )
d
,
f t
t
∞
−∞
< ∞
∫
jest zbieżna dla wszystkich wartości
ω
. Transformata Fouriera funkcji f(t)
jest ciągłą funkcją
ω
, oraz
−∞
∫
( )
( )
{ }
j
,
F
f t
ω
=
F
( )
lim
j
0.
F
ω
ω
→±∞
=
Bezwzględna całkowalność f(t) jest warunkiem dostatecznym istnienia
transformaty Fouriera.
Twierdzenie 2.
Jeżeli f
1
(t) i f
2
(t) są funkcjami bezwzględnie całkowalnymi, to
( )
{
}
( )
{
}
( )
( )
1
2
1
2
f t
f
t
f t
f
t
=
⇔
=
F
F
1. Ponieważ
( )
( )
∞
∞
Wnioski:
więc wszystkie sygnały o skończonej energii (w szczególności
przebiegi impulsowe) spełniają warunki dostateczne istnienia
transformaty Fouriera.
2. Nie są transformowalne funkcje stałe i okresowe. Będzie
jednak
dla
nich
istnieć
dystrybucyjne
przekształcenie
Fouriera.
( )
( )
2
d
d
f
t
t
f t
t
∞
∞
−∞
−∞
< ∞
⇒
< ∞
∫
∫
Własności przekształcenia Fouriera
Stosować będziemy oznaczenia:
( )
{ }
( )
( )
( )
( )
{ }
( )
( )
( )
j
j
j
j
f t
F
f t
F
g t
G
g t
G
ω
ω
ω
ω
=
⇔
=
⇔
⇌
⇌
F
F
1. Liniowość
( )
( )
( )
( )
1
2
1
2
j
j
a f t
a g t
a F
a G
ω
ω
+
+
⇌
( )
( )
( )
( )
1
2
1
2
⇌
2. Przesunięcie w dziedzinie czasu
(
)
( )
0
j
0
j
e
t
f t
t
F
ω
ω
−
−
⇌
3. Przesunięcie w dziedzinie
ω
( )
(
)
0
j
0
0
e
j
,
t
f t
F
ω
ω ω
ω
−
∈
⇌
ℝ
4. Różniczkowanie (dystrybucyjne) w dziedzinie czasu
( )
( )
d
j
j
d
f t
F
t
ω
ω
⇌
5. Splot w dziedzinie czasu
( ) ( )
( ) (
)
( ) ( )
d
j
j
f t
g t
f
g t
F
G
τ
τ τ
ω
ω
∞
−∞
∗
=
−
∫
⇌
6. Mnożenie w dziedzinie czasu
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
)
1
1
j
j
j
j
d
f t g t
F
G
F
G
ω
ω
η
ω η
η
∞
∗
=
−
∫
⇌
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
)
1
1
j
j
j
j
d
2π
2π
f t g t
F
G
F
G
ω
ω
η
ω η
η
−∞
∗
=
−
∫
⇌
7. Symetria
( )
( )
j
2π
F
t
f
ω
−
⇌
8. Zmiana skali czasu
( )
(
)
j
,
0
t
f
a F
a
a
a
ω
≠
⇌
Przykład 1.
( ) ( )
δ
f t
t
=
( )
( )
{ }
( )
j
j
δ
e
d
1
t
F
f t
t
t
ω
ω
∞
−
−∞
=
=
=
∫
F
Przykład 2.
( )
( )
e
,
0
at
f t
t
a
−
=
>
1
( )
( )
{ }
( )
(
)
j
j
0
1
j
e
e
d
e
d
j
a
t
a t
t
F
f t
t
t
t
a
ω
ω
ω
ω
∞
∞
− +
−
−
−∞
=
=
=
= +
∫
∫
1
F
( )
{ }
1
f t
s
a
= +
L
( )
f
t
′
t
1
( )
f t
e
a t
−
⇌
( )
j
F
ω
( )
f
t
′
Inaczej
⇌
( )
( )
j
j
1
j
F
aF
ω
ω
ω
= −
( )
1
j
j
F
a
ω
ω
= +
t
– a
e
a t
a
−
−
( )
δ t
Przykład 3.
1
2
1
f(t)
t
2
1
f
'
(t)
t
( )
δ t
⇌
( )
j
F
ω
⇌
( )
( )
j
j
1
j
F
G
ω
ω
ω
= +
–1
( )
g t
2
1
t
( )
g t
′
( )
δ
1
t
−
−
(
)
δ
2
t
−
⇌
( )
( )
j
j
1
j
F
G
ω
ω
ω
= +
( )
( )
{ }
j
G
g t
ω
=
F
⇌
( )
j
2 j
j
j
e
e
G
ω
ω
ω
ω
−
−
= −
+
( )
j
2 j
e
e
j
j
G
ω
ω
ω
ω
−
−
−
+
=
( )
j
2 j
e
e
j
j
1
j
F
ω
ω
ω
ω
ω
−
−
−
+
= +
( )
j
2 j
j
2 j
j
e
e
1
e
e
j
F
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
−
−
−
−
+
−
+
=
+
=
( )
( )
2
2
j
e
e
1
e
e
j
j
j
F
ω
ω
ω
ω
ω
−
+
−
+
=
+
=
−
( )
{ }
2
2
2
2
2
1
e
e
e
e
s
s
s
s
s
f t
s
s
s
s
−
−
−
−
−
+
= −
+
=
L
( )
f t
t
e
a t
−
e
a t
1
Przykład 4.
( )
f
t
′
t
e
a t
a
a
( )
e
a t
f t
−
=
⇌
( )
j
F
ω
⇌
( )
j
j
F
ω
ω
e
a t
a
−
−
–a
( )
f
t
′′
t
2
e
a t
a
−
2
e
a t
a
( )
2 δ
a
t
−
⇌
( )
j
j
F
ω
ω
⇌
( )
( )
2
2
j
2
j
F
a
a F
ω
ω
ω
−
= − +
( )
2
2
2
j
a
F
a
ω
ω
=
+
Związek z transformatą Laplace’a
( )
{ }
( )
( )
( )
{ }
( )
( )
0
j
e
d
e
d
j
s t
t
f t
f t
t
F s
f t
f t
t
F
ω
ω
∞
−
−
∞
−
−∞
=
=
=
=
∫
∫
L
F
Jeżeli
( )
0
dla
0
f t
t
≡
<
to
to
( )
( )
j
j
s
F
F s
ω
ω
=
=
pod warunkiem, że oś j
ω
ωω
ω
należy do obszaru zbieżności
transformaty Laplace’a.
Warunek ten jest spełniony gdy
czyli jest warunkiem istnienia transformaty Fouriera.
( )
0
d
,
f t
t
∞
−
< ∞
∫
Twierdzenie
Jeżeli f(t) jest funkcją przyczynową, czyli
a jej transformatą Laplace’a jest wymierna funkcja
której mianownik jest wielomianem Hurwitza (czyli F(s) nie ma
biegunów w domkniętej prawej półpłaszczyźnie zmiennej s), to
istnieje transformata Fouriera funkcji f(t) i jest równa
( )
0
dla
0,
f t
t
≡
<
( )
( )
{ }
,
F s
f t
=
L
( )
( )
{ }
( )
j
j
s
F
f t
F s
ω
ω
=
=
=
F
( )
( )
( )
( )
1
1
e
,
j
1
1
j
t
f t
t
F s
F
s
ω
ω
−
=
=
⇒
=
+
+
1
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
j
2
e
cos
,
j
4
5
5
4 j
t
s
f t
t
t
F s
F
s
s
ω
ω
ω
ω
−
+
+
=
⋅
=
⇒
=
+
+
−
+
1
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
3
10
4
4
6
6
e
,
j
10
10
j
t
f t
t
t
F s
F
s
ω
ω
−
=
=
⇒
=
+
+
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
1
sin
,
1
1
e
,
2
1
,
t
f t
t
t
F s
s
f t
t
F s
s
f t
t
F s
s
=
⋅
=
+
=
=
−
=
=
1
1
1
Transformaty Fouriera nie istnieją.
Nie wolno
podstawić s = j
ω
t
1
( )
f t
⇌
( )
j
F
ω
( )
{ }
( )
1 e
s
f t
F s
s
−
−
=
=
L
t
1
( )
f
t
′
t
1
( )
δ t
( )
δ
1
t
−
−
⇌
⇌
( )
j
F
ω
( )
j
j
j
1 e
F
ω
ω
ω
−
= −
( )
j
1 e
j
j
F
ω
ω
ω
−
−
=
( )
{ }
( )
s
L
( )
0
lim
1
s
F s
→
=
F(s) nie jest funkcją wymierną
Punkt s = 0 nie jest
biegunem funkcji F(s)
Interpretacja fizyczna
( )
( )
( )
(
)
(
)
{
}
j
j
j
–1
d
d
d
j
e
j
e
j
e
2π
2π
2π
j
t
t
t
f
t
F
F
F
F
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
∞
∞
∞
−
→−
−∞
−∞
−∞
∗
∗
∗
∗
∗
=
=
=
−
=
=
−
∫
∫
∫
F
Jeżeli
( )
( )
f t
f
t
∗
=
to
to
(
)
( )
( )
(
)
j
j
czyli
j
j
F
F
F
F
ω
ω
ω
ω
∗
∗
−
=
=
−
(funkcja hermitowska zmiennej rzeczywistej
ω
)
( )
( )
( )
( )
( )
j
j
j
e
,
arg
j
F
F
F
ξ ω
ω
ω
ξ ω
ω
=
=
( )
(
)
( )
( )
j
j
F
F
ω
ω
ξ ω
ξ ω
=
−
= − −
funkcja parzysta
funkcja nieparzysta
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
0
j
j
j
j
j
0
0
j
j
j
j
0
j
j
0
0
d
d
d
j
e
j
e
e
j
e
e
2π
2π
2π
d
d
j
e
e
j
e
e
2π
2π
d
d
j
e
e
2
j
cos
2π
2π
t
t
t
t
t
f t
F
F
F
F
F
F
F
ξ ω
ξ ω
ω
ω
ω
ξ ω
ξ ω
ω
ω
ω ξ ω
ω ξ ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω ξ ω
∞
∞
−∞
−∞
∞
−
−
∞
∞
∞
+
−
+
=
=
+
=
−
=
−
+
=
=
+
=
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Funkcję f(t) można przedstawić jako nieskończoną, nieprzeliczalną
sumę przebiegów sinusoidalnych o ,,amplitudach”
(
) ( )
d
π
j
,
F
ω
ω
sumę przebiegów sinusoidalnych o ,,amplitudach”
i zmieniających się w sposób ciągły pulsacjach
ω
i fazach
początkowych
ξ
(
ω
).
(
) ( )
d
π
j
,
F
ω
ω
( )
( )
( )
j
j
F
F
ω
ω
ξ ω
— zespolone widmo sygnału f(t)
— widmo amplitudowe (widmowa gęstość amplitudy)
— widmo fazowe
( )
f t
t
( )
j
F
ω
ω
Alternatywny opis sygnałów
W dziedzinie czasu
W dziedzinie częstotliwości
( )
ξ ω
ω
Energia sygnału
( )
2
d
W
f
t
t
∞
−∞
∫
≜
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
j
j
j
d
d
j
e
d
2π
d
d
j
e
d
j
e
d
2π
2π
t
t
t
W
f t f
t
t
f t
F
t
f t F
t
F
f t
t
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
∞
∞
∞
−∞
−∞
−∞
∞ ∞
∞
∞
−
−
−∞ −∞
−∞
−∞
∗
∗
∗
∗
=
=
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
( ) ( )
( )
2
2π
2π
d
d
j
j
j
2π
2π
F
F
F
ω
ω
ω
ω
ω
−∞ −∞
−∞
−∞
∞
∞
−∞
−∞
∗
=
=
∫
∫
( )
( )
( )
2
2
2
0
d
d
d
j
2
j
2π
2π
f
t
t
F
F
ω
ω
ω
ω
∞
∞
∞
−∞
−∞
=
=
∫
∫
∫
Równość Parsevala
( )
2
j
2π
F
ω
— widmowa gęstość energii
( )
2
j
2π
F
ω
ω
ω
2
ω
−
1
ω
−
1
ω
2
ω
Energia sygnału — powierzchnia pod krzywą
Energia zawarta w paśmie (
ω
1
,
ω
2
)
( )
2
1
2
d
2
j
2π
W
F
ω
ω
ω
ω
∆ =
∫
Efektywna szerokość pasma sygnału — przedział pulsacji,
w którym zawarta jest założona część całkowitej energii sygnału,
czyli
ω
g
tak wybrane, aby
( )
( )
g
g
g
2
2
0
d
d
j
2
j
2π
2π
F
F
W
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
κ
−
=
≥
∫
∫
Zwykle przyjmuje się
(
)
0, 9 0, 99
κ
=
÷
Przykład
1
∞
−
∫
( )
( )
e
,
0,
at
f t
t
a
−
=
>
1
2
0
1
e
d
2
at
W
t
a
−
=
=
∫
( )
( )
2
2
2
1
1
j
,
j
,
j
F
F
a
a
ω
ω
ω
ω
=
=
+
+
2
2
d
1
arc tg
a
a
a
ω
ω
ω
=
+
∫
( )
g
g
2
2
0
1
d
1
π
2
tg
2π
2
2
a
a
a
ω
ω κ
ω
κ
ω
≥
⇒
≥
+
∫
g
g
0,95
12, 7
0,99
63, 7
a
a
κ
ω
κ
ω
=
⇒
≥
=
⇒
≥
( )
f t
( )
f t
t
( )
2
j
F
ω
( )
2
j
F
ω
2
a
=
1
a
=
ω
( )
(
) (
)
1
2
f t
t
a
t
a
a
=
+ −
−
1
1
( )
f t
1
2 a
a
−
a
t
( )
f t
t
t
( )
2
j
F
ω
1
2
a
=
ω
ω
1
W
=
( )
( )
( )
2
2
sin
j
sin
j
a
F
a
a
F
a
a
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
Charakterystyki widmowe układów SLS
( ) ( ) ( )
( ) (
)
(
) ( )
0
d
d
t
r t
h t
p t
h
p t
h t
p
τ
τ τ
τ
τ τ
∞
+
−
−∞
=
∗
=
−
=
−
∫
∫
Jeżeli istnieją transformaty Fouriera
Jeżeli istnieją transformaty Fouriera
( )
( )
{ }
( )
( )
{ }
j
j
P
p t
H
h t
ω
ω
=
=
F
F
to
( )
( ) ( )
j
j
j
R
H
P
ω
ω
ω
=
Niech
( )
( )
( )
0
δ
h t
a
t
h t
=
+
Transformata Fouriera będzie istnieć gdy
czyli gdy układ będzie BIBO stabilny.
( )
0
0
d
,
h t
t
∞
< ∞
∫
— charakterystyka widmowa układu
( )
( )
{ }
j
H
h t
ω
=
F
Jeżeli H(s) jest operatorową transmitancją układu BIBO stabilnego, to
( )
( )
j
j
s
H
H s
ω
ω
=
=
Charakterystyka widmowa istnieje tylko
wtedy gdy układ jest BIBO stabilny!!!
Podstawienia s = j
ω
wolno dokonać tylko wtedy, gdy funkcja H(s)
nie ma biegunów w prawej domkniętej półpłaszczyźnie zmiennej s.
( )
( )
( )
j
j
e
H
A
θ ω
ω
ω
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
j
j
j
j
e
,
j
j
e
P
P
R
R
ξ ω
η ω
ω
ω
ω
ω
=
=
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
j
j
R
A
P
ω
ω
ω
η ω
θ ω ξ ω
=
=
+
( )
( )
j
A
H
ω
ω
=
— charakterystyka amplitudowa
( )
( )
j
A
H
ω
ω
=
— charakterystyka amplitudowa
Określa w jaki sposób modyfikowane jest widmo amplitudowe
pobudzenia
( )
( )
arg
j
H
θ ω
ω
=
— charakterystyka fazowa
Określa w jaki sposób modyfikowane jest widmo fazowe
pobudzenia
( )
A
ω
ω
Przykład 1.
( )
1
U
s
( )
2
U
s
( )
( )
( )
2
2
1
1
1
U
s
H s
L
U
s
s LC
s
R
=
=
+
+
2 H,
1
F,
2
1 Ω.
L
C
R
=
=
=
( )
2
1
2 1
H s
s
s
=
+
+
ω
( )
θ ω
ω
( )
2
2 1
s
s
+
+
( )
2
1
j
1
j
2
H
ω
ω
ω
=
−
+
( )
( )
( )
( )
4
2
2
2
1
j
,
1
arg
j
2
1
arc tg
arccos
sgn( )
1
1
A
H
H
ω
ω
ω
θ ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
+
=
=
−
= −
−
⋅
−
−
Przykład 2.
( )
1
U s
( )
2
U
s
( )
( )
( )
2
2
1
2
2
1
1
1
sC
U
s
R
s
H s
C
C
U
s
s
s
−
−
=
=
=
+
+ +
1
2
3
1
2
1
1Ω,
Ω,
2 Ω,
3
1F,
1F.
R
R
R
C
C
=
=
=
=
=
( )
( )
2
2
1
2
1
1
2
3
3
1
2
2
1
1
1
C
C
U
s
s
s
s C C
s
R
R
R
R
+
+ +
+
+
+
( )
( )
(
)
( )
2
2
2
2
2
j
j
2
j
2
2
arc tg
π sgn
H
A
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
θ ω
ω
ω
−
=
−
+
=
−
+
−
=
−
( )
A
ω
ω
( )
θ ω
ω
( )
θ ω
Przykład 3.
( )
1
U s
( )
2
U
s
1
2
1Ω,
1Ω,
1Ω,
1 F.
R
R
R
C
=
=
=
=
( )
( )
( )
2
2
1
1
1
R
sC
U
s
R R
s
H s
−
−
=
= −
= −
+
( )
θ ω
ω
( )
A
ω
( )
( )
1
1
1
1
1
s
H s
s
U
s
sC
R
−
=
= −
= −
+
+
( )
( )
( )
1
j
j
1+j
1
π
2arctg
H
A
ω
ω
ω
ω
θ ω
ω
−
= −
=
= − −
( )
θ ω
ω
Filtr wszechprzepustowy
(all-pass filter)
Podstawowe typy filtrów idealnych
( )
θ ω
ω
( )
A
ω
g
ω
−
g
ω
1
Filtr dolnoprzepustowy
( )
θ ω
ω
( )
A
ω
g
ω
−
g
ω
1
Filtr górnoprzepustowy
( )
θ ω
ω
g
ω
−
g
ω
( )
0
j
g
g
e
dla
j
0
dla
t
H
ω
ω ω
ω
ω ω
−
≤
=
>
( )
θ ω
ω
g
ω
−
g
ω
( )
0
j
g
g
e
dla
j
0
dla
t
H
ω
ω ω
ω
ω ω
−
≥
=
<
( )
θ ω
ω
( )
A
ω
g1
ω
−
g1
ω
1
g 2
ω
−
g 2
ω
Filtr pasmowoprzepustowy
( )
θ ω
ω
( )
A
ω
g1
ω
−
g1
ω
1
g 2
ω
−
g 2
ω
Filtr pasmowozaporowy
ω
g 2
ω
−
g1
ω
−
g1
ω
g 2
ω
ω
g 2
ω
−
g1
ω
−
g1
ω
g 2
ω
( )
0
j
g
g
e
dla
j
0
dla
t
H
ω
ω ω
ω
ω ω
−
≤
=
>
( )
( )
{
}
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
g
g
0
0
g
g
0
g
0
g
j
j
–1
j
j
j
g
g
0
g
g
0
d
1
j
e
e
e
d
2π
2π
sin
1 e
e
Sa
π
π
π
2 j
t t
t
t
t t
t t
h t
H
t
t
t
t
t
t
t
t
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
−
−
−
−
− −
=
=
=
=
−
−
=
=
=
−
−
−
∫
∫
F
(
)
(
)
0
g
0
π
π
π
2 j t
t
t
t
ω
−
−
h(t)
t
0
t
Układ nie jest przyczynowy!!!
Kryterium Paley’a-Wienera
Jeżeli charakterystyka amplitudowa A(
ω
) spełnia warunek
to istnieje funkcja
θ
(
ω
), taka, że charakterystyka widmowa
jest realizowalna fizycznie.
( )
2
ln
d
,
1
A
ω
ω
ω
∞
−∞
< ∞
+
∫
( )
( )
( )
j
j
e
H
A
θ ω
ω
ω
=
( )
A
ω
( )
A
ω
ω
( )
A
ω
ω
Nierealizowalne
( )
A
ω
ω
ω
( )
A
ω
Realizowalne
Dystrybucyjna transformata Fouriera
f(t)
t
–a
a
1
t
a
f
'
(t)
(
)
δ t
a
+
⇌
( )
j
F
ω
⇌
( )
j
j
j
j
e
e
a
a
F
ω
ω
ω
ω
−
=
−
t
–a
a
(
)
δ t
a
−
−
⇌
( )
j
j
e
e
F
ω
ω
=
−
( )
( )
j
j
sin
e
e
j
2
j
a
a
a
F
a
a
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
−
=
=
( )
( )
sin
j
2
a
F
a
a
ω
ω
ω
=
1
a
=
2
a
=
3
a
=
( )
( ) ( )
sin
sin
2
d
2
d
a
a
a
a
K
a
a
ω
ω
ω
ω
ω
ω
∞
∞
−∞
−∞
=
=
∫
∫
( )
{
}
( )
–1
j
d
δ
δ
e
t
K
K
K
ω
ω
ω
ω
∞
=
=
∫
F
{ }
( )
?
1
δ
K
ω
=
F
( )
1
a
f t
→ ∞
⇒
→
4
a
=
5
a
=
( )
{
}
( )
–1
j
d
δ
δ
e
2
π
2
π
t
K
K
K
ω
ω
ω
ω
−∞
=
=
∫
F
1
2π
2π
K
K
=
⇒
=
{ }
( )
1
2πδ
ω
=
F
( )
e
dla
0
e
dla
0
t
t
t
f t
t
ε
ε
−
>
=
−
<
1
–
1
e
t
ε
−
e
t
ε
−
( )
f t
t
⇌
( )
j
F
ω
1
( )
f
t
′
( )
2δ t
e
t
ε
ε
−
e
t
ε
ε
−
−
t
( )
g t
( )
g t
′
2
e
t
ε
ε
−
2
e
t
ε
ε
−
t
⇌
⇌
( )
( )
j
j
2
j
F
G
ω
ω
ω
= +
( )
( )
2
j
j
j
G
F
ω
ω
ε
ω
=
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
j
j
j
2
j
j
j
2
j
2 j
j
F
F
F
F
ε
ω
ω
ω
ω
ε
ω
ω
ω
ω
ω
ω ε
= +
−
=
−
=
+
( )
1,
0
sgn
t
f t
t
ε
→
>
→
=
( )
j
j
F
ω
0
ε
→
( )
0
sgn
1,
0
f t
t
t
ε
→
→
=
−
<
0
2
2
2
,
0
2 j
j
0,
0
ε
ω
ω
ω
ω ε
ω
→
≠
−
→
+
=
ω
{
}
2
sgn
j
t
ω
=
F
(
) ( )
1
1 sgn
2
t
t
+
=
1
(
)
{
}
( )
1
1
1 sgn
πδ
2
j
t
ω
ω
+
=
+
F
( )
{ }
( )
1
πδ
j
t
ω
ω
=
+
1
F
( )
( )
( )
( )
( )
0
e
,
1
j
j
t
f t
t
f t
t
F
ε
ε
ω
ε
ω
−
→
=
→
= +
1
1
( )
0
1
,
j
0
?
0
j
F
ε
ω
ω
ω
ω
→
≠
→
=
Dla
ω
= 0 granica w zwykłym
sensie nie istnieje!
( )
(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
0
0
0
0
0
0
j
0
j
0
j
j
0
0
0
j
j
0
0
0
1
2πδ
e
2πδ
e
2πδ
1
1
cos
e
e
π δ
δ
2
2
1
1
π
sin
e
e
δ
δ
2 j
2 j
j
t
t
t
t
t
t
t
t
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω ω
ω ω
ω
ω ω
ω ω
ω
ω ω
ω ω
−
−
−
−
+
=
+
−
+
+
=
−
−
−
+
⇌
⇌
⇌
⇌
⇌
{
}
(
) (
)
0
0
0
sin
jπ δ
δ
t
ω
ω ω
ω ω
= −
−
−
+
F
{
}
(
) (
)
0
0
0
cos
π δ
δ
t
ω
ω ω
ω ω
=
−
+
+
F
( )
( )
( )
(
) (
)
( )
(
) (
)
( )
( )
( )
(
) (
)
( )
( )
( )
(
) (
)
0
0
0
0
0
0
j
0
0
j
0
0
j
j
0
0
0
2
2
0
j
j
0
0
0
0
2
2
1
πδ
j
1
e
πδ
j
1
e
πδ
j
j
1
1
π
cos
e
e
δ
δ
2
2
2
1
1
π
sin
e
e
δ
δ
2 j
2 j
j2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω
ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω
ω
ω ω
ω ω
ω ω
−
−
−
+
−
+
−
+
+
+
=
+
−
+
+
+
−
=
−
−
−
+
+
−
1
1
1
1
1
1
1
1
1
⇌
⇌
⇌
⇌
⇌
( )
( )
( )
(
) (
)
0
0
0
2
2
0
sin
e
e
δ
δ
2 j
2 j
j2
t
t
t
t
ω
ω ω
ω ω
ω ω
=
−
−
−
+
+
−
1
1
1
⇌
( )
{
}
(
) (
)
0
0
0
2
2
0
j
π
cos
δ
δ
2
t
t
ω
ω
ω ω
ω ω
ω ω
⋅
=
−
+
+
+
−
1
F
( )
{
}
(
) (
)
0
0
0
0
2
2
0
π
sin
j
δ
δ
2
t
t
ω
ω
ω ω
ω ω
ω ω
⋅
= −
−
−
+
+
−
1
F
Przebieg sinusoidalny jako pobudzenie
( )
(
)
(
)
0
0
0
0
j
j
j
j
j
j
2
2
e
e
e e
e
e
2 j
2 j
t
t
t
t
p t
P
P
P
P
ω ϕ
ω ϕ
ω
ω
ϕ
ϕ
+
−
+
−
−
=
−
=
−
{ }
j
j
j
e
e
sin
Im e
2 j
x
x
x
x
−
−
=
=
( )
(
)
0
2 sin
p t
P
t
ω
ϕ
=
+
Oznaczmy
j
e
P
P
ϕ
≜
( )
{
}
0
0
0
j
j
j
2
e
e
2 Im
e
2 j
t
t
t
p t
P
P
P
ω
ω
ω
−
∗
=
−
=
( )
( )
{ }
(
)
(
)
0
0
2
j
2π
δ
δ
2 j
P
p t
P
P
ω
ω ω
ω ω
∗
=
=
⋅
−
−
+
F
( )
( ) ( )
( )
( )
{ }
j
j
j
,
j
R
H
P
H
h t
ω
ω
ω
ω
=
=
F
( )
( )
(
)
(
)
0
0
2
j
j
2π
δ
δ
2 j
R
H
P
P
ω
ω
ω ω
ω ω
∗
=
⋅
−
−
+
( )
(
)
( ) (
)
j
δ
j
δ
H
H
ω
ω ω
ω
ω ω
−
=
−
( )
(
)
( ) (
)
( )
(
)
(
) (
)
( ) (
)
0
0
0
0
0
0
0
0
j
δ
j
δ
j
δ
j
δ
j
δ
H
H
H
H
H
ω
ω ω
ω
ω ω
ω
ω ω
ω
ω ω
ω
ω ω
∗
−
=
−
+
=
−
+
=
+
( )
( ) (
)
( ) (
)
(
)
(
)
0
0
0
0
0
0
2
j
2π
j
δ
j
δ
2 j
2
2π
δ
δ
2 j
R
PH
P H
R
R
ω
ω
ω ω
ω
ω ω
ω ω
ω ω
∗ ∗
∗
=
⋅
−
−
+
=
=
⋅
−
−
+
( )
j
0
j
e
R
PH
R
ψ
ω
=
≜
( )
{
}
0
0
0
j
j
j
2
e
e
2 Im
e
2 j
t
t
t
r t
R
R
R
ω
ω
ω
−
∗
=
−
=
( )
(
)
(
)
(
)
0
0
j
j
0
2
e
e
2 sin
2 j
t
t
r t
R
R
R
t
ω ψ
ω ψ
ω
ψ
+
−
+
=
−
=
+
( )
(
)
{
}
( )
(
)
{
}
0
0
j
0
j
Jeżeli
2 sin
2 Im
e
to
2 sin
2 Im
e
t
t
p t
P
t
P
r t
R
t
R
ω
ω
ω
ϕ
ω
ψ
=
+
=
=
+
=
Podsumowanie:
( )
(
)
{
}
0
j
0
2 sin
2 Im
e
t
r t
R
t
R
ω
ω
ψ
=
+
=
j
j
e
e
P
P
R
R
ϕ
ψ
=
=
— wartość skuteczna zespolona pobudzenia
— wartość skuteczna zespolona reakcji
( )
( )
0
0
j
,
j
s
R
H P
H
H
H s
ω
ω
=
= ⋅
=
=
( )
( )
( )
0
j
0
0
j
j
e
H
H
H
θ ω
ω
ω
=
=
— transmitancja zespolona
SLS
( )
1
p t
( )
2
p t
( )
r t
( )
( )
( )
( )
2
0
p t
=
=
∗
( )
( )
( )
( )
1
0
p t
=
=
∗
( )
(
)
{
}
( )
(
)
{
}
0
0
j
1
1
1
0
1
j
2
2
2
0
1
2 sin
2 Im
e
2 sin
2 Im
e
t
t
p t
P
t
P
p t
P
t
P
ω
ω
ω
ϕ
ω
ϕ
=
+
=
=
+
=
Zakładamy, że układ jest BIBO stabilny oraz
p
1
(t) i p
2
(t) mają takie same pulsacje!
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
0
1
1
1
1
1
1
1
0
j
1
1
j
1
1
j
2 Im
e
e
t
r t
h t
p t
R
H
P
r t
R
R
R
ω
ψ
ω
=
∗
=
=
=
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
0
2
2
2
2
2
2
2
0
j
2
2
j
2
2
j
2 Im
e
e
t
r t
h t
p t
R
H
P
r t
R
R
R
ω
ψ
ω
=
∗
=
=
=
Na podstawie twierdzenia o superpozycji:
( ) ( )
( )
{
}
{
}
(
)
{
}
{
}
(
)
0
0
0
0
j
j
1
2
1
2
j
j
1
2
0
2 Im
e
2 Im
e
2 Im
e
2 Im
e
2 sin
t
t
t
t
r t
r t
r t
R
R
R
R
R
R
t
ω
ω
ω
ω
ω
ψ
=
+
=
+
=
=
+
=
=
+
gdzie
(
)
1
2
czyli
,
arg
arg
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
ψ
=
+
=
=
+
=
=
+
Wniosek:
Jeżeli wszystkie pobudzenia w obwodzie są przebiegami
sinusoidalnymi o takiej samej pulsacji
ω
0
, to w stanie
ustalonym reakcja jest również przebiegiem sinusoidalnym
o pulsacji
ω
0
.
(
)
1
2
1
2
,
arg
arg
R
R
R
R
R
R
R
ψ
=
=
+
=
=
+
Przykład
( )
e t
( )
i t
( )
(
)
( )
1
2
π
4
1
2
10 sin 2
V,
1Ω,
4 Ω,
1H,
F.
?
e t
t
R
R
L
C
i t
=
+
=
=
=
=
=
( )
E s
( )
I s
( )
U s
( )
( )
1
2
1
1
1
1
sC
U s
E s
R
sL
R
R
+
+
=
+
( ) ( )
( ) ( )
p t
e t
r t
i t
=
=
( )
E s
( )
U s
( )
( )
1
2
1
2
1
R
sL
R
R
I s
U s
sL
R
+
=
+
( )
( )
( )
1
1
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
E s
R
R
I s
E s
sL
R
R
L
sC
s LC
s CR
R
sL
R
R
R
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
( )
H s
( )
1
2
2
2
1
1
1
1
R
H s
R
L
s LC
s CR
R
R
=
+
+
+
+
0
j
j2
s
ω
=
=
( )
2
1
0
2
0
0
2
1
1
1
1
2
j
j
15
15
j
1
R
H
H
R
L
LC
CR
R
R
ω
ω
ω
=
=
=
−
−
+
+
+
+
π
j
4
10
e
5
j5
E
=
= +
4
10
e
5
j5
2
E
=
= +
(
)
(
)
1
jarctg
j 0,3217
3
10
1
2
1
j
5
j5
1
j
e
1, 054e
15
15
3
3
I
H E
−
−
= ⋅ =
−
+
= −
=
≈
( )
(
)
0
0
2 sin
,
gdzie
2,
1, 054,
arg
0, 3217
i t
I
t
I
I
I
ω
ψ
ω
ψ
=
+
=
=
=
=
= −
czyli
( )
(
)
1, 054 2 sin 2
0, 3217 A.
i t
t
=
−
A gdyby tak od początku pisać
0
0
j
j
sL
L
sC
C
ω
ω
→
→
Wówczas
0
1
0
2
1
1
1
1
j
j
C
U
E
R
L
R
R
ω
ω
+
+
=
+
( )
( )
( )
E s
E
U s
U
I s
I
→
→
→
Czy zawsze
wolno tak zrobić
1
0
2
1
0
2
j
1
j
R
L
R
R
I
U
L
R
ω
ω
+
=
+
2
j 0,3217
1
2
0
0
2
1
1
1
1
1
j
1, 054e
3
j
1
E
R
I
R
L
LC
CR
R
R
ω
ω
−
=
= −
≈
−
+
+
+
+
( )
(
)
1, 054 2 sin 2
0, 3217 A.
i t
t
=
−