Projekt 3  

Równania różniczkowe zwyczajne 

Problem 1 

W 1798 Malthus zaproponował prosty model wzrostu populacji, w którym założono że, populacja składa 
się jednego, jednorodnego gatunku. 

Z powyższych założeń otrzymujemy że  

             . 

k = u-z 

Gdzie x(t) jest wielkością populacji w danym momencie, u wskaźnikiem zgonów, z wskaźnikiem zgonów. 
Ponieważ model ten prowadzi do nieograniczonego, wykładniczego rozrostu populacji model ten został 
wzbogacony założeniem o skończonej dostępności zasobów, tzw. problem logistyczny opisany 
równaniem: 

 

 

                      . 

1.  Narysuj przebieg x(t)  dla obu modeli dla różnych k (<0, >0, =0). Do jakich wniosków prowadzą 

oba modele? W domu podaj rozwiązanie analityczne, przeanalizuj rozwiązanie. 

2.  Dla jakich x, x’(t) = 0? Co to oznacza? Czy są to punkty stabilne, czy nie? 
3.  W roku 1950 populacja Polski wynosiła  ok. 25,008 mln, 1970 32,642 mln a 1990 38,183 mln. Ile 

według wz. Malthusa a ile według modelu logistycznego powinna wynosić populacja Polski 
obecnie a ile za 30 lat? 

4.  Dodatkowe. Rozwiąż układ metodą różnić skończonych przy pomocy Excella. 

Problem 2 

Do zbiornika wpływa woda z szybkością 10 l/min. Zawartość zbiornika jest mieszana a następnie 
opuszcza go z szybkością 10 l/min. Do zbiornika dodwana jest również sól w ilości 0.1 kg/min. 
Początkowo zbiornik zawiera 10 kg soli w 100 l wody. 

1.  Ułóż równanie różniczkowe opisujące problem.  
2.  Podaj rozwiązanie numeryczne (analityczne w domu). 
3.  Ile soli będzie w zbiorniku po 1 h? 
4.  Jakie jest jest zachowanie asymptotyczne modelu?