1 

Witek 

Zadanie 1. 
Ciąg 

, gdzie 

, jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wyznacz największą 

wartość funkcji 

. 

Zadanie 2. 
W ciągu arytmetycznym o nieparzystej liczbie wyrazów suma wyrazów stojących na 
miejscach nieparzystych równa się 44, a suma pozostałych wynosi 33. Znajdź wyraz 
środkowy i liczbę wyrazów tego ciągu. 
Zadanie 3. 
Ciąg 

 jest geometryczny, a ciągi 

 i 

 są arytmetyczne. Oblicz 

. 

Zadanie 4. 
Ciąg 

 dany jest wzorem 

, dla 

. 

 

Oblicz sumę 

. 

 

Ustalmy 

. Dla jakich   liczby 

 są kolejnymi wyrazami ciągu 

geometrycznego? 

Zadanie 5. 
Suma   początkowych wyrazów ciągu 

 dla każdego 

 określona jest 

wzorem 

. 

 

Wykaż, że ciąg 

 jest ciągiem arytmetycznym. 

 

Wykaż, że jeżeli suma   początkowych wyrazów ciągu dla każdego 
 określona jest wzorem 

, to ciąg ten nie jest arytmetyczny. 

 

Znajdź takie trzy kolejne wyrazy ciągu 

, aby kwadrat środkowego wyrazu 

był o 48 mniejszy od różnicy kwadratów wyrazów z nim sąsiadujących. 

Zadanie 6. 
W trójkącie dwa boki mają długość 3 cm i 4 cm. Długość trzeciego boku jest większa 
od długości dwóch pozostałych boków. Długości wysokości w tym trójkącie są 
trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz pole tego trójkąta oraz 
długości promieni okręgów: wpisanego w ten trójkąt i opisanego na tym trójkącie. 
Zadanie 7. 
Iloczyn pierwszego i szóstego wyrazu malejącego ciągu arytmetycznego o wyrazach 
całkowitych jest równy 100. Przy dzieleniu wyrazu drugiego przez wyraz szósty 
otrzymujemy 3 i resztę 2. Oblicz, o ile jest mniejsza suma dwustu początkowych 
wyrazów o numerach parzystych od sumy dwustu początkowych wyrazów tego 
ciągu o numerach nieparzystych. 
Zadanie 8. 
Obwód trapezu równoramiennego wynosi 116. Oblicz pole tego trapezu, jeśli 
długości ramienia i podstaw trapezu są (w podanej kolejności) trzema kolejnymi 
wyrazami ciągu arytmetycznego oraz długość odcinka łączącego środki ramion 
trapezu wynosi 41. 
Zadanie 9. 

Udowodnij, że liczba 

 jest kwadratem liczby naturalnej. 

Zadanie 10. 
Udowodnij, że jeżeli cztery liczby dodatnie 

 i   są kolejnymi wyrazami ciągu 

geometrycznego, to 

. 

2 

Witek 

Zadanie 11. 
Miary kątów wielokąta tworzą ciąg arytmetyczny, którego różnica jest równa  . 
Największy kąt ma miarę 

. 

 

Ile boków ma ten wielokąt? 

 

Ile ma przekątnych? 

Zadanie 12. 
Wykaż, że trójkąt, którego długości boków są trzema kolejnymi wyrazami ciągu 
geometrycznego, miary kątów zaś trzema kolejnymi wyrazami ciągu 
arytmetycznego jest trójkątem równobocznym. 
Zadanie 13. 

Niech 

. Oblicz sumę 12 początkowych wyrazów ciągu 

. 

Zadanie 14. 
Kolejne cyfry dodatniej liczby trzycyfrowej tworzą ciąg geometryczny. Suma cyfr 
jedności i dziesiątek jest o jeden większa od cyfry setek. Jeżeli od szukanej liczby 
odejmiemy liczbę złożoną z tych samych cyfr, lecz napisanych w odwrotnej 
kolejności to otrzymamy 495. Znajdź tę liczbę. 
Zadanie 15. 
Wykaż, że dla dowolnego ciągu arytmetycznego zachodzi 
równość 

, gdzie   oznacza sumę   początkowych wyrazów ciągu. 

Zadanie 16. 
Ciągi 

 i 

 są ciągami geometrycznymi o wyrazach 

dodatnich, a ciąg 

 jest ciągiem arytmetycznym. Wyznacz 

. 

Zadanie 17. 
Ciąg arytmetyczny 

 jest określony wzorem 

 dla 

. 

 

Sprawdź, którym wyrazem ciągu 

 jest liczba 

. 

 

Wśród pięćdziesięciu początkowych wyrazów ciągu   są wyrazy będące 
liczbami całkowitymi. Oblicz sumę wszystkich tych wyrazów. 

Zadanie 18. 
Udowodnij, że jeżeli liczby 

, gdzie 

, tworzą ciąg arytmetyczny i 

żadna z nich nie jest zerem, to 

 

Zadanie 19. 
Udowodnić, że w dowolnym trójkącie prostokątnym, w którym długości boków 
tworzą ciąg arytmetyczny, promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 
różnicy ciągu długości jego boków. 
Zadanie 20. 
Liczby 

, 

 i 

 tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz te 

wartości  , dla których ciąg ten jest rosnący. 
Zadanie 21. 
Ciąg arytmetyczny składa się z szesnastu wyrazów. Suma wyrazów o numerach 
parzystych jest równa 256, a suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 
240. Oblicz pierwszy i ostatni wyraz tego ciągu. 
 
 

3 

Witek 

Bonus 1.

 

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa 
3, a suma sześcianów wszystkich jego wyrazów jest równa  . Oblicz 
pierwszy wyraz tego ciągu i jego iloraz. 
 
Bonus 2. 
W trójkąt równoboczny o boku długości   wpisano koło, w które następnie 
wpisano trójkąt równoboczny, a w ten trójkąt znów koło i tak dalej. Oblicz 
sumę pól wszystkich wpisanych kół. 
 
Bonus 3. 
Wyrazy 

 pewnego nieskończonego ciągu   spełniają 

warunki 

, 

. Wiedząc, że 

nieskończony ciąg   określony wzorem 

 jest ciągiem 

geometrycznym, oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu  . 
 
Bonus 4. 

Dany jest ciąg   o wyrazie ogólnym 

. 

Udowodnij, że ciąg   jest ciągiem geometrycznym. 
Wyznacz te wartości parametru  , dla których istnieje suma wszystkich 
wyrazów ciągu  . Oblicz tę sumę. 
Wyznacz te wartości parametru  , dla których ciąg   jest malejący. 
 
Bonus 5. 
Wyznacz te wartości  , dla których istnieje suma nieskończonego ciągu 
geometrycznego