Przeliczanie (zamiana) jednostek masy oraz długości na liczby jednomianowane i dwumianowane oraz na ułamki dziesiętne - darmowy e-book (opracowanie) pdf. Download

Wersja z dnia: 30.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Przeliczanie jednostek — strona 1

Jest tu przeliczanie (zamiana) jednostek długości oraz masy i zapisywanie ich w postaci ułamka dziesiętnego. Są omówione liczby dwumianowane oraz zamiana ich na ułamki dziesiętne. Jak zapamiętać np. ile metr ma centymetrów (cm), decymetrów (dm) lub milimetrów (mm), ile kilogram (kg) ma gramów (g), ile tona (t) ma kilogramów lub miligramów (mg)? To jest darmowy e-book (opracowanie pdf) z matematyki do szkoły podstawowej. Zakres klas 4 i 5. Download.

Przeliczanie jednostek długości i masy

oraz zapisywanie ich w postaci ułamka dziesiętnego

Przedmowa

Opracowanie to omawia zamianę jednostek długości oraz masy przy założeniu że czyta go uczeń klasy 4 lub 5
szkoły podstawowej, który nie był w szkole na ani jednej lekcji o tej tematyce. Założyłem więc, że osoby czyta-
jące tego e-booka całkowicie nic z tego zakresu nie umieją i wszystko co tu napisałem starałem się pisać jak
najbardziej zrozumiale.

Spis tematów

Jednostki długości. ................................................................................................................................ 2

— Jednostki długości stosowane w Polsce. ....................................................................................... 2

— Jak zapamiętać ile co ma czego? ................................................................................................... 2

— Zamiana jednostek większych na mniejsze np. metrów na centymetry. ...................................... 3

— Jednostki dwumianowane. ............................................................................................................ 2

— Wyrażanie liczb dwumianowanych w postaci jednego miana. ..................................................... 5

— Dodawanie liczb dwumianowanych. ............................................................................................. 5

— Odejmowanie liczb dwumianowanych. ......................................................................................... 6

— Zapisywanie liczb dwumianowanych w postaci ułamka dziesiętnego. ......................................... 7

— Zamiana jednostek mniejszych na większe np. centymetrów na metry. ...................................... 9

— Zamiana jednostek — ułamki dziesiętne. .................................................................................... 11

— Zapoznanie się z jednostkami długości nie stosowanymi w życiu codziennym. ......................... 11

Jednostki masy. ................................................................................................................................... 14

— Jednostki masy stosowane w Polsce. .......................................................................................... 14

— Jak zapamiętać ile co ma czego? ................................................................................................. 14

— Zamiana jednostek większych na mniejsze np. kilogramów na gramy. ...................................... 15

— Jednostki dwumianowane. .......................................................................................................... 16

— Wyrażanie liczb dwumianowanych w postaci jednego miana. ................................................... 16

— Dodawanie liczb dwumianowanych. ........................................................................................... 17

— Odejmowanie liczb dwumianowanych. ....................................................................................... 18

— Zapisywanie liczb dwumianowanych w postaci ułamka dziesiętnego. ....................................... 18

— Zamiana jednostek mniejszych na większe np. gramów na kilogramy. ...................................... 20

— Zamiana jednostek — ułamki dziesiętne. .................................................................................... 21

Przydatne linki. ................................................................................................................................... 22

Wersja z dnia: 30.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Przeliczanie jednostek — strona 2

Temat: Jednostki długości.

Jednostki długości stosowane w Polsce

Tego co jest poniżej wyucz się na pamięć.

1 km = 1000 m

1 m = 1000 mm

1 m = 100 cm

1 m = 10 dm

1 dm = 100 mm

1 dm = 10 cm

1 cm = 10 mm

Jak zapamiętać ile co ma czego?

Aby zapamiętać, że 1 cm ma 10 mm wyobraź sobie linijkę zeszytową i skojarz milimetry z małymi kreseczkami
które są na niej np. między 0 a 1. Bez trudu zapewne zapamiętasz, że 1 cm jest podzielony na 10 małych krese-
czek czyli na 10 mm.

Aby zapamiętać, ile centymetrów lub milimetrów ma decymetr, najpierw zapamiętaj jaką długość ma decy-
metr. Zegnij palec wskazujący w połowie pod kątem mniej więcej prostym i zapamiętaj, że decymetr to mniej
więcej tyle, ile wynosi odległość między czubkiem tego zgiętego palca a wyprostowanym kciukiem. Postaraj się
jednak zrobić to tak, by kciuk był równoległy do górnej części zgiętego palca wskazującego. Teraz wyobraź so-
bie linijkę zeszytową (z podziałką centymetrową) i zastanów się ile centymetrów zmieści się między tym zgię-
tym palcem wskazującym a wyprostowanym kciukiem. Myślę, że bez problemów oszacujesz, że jest ich 10
a nie np. 100 czy 1000.

Wiesz już, że decymetr ma 1

centymetrów a każdy centymetr w nim zawarty ma 1

milimetrów. Zatem wnio-

skujesz, że 1 dm = 1

mm.

Przejdźmy do metrów.
Aby zapamiętać ile metr ma centymetrów wyobraź sobie metrówkę czyli linijkę o długości 1 metra (np. taką
szkolną do rysowania linii prostych na tablicy). Zawsze na jej końcu zobaczysz liczbę 100, prawda? Ta liczba
100 oznacza ilość centymetrów. Zatem by zapamiętać ile metr ma centymetrów, wystarczy sobie wyobrazić
metrówkę i ostatnią liczbę która jest na niej napisana.

W celu zapamiętania ile metr ma decymetrów, przypomnij sobie zgięty palec wskazujący i wyprostowany
kciuk równoległy do niego (była to przybliżona długość 1 decymetra). Oszacuj ile takich długości zmieści się
w metrówce — oczywiście będzie ich 10.

Wiedząc już że metr ma 1

cm oraz, że 1 cm = 1

mm (skojarzenie z małymi kreseczkami na linijce zeszyto-

wej), możesz obliczyć w pamięci, że 1 m = 1

mm.

Zostały już tylko kilometry. By zapamiętać, że kilometr ma 1000 metrów, wyobraź sobie, że jesteś po-
za miastem i idziesz poboczem drogi np. do najbliższej miejscowości. Po Twojej prawej stronie co jakiś
czas mijasz mały pionowy biały słupek z napisaną na nim jakąś cyfrą (na rys. obok jest nią cyfra 5). Za-
pamiętaj, że takie słupki umieszcza się dokładnie co 100 m numerując je od 0 do 9. Odległość między
dwoma słupkami z tą samą cyfrą (1

odcinków po 1

metrów) to dokładnie 1 kilometr. Nie trudno

więc policzyć, że 1 km = 1

Teraz pokazałem, że 1 km = 1

000

m, a wcześniej, że 1 m = 1

000

mm. Zatem 1 km = 1

000

mm. W taki sam

sposób możesz przeliczyć sobie kilometry na centymetry lub decymetry.

1 km = 100000 cm

1 km = 10000 dm

Wersja z dnia: 30.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Przeliczanie jednostek — strona 3

Zamiana jednostek większych na mniejsze np. metrów na centymetry

Na początku tego opracowania napisałem, że:

cm =

Zauważ, że przy zamianie cm na mm, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej dopisane zostało

jedno 0

Zatem zamieniając cm na mm do danej liczby trzeba
dopisać

jedno zero

dm =

Zauważ, że przy zamianie dm na cm, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej dopisane zostało

jedno 0

Zatem zamieniając dm na cm do danej liczby trzeba
dopisać

jedno zero

dm =

Zauważ, że przy zamianie dm na mm, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej dopisane zostały

dwa zera

Zatem zamieniając dm na mm do danej liczby trzeba
dopisać

dwa zera

Przykłady:

13 cm = 13

175 cm = 175

563549 cm = 563549

Przykłady:

19 dm = 19

235 dm = 235

111222 dm = 111222

Przykłady:

38 dm = 38

321 dm = 321

4567 dm = 4567

m =

Zauważ, że przy zamianie m na dm, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej dopisane zostało

jedno 0

Zatem zamieniając m na dm do danej liczby trzeba
dopisać

jedno zero

m =

Zauważ, że przy zamianie m na cm, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej dopisane zostały

dwa zera

Zatem zamieniając m na cm do danej liczby trzeba
dopisać

dwa zera

m =

000

Zauważ, że przy zamianie m na mm, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej dopisane zostały

trzy zera

Zatem zamieniając m na mm do danej liczby trzeba
dopisać

trzy zera

Przykłady:

7 m = 7

555 m = 555

112211 m = 112211

Przykłady:

23 m = 23

523 m = 523

7895 m = 7895

Przykłady:

13 m = 13

000

5689 m = 5689

000

554231 m = 554231

000

km =

000

Zauważ, że przy zamianie km na m, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej dopisane zostały

trzy zera

Zatem zamieniając km na m do danej liczby trzeba
dopisać

trzy zera

km =

0000

Zauważ, że przy zamianie m na cm, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej dopisane zostały

cztery zera

Zatem zamieniając km na dm do danej liczby trzeba
dopisać

cztery zera

km =

00000

Zauważ, że przy zamianie m na mm, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej dopisane zostało

pięć zer

Zatem zamieniając km na cm do danej liczby trzeba
dopisać

pięć zer

Przykłady:

7 km = 7

000

555 km = 555

000

112211 km = 112211

000

Przykłady:

23 km = 23

0000

523 km = 523

0000

7895 km = 7895

0000

Przykłady:

13 km = 13

00000

5689 km = 5689

00000

554231 km = 554231

00000

km =

000000

Zauważ, że przy zamianie m na mm, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej dopisane zostało

sześć zer

Zatem zamieniając km na mm do danej liczby trzeba
dopisać

sześć zer

Zauważ, że dopisanie do danej liczby:

— 1 zera jest równoważne pomnożeniu jej przez 10

— 2 zer jest równoważne pomnożeniu jej przez 100

— 3 zer jest równoważne pomnożeniu jej przez 1000

— 4 zer jest równoważne pomnożeniu jej przez 10000

— 5 zer jest równoważne pomnożeniu jej przez 100000

— 6 zer jest równoważne pomnożeniu jej przez 1000000.

Przykłady:

13 km = 13

000000

5689 km = 5689

000000

554231 km = 554231

000000

Spostrzeżenie:

Aby zamienić np. kilometry na milimetry nie trzeba się uczyć na pamięć, że 1 km ma 1 000 000 mm. Wystar-
czy wiedzieć, że 1 km = 1000 m (dopisanie 3 zer) oraz, że każdy metr ma 100 cm (dopisanie 2 zer) i że 1 cm
ma 10 mm (dopisanie dodatkowo 1 zera).

W podobny sposób możesz przeliczać np. km na cm lub na dm oraz metry na centymetry lub milimetry.

Wersja z dnia: 30.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Przeliczanie jednostek — strona 4

Ćwiczenie:

Zamień na milimetry.

[Podpowiedź: Ile podana jednostka ma milimetrów? Ile zer trzeba dopisać?]

a) 27 cm

b) 5 dm

c) 35 dm

d) 5 m

e) 84 m

f) 5479 m

g) 45613 cm

Odp. a) 270 mm, b) 500 mm, c) 3500 mm, d) 5000 mm, e) 84000 mm, f) 5479000 mm, g) 456130 mm

Ćwiczenie:

Zamień na centymetry.

a) 8 dm

b) 16 dm

c) 352 dm

d) 4 m

e) 27 m

f) 328 m

g) 9513 m

Odp. a) 80 cm, b) 160 cm, c) 3520 cm, d) 400 cm, e) 2700 cm, f) 32800 cm, g) 951300 cm

Ćwiczenie:

Zamień na decymetry.

a) 700 mm b) 160 cm c) 300 cm

d) 4 m

e) 27 m

f) 328 m

g) 9000 mm

Odp. a) 7 dm, b) 16 dm, c) 30 dm, d) 40 dm, e) 270 dm, f) 3280 dm, g) 90 dm

Ćwiczenie:

Zamień na metry.

a) 7000 mm b) 650000 mm c) 800 cm

d) 40 dm e) 2700 dm

f) 950 dm g) 6000 dm

Odp. a) 7 m, b) 650 m, c) 8 m, d) 4 m, e) 270 m, f) 95 m, g) 600 m

Ćwiczenie:

Zuzia narysowała kwadrat o obwodzie 20 cm, zaś Marlenka także kwadrat ale o boku 40 mm.
Które z dzieci narysowało większy kwadrat?

[Odp. Zuzia. Bok jej kwadratu ma długość 5 cm = 50 mm.]

Ćwiczenie:

Prostokąt ma boki o długościach 3 cm i 7 cm. Ile milimetrów wynosi jego obwód?

[Podpowiedź. Aby wyli-

czyć obwód prostokąta należy dodać do siebie długości wszystkich jego boków. Odp. 200 mm]

Jednostki dwumianowane

Zacznijmy od tego, że miano to inna nazwa jednostki.

miano miano

5 m 18 cm

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

Analogicznie:

14 km 8 m 3 cm

— liczba trójmianowana

14 km 8 m 3 cm 6 mm

— liczba czteromianowana

itd.

Na pierwszy rzut oka można pokusić się o stwierdzenie „liczba 1000-mianowana” itp. ale zastanów się, czy ja-
kąkolwiek długość da się zapisać za pomocą 1000 różnych jednostek? Znasz kilometry, metry, decymetry, cen-
tymetry, milimetry czyli 5 mian i do nich możesz dorzucić jeszcze kilka jednostek (mian) mniejszych od milime-
tra np.: mikrometr, nanometr, pikometr, femtometr, attometr, zeptometr oraz miliony razy większych od ki-
lometra: jednostka astronomiczna, rok świetlny, parsek, kiloparsek, megaparsek itd. Czy zatem istnieje liczba
1000-mianowana?

Z tego podtematu zapamiętaj tylko tyle, że liczba dwumianowana to taka, która jest zapisana za pomocą
dwóch różnych jednostek tego samego rodzaju. Nie może więc zdarzyć się tak, że zostanie użyty zapis np.:
14 cm 8 kg bo centymetry są jednostką długości a kilogramy — jednostką masy.

Wersja z dnia: 30.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Przeliczanie jednostek — strona 5

Wyrażanie liczb dwumianowanych w postaci jednego miana

Każdą liczbę dwumianowaną można zamienić na liczbę jednomianowaną. Przypuśćmy, że masz odcinek o dłu-
gości 5 m 7 mm i chcesz jego długość wyrazić za pomocą jednej jednostki. Zauważasz więc, że skoro
1 m = 1000 mm, to 5 m = 5000 mm. W oparciu o to zapisujesz:

5 m

ต

7 mm

5000 mm

+ 7 mm

= 5007 mm

Zobacz inne przykłady:

8 cm

ถ

9 mm

80 mm

+ 9 mm

ᇩᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇫ

= 89 mm

14 dm

ᇣᇤᇥ

6 mm

1400 mm

+ 6 mm

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

= 1406 mm

7 km

ถ

24 cm

700000 cm

+ 24 cm

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

= 700024 cm

Spostrzeżenie

Ponieważ kilometr (km) ma 1000

(

3 zera

), a

metr

ma 100 cm (

2 zera

), więc by szybko zamienić 7 km na

centymetry (cm) wystarczy do liczby kilometrów (w tym przypadku do liczby 7) dopisać

5 zer

km =

00000

cm.

Dodawanie liczb dwumianowanych

Wyobraź sobie, że masz jeden sznurek który został rozcięty na 2 części. Jedna z tych części ma długość np.
3 m 90 cm a druga powiedzmy 1 m 40 cm. Jaką długość miał sznurek przed rozcięciem?

By odpowiedzieć na to pytanie, musisz dodać do siebie podane liczby dwumianowane. Najłatwiej robi się to
dodając do siebie metry z metrami i centymetry z centymetrami:

3 m

90 cm

1 m

40 cm

4 m

130 cm

Proste, prawda? To jednak nie koniec. W otrzymanym wyniku wyszło 130 cm, a to przecież 1 m 30 cm, zgadza
się? Zatem w myślach zamiast 130 cm możesz napisać 1 m 30 cm, co w rezultacie da wynik końcowy równy
5 m 30 cm.

3 m

90 cm

1 m

40 cm

4 m

130 cm

ᇣᇧᇤᇧᇥ

= 5 m 30 cm

Zobacz inne przykłady:

5 km

800 m

2 km

600 m

7 km

1400 m

ᇣᇧᇤᇧᇥ

= 8 km 400 m

2 km

700 m

400 m

53 cm

2 km

1100 m

ᇣᇧᇤᇧᇥ

53 cm

3 km 100 m 53 cm

Spostrzeżenie:

Wynikiem dodawania liczb dwumianowanych może być np. liczba trójmianowana.

Wersja z dnia: 30.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Przeliczanie jednostek — strona 6

Ćwiczenie:

Wykonaj wskazane działanie. a) 700 m 80 cm + 500 m 60 cm = … b) 32 dm 9 cm + 8 dm 4 cm = …

[Odp. a) 1 km 201 m 40 cm b) 41 dm 3 cm = 4 m 1 dm 3 cm.]

Liczby dwumianowane można do siebie dodawać również poprzez zamianę każdej z nich na liczbę jednomia-
nowaną. Należy jednak pamiętać, że dodawanie liczb jednomianowanych jest możliwe tylko wtedy, gdy obie
te liczby są wyrażone w tej samej jednostce. Nie można więc zrobić czegoś takiego, że pierwszą liczbę dwu-
mianowaną zamienisz np. na metry a drugą na centymetry i je do siebie dodasz. Jeśli pierwsza liczba dwumia-
nowana została zamieniona na metry, to i drugą liczbę też trzeba zamienić na metry.

Przykład

2 km

ᇣᇤᇥ

700 m

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

మళబబబబ

ౙౣ

400 m

ᇣᇤᇥ

53 cm

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

270000 cm

40053 cm

310053 cm

Spostrzeżenie

Nieco wcześniej na tej stronie (przy dodawaniu liczb dwumianowanych) zostało napisane, że:

2 km 700 m + 400 m 53 cm =

3 km 100 m 53 cm

a tu przy zamianie na liczby jednomianowane, to samo działanie dało wynik

310053 cm

. Nie ma w tym jednak

sprzeczności, bo jak

3 km 100 m 53 cm

zamienisz na centymetry, to otrzymasz właśnie

310053 cm

Odejmowanie liczb dwumianowanych

3 m

90 cm

−

1 m

40 cm

2 m

50 cm

— metry odjęto od metrów a centymetry od centymetrów

5 km

800 m

−

2 km

600 m

3 km

200 m

— kilometry odjęto od kilometrów a centymetry od centymetrów

Nie zawsze jednak odejmowanie liczb dwumianowanych tak łatwo się wykonuje. Zobacz przykład:

15 km

ᇣᇤᇥ

500 m

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

−

8 km

600 m

6 km

900 m

Tu trzeba było najpierw rozmienić 1 km w pierwszej liczbie dwumianowanej, bo po-
tem nie można byłoby wykonać odejmowania: 500 m – 900 m, no chyba że znasz już
liczby ujemne (mniejsze od 0) i umiesz się nimi posługiwać.

To samo działanie co wyżej można również było wykonać zamieniając obie liczby mieszane na te same jed-
nostki (miana):

15 km 500 m

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

− 8 km 600 m

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

ą !ć

= 6900

Ćwiczenie:

Podaj wynik: a) 700 m 80 cm – 500 m 60 cm = … b) 32 dm 2 cm – 9 dm 8 cm = …

[Odp. a) 200 m 20 cm b) 22 dm 4 cm]

Wersja z dnia: 30.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Przeliczanie jednostek — strona 7

Zapisywanie liczb dwumianowanych w postaci ułamka dziesiętnego

Do tej pory w tym opracowaniu zapisywaliśmy długość odcinków (odległość między dwoma punktami) na ogół
za pomocą jednostek dwumianowanych. Zastanów się jednak, czy kiedykolwiek zdarzyło Ci się widzieć jed-
nostki dwumianowane np. w telewizji, w internecie czy w jakiejkolwiek gazecie? Otóż nie. W praktyce tj. w ży-
ciu codziennym nie używa się jednostek które mają więcej niż jedno miano. Wszystko to co robiliśmy do tej
pory zapisuje się za pomocą tzw. ułamków dziesiętnych.

Ułamek dziesiętny

— inny zapis ułamka zwykłego o mianowniku 10 lub 100 lub 1000 lub 10000 lub …

W powyższym zdaniu nie wolno słowa lub zastąpić przecinkiem pomimo tego, że gramatyka języka polskiego zakazuje wielokrotnego
używania tego samego słowa w jednym akapicie. Matematycznie słowo lub oznacza alternatywę a przecinek koniunkcję. Co to jest alter-
natywa oraz koniunkcja dowiesz się w klasie pierwszej liceum.

Przypuśćmy, że masz liczbę mieszaną np. 8

ళ

భబబబ

. Aby ją zamienić na ułamek dziesiętny, wystarczy:

— przepisać liczbę całości (w tym przypadku jest nią liczba 8)

— postawić za nią przecinek (oddziela on całości od części ułamkowej)

— za przecinkiem postawić 3 cyfry, bo w mianowniku była liczba 1000 która ma 3 zera

— na ostatnich miejscach napisać liczbę która była w liczniku (w tym przypadku jest nią liczba 7)

— puste miejsca uzupełnić zerami

Zatem:

య

౰౛౨౗

, 00

ต

!#$!

Inne przykłady:

మ

౰౛౨౗

, 0

ด

!#$!

147

య

౰౛౨౗

147

, 0

ต

!#$!

ర

౰౛౨౗

, 00

ᇣᇤᇥ

!#$!

230

ల

౰౛౨

, 0000

ᇣᇧᇤᇧᇥ

!#$

Wiedząc już jak zamienia się liczby mieszane na ułamki dziesiętne, przejdźmy do zamiany liczb dwumianowa-
nych na ułamki dziesiętne. Otóż jeśli masz np. zamienić 5

na ułamek dziesiętny to najpierw:

— patrzysz na miana (jednostki) występujące w danej liczbie (w tym przypadku są to

metry

centymetry

)

— zastanawiasz się ile

metr

centymetrów

(przypomnij sobie ostatnią liczbę na metrówce)

— piszesz znak równości

— za znakiem równości piszesz liczbę która była przed pierwszą jednostką (przed pierwszym mianem)

— za napisaną liczbą stawiasz przecinek

— zastanawiasz się ile cyfr będzie za przecinkiem (będą dwie, bo metr ma 100 cm, a liczba 100 ma 2 zera)

— wpisujesz za przecinkiem liczbę która była między mianami

— puste miejsca uzupełniasz zerami

— za napisanym ułamkiem dziesiętnym dopisujesz to miano które było większe (tym przypadku są to metry).

Tak więc w tym przypadku masz zapis:

cm =

ᇣᇧᇤᇧᇥ

!#$! '$

Zobacz inne przykłady:

Wersja z dnia: 30.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Przeliczanie jednostek — strona 8

cm =

,0000

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

!#$ '$

mm =

ᇣᇧᇤᇧᇥ

!#$! '$

dm =

ᇣᇤᇥ

!#$ '$

dm =

,000

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

!#$! '$

mm =

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

!#$! '$

! $

mm =

,0000

ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ

!#$ '$

Nigdy nie zapominaj o napisaniu jednostki za ułamkiem dziesiętnym.

Ćwiczenie:

Zamień podane liczby dwumianowane na ułamek dziesiętny.

a) 700 m 80 cm

b) 54 m 64 mm

c) 7 km 21 mm

d) 19 dm 6 cm

[Odp. a) 700,80 m, b) 54,064 m, c) 7,000021 km, d) 19,6 dm.]

Wersja z dnia: 30.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Przeliczanie jednostek — strona 9

Zamiana jednostek mniejszych na większe np. centymetrów na metry

Na początku tego opracowania napisałem, że:

cm =

czyli

mm =

Zauważ, że przy zamianie mm na cm, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej skreślone zostało

jedno 0

Zatem zamieniając mm na cm trzeba w danej liczbie
skreślić

jedno zero

dm =

czyli

cm =

Zauważ, że przy zamianie cm na dm, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej skreślone zostało

jedno 0

Zatem zamieniając cm na dm trzeba w danej liczbie
skreślić

jedno zero

dm =

czyli

mm =

Zauważ, że przy zamianie mm na dm, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej skreślone zostały

dwa zera

Zatem zamieniając mm na dm trzeba w danej liczbie
skreślić

dwa zera

Przykłady:

mm = 13 cm

mm = 17 cm

56354

mm = 56354 cm

Przykłady:

cm = 19 dm

235

cm = 235 dm

11120

cm = 11120 dm

Przykłady:

dm = 38 mm

3210

dm = 3210 mm

4567

dm = 4567 mm

m =

czyli

dm =

Zauważ, że przy zamianie dm na m, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej skreślone zostało

jedno 0

Zatem zamieniając dm na m trzeba w danej liczbie
skreślić

jedno zero

m =

czyli

cm =

Zauważ, że przy zamianie cm na m, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej skreślone zostały

dwa zera

Zatem zamieniając cm na m trzeba w danej liczbie
skreślić

dwa zera

m =

000

czyli

000

mm =

Zauważ, że przy zamianie mm na m, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej skreślone zostały

trzy zera

Zatem zamieniając mm na m trzeba w danej liczbie
skreślić

trzy zera

Przykłady:

dm = 7 m

5550

dm = 5550 m

112000

dm = 112000 m

Przykłady:

cm = 23 m

523

cm = 523 m

78950

cm = 78950 m

Przykłady:

000

mm = 13 m

5689

000

mm = 5689 m

554200

000

mm = 554200 m

km =

000

czyli

000

m =

Zauważ, że przy zamianie m na km, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej skreślone zostały

trzy zera

Zatem zamieniając m na km trzeba w danej liczbie
skreślić

trzy zera

km =

0000

czyli

0000

dm =

Zauważ, że przy zamianie dm na km, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej skreślone zostały

cztery ze-

Zatem zamieniając dm na km trzeba w danej liczbie
skreślić

cztery zera

km =

00000

czyli

00000

cm =

Zauważ, że przy zamianie cm na km, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej skreślone zostało

pięć zer

Zatem zamieniając cm na km trzeba w danej liczbie
skreślić

pięć zer

Przykłady:

000

m = 7 km

555

000

m = 555 km

1120

000

m = 1120 km

Przykłady:

0000

dm = 23 km

523

0000

dm = 523 km

7800

0000

dm = 7800 km

Przykłady:

00000

cm = 13 km

5689

00000

cm = 5689 km

554231

00000

cm = 554231 km

km =

000000

czyli

000000

mm =

Zauważ, że przy zamianie mm na km, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej skreślone zostało

sześć zer

Zatem zamieniając mm na km w danej liczbie trzeba
skreślić

sześć zer

Zauważ, że skreślenie w danej liczbie:

— 1 zera jest równoważne podzieleniu jej przez 10

— 2 zer jest równoważne podzieleniu jej przez 100

— 3 zer jest równoważne podzieleniu jej przez 1000

— 4 zer jest równoważne podzieleniu jej przez 10000

— 5 zer jest równoważne podzieleniu jej przez 100000

— 6 zer jest równoważne podzieleniu jej przez 1000000.

Przykłady:

000000

mm = 13 km

56890

000000

mm = 56890 km

Wersja z dnia: 30.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Przeliczanie jednostek — strona 11

Zamiana jednostek — ułamki dziesiętne

Wcześniej pisałem, że:

cm =

dm =

oraz mówiłem, że zamieniając cm na mm oraz dm
na cm wystarczy dopisać jedno 0. Zauważ jednak, że
dopisanie zera to inaczej pomnożenie danej liczby
przez 10 (przesunięcie przecinka o 1 miejsce w pra-
wo).

Wcześniej pisałem, że:

dm =

m =

oraz mówiłem, że zamieniając dm na mm oraz m na
cm wystarczy dopisać 2 zera. Zauważ jednak, że do-
pisanie dwóch zer to inaczej pomnożenie danej licz-
by przez 100 (przesunięcie przecinka o 2 miejsca w
prawo).

Wcześniej pisałem, że:

m =

000

km =

000

oraz mówiłem, że zamieniając m na mm oraz km na
m wystarczy dopisać 3 zera. Zauważ jednak, że dopi-
sanie trzech zer to inaczej pomnożenie danej liczby
przez 1000 (przesunięcie przecinka o 3 miejsca w
prawo).

Przykłady:

14,7 cm = 147 mm

58,129 cm = 581,29 mm

13549,3549 cm = 135493,549 mm

Przykłady:

5,3 dm = 530 mm

89,146 dm = 8914,6 mm

2357,1675 dm = 235716,75 mm

Przykłady:

8,2 m = 8200 mm

12,56 m = 12560 mm

4676,128 m = 4676128 mm

Wcześniej pisałem, że:

km =

0000

oraz  mówiłem,  że  zamieniając  km  na  dm  wystarczy
dopisać  4  zera.  Zauważ  jednak,  że  dopisanie  czte-
rech  zer  to  inaczej  pomnożenie  danej  liczby  przez
10000 (przesunięcie przecinka o 4 miejsca w prawo).

Wcześniej pisałem, że:

km =

00000

oraz mówiłem, że zamieniając km na cm wystarczy
dopisać 5 zer. Zauważ jednak, że dopisanie pięciu
zer to inaczej pomnożenie danej liczby przez 100000
(przesunięcie przecinka o 5 miejsc w prawo).

Wcześniej pisałem, że:

km =

000000

oraz mówiłem, że zamieniając km na mm wystarczy
dopisać 6 zer. Zauważ jednak, że dopisanie sześciu
zer to inaczej pomnożenie danej liczby przez milion
(przesunięcie przecinka o 6 miejsc w prawo).

Przykłady:

25,123456 km = 251234,56 dm

523,17 km = 5231700 dm

0,0011223344 km = 11,223344 dm

Przykłady:

1,314151617 km = 1331415,1617 cm

56,1234 km = 5612340 cm

0,0000

km =

Przykłady:

1,314151617 km = 13314151,617 mm

56,1234 km = 56123400 mm

0,0000

km =

Wcześniej pisałem, że:

mm =

cm =

oraz mówiłem, że zamieniając mm na cm oraz cm na
dm  wystarczy  skreślić  jedno  0.  Zauważ  jednak,  że
skreślenie  zera  to  inaczej  podzielenie  danej  liczby
przez  10  (przesunięcie  przecinka  o  1  miejsce  w  le-
wo).

Wcześniej pisałem, że:

mm =

cm =

oraz  mówiłem,  że  zamieniając  mm  na  dm  oraz  cm
na  m  wystarczy  skreślić  2  zera.  Zauważ  jednak,  że
skreślenie  dwóch  zer  to  inaczej  podzielenie  danej
liczby przez 100 (przesunięcie przecinka o 2 miejsca
w lewo).

Wcześniej pisałem, że:

000

mm =

000

m =

oraz  mówiłem,  że  zamieniając  mm  na  m  oraz  m  na
km  wystarczy  skreślić  3  zera.  Zauważ  jednak,  że
skreślenie  trzech  zer  to  inaczej  podzielenie  danej
liczby przez 1000 (przesunięcie przecinka o 3 miejsca
w lewo).

Przykłady:

14,7 mm = 147 cm

58,129 mm = 581,29 cm

13549,3549 mm = 135493,549 cm

Przykłady:

5,3 mm = 0,053 dm

89,146 mm = 0,89146 dm

2357,1675 mm = 23,571675 dm

Przykłady:

8,2 mm = 0,0082 m

12,56 mm = 0,01256 m

4676,128 mm = 4,676128 m

Wcześniej pisałem, że:

0000

dm =

oraz  mówiłem,  że  zamieniając  dm  na  km  wystarczy
skreślić  4  zera.  Zauważ  jednak,  że  skreślenie  czte-
rech  zer  to  inaczej  podzielenie  danej  liczby  przez
10000 (przesunięcie przecinka o 4 miejsca w lewo).

Wcześniej pisałem, że:

00000

cm =

oraz mówiłem, że zamieniając cm na km wystarczy
skreślić 5 zer. Zauważ jednak, że skreślenie pięciu
zer to inaczej podzielenie danej liczby przez 100000
(przesunięcie przecinka o 5 miejsc w lewo).

Wcześniej pisałem, że:

000000

mm =

oraz mówiłem, że zamieniając mm na km wystarczy
skreślić 6 zer. Zauważ jednak, że skreślenie sześciu
zer to inaczej podzielenie danej liczby przez milion
(przesunięcie przecinka o 6 miejsc w lewo).

Przykłady:

25,123456 dm = 0,0025123456 km

523,17 dm = 0,052317 km

0,0011223344 dm = 0,00000011223344 km

Przykłady:

1,314151617 cm = 0,00001314151617 km

56,1234 cm = 0,000561234 km

0,0000

cm = 0,000000000

Przykłady:

1,314151617 mm = 0,000001314151617 km

56,1234 mm = 0,0000561234 km

0,00000

mm = 0,00000000000

Ćwiczenie:

Zamień na milimetry.

[Podpowiedź: Ile podana jednostka ma milimetrów? O ile miejsc trzeba przesunąć przecinek?]

a) 5,8 cm b) 25,74 cm c) 25,7 dm d) 3,1257 dm e) 5,4 m

f) 8,5432 m

g) 12,138 km

Odp. a) 58 mm, b) 257,4 mm, c) 2570 mm, d) 312,57 mm, e) 5400 mm, f) 8543,2 mm, g) 12138000 mm.

Ćwiczenie:

Zamień na centymetry.

a) 5 km

b) 2,3 km

c) 5,74 km

d) 23,18 km

e) 42,7946 km

f) 1,1568465 km

Wersja z dnia: 30.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Przeliczanie jednostek — strona 12

Odp. a) 500000 cm, b) 230000 cm, c) 574000 cm, d) 2318000 cm, e) 4279460 cm, f) 115684,65 cm.

Ćwiczenie:

Zamień na decymetry.

a) 320 mm b) 25 mm

c) 8 mm

d) 62,4 mm

e) 4,2 cm f) 39 cm

g) 73,8 m

Odp. a) 3,2 dm, b) 0,25 dm, c) 0,08 dm, d) 0,624 dm, e) 0,42 dm, f) 3,9 dm, g) 738 dm.

Ćwiczenie:

Zamień na metry.

a) 4900 mm b) 16 mm

c) 765 mm

d) 59,18 mm

e) 36,8 cm

f) 3,68 dm g) 25,4 dm

Odp. a) 4,9 m, b) 0,016 m, c) 0,765 m, d) 0,05918 m, e) 0,368 m, f) 0,368 m, g) 2,54 m.

Ćwiczenie:

Na planie wykonanym w skali 1 : 10000 odległość od domu Kasi do Karoliny wynosi 64 mm. Na
tym samym planie odległość od domu Tomka do domu Marka jest 4 razy mniejsza niż od domu
Kasi do Karoliny. Ile centymetrów na tym planie liczy odległość między domem Marka a Tomka?

[Odp. 1,6 cm]

Ćwiczenie:

Pole pewnego rolnika ma kształt prostokąta o wymiarach 1 km × 100 m. Ile centymetrów będzie
mieć obwód tego pola na planie wykonanym w skali 1 :

10000

[Podpowiedź. Wymiary tego pola wyraź najpierw

w centymetrach, a potem każdy z nich podziel przez

10000

i oblicz obwód. Odp. 22 cm.]

Ćwiczenie:

Basia mieszka w odległości 400 m od domu Emilki, zaś Emilka by dojść do Sebastiana potrzebuje
pokonać odległość 3000 dm. Sebastian chcąc iść do Basi, od niej do Emilki, a potem znowu do
swojego domu musi pokonać w sumie 1,2 km. Oblicz ile metrów dzieli dom Sebastiana od domu
Basi.

Zapoznanie się z jednostkami długości nie stosowanymi w życiu codziennym.

W zależności od tego czy w danej chwili zajmujesz się astronomią czy mikrobiologią (bakterie, wirusy, priony)
czy może atomami albo zwykłym ustalaniem odległości np. między miastami, zachodzi potrzeba stosowania
różnych jednostek długości. Poniżej przedstawiam zestawienie ich nazw oraz oznaczeń.

chemiczne

mikrobiologiczne

geodezyjno-kartograficzne

astronomiczne

nazwa

ozn.

nazwa

ozn.

metryczne

brytyjskie

nazwa

ozn.

nazwa

ozn. nazwa ozn.

zeptometr

(1/1000000000000000000 mm)

zm pikometr

(1/1000000000 mm)

pm milimetr

mm cal

sekundy świetlne

attometr

(1/1000000000000000 mm)

am nanometr

(1/1000000 mm)

nm centymetr

cm stopa

minuty świetlne

femtometr

(1/1000000000000 mm)

fm mikrometr

(1/1000 mm)

µm decymetr

dm jard

jednostka
astronomiczna

metr

pręt

rok świetlny

kilometr

km łańcuch

parsek

furlong

fur kiloparsek

kpc

mila

megaparsek

Mpc

mila
morska

NM gigaparsek

Gpc

liga

teraparsek

Tpc

Wersja z dnia: 30.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Przeliczanie jednostek — strona 13

Jednostki długości wymienione wyżej nie są jedynymi spotykanymi na świecie. Przykładowo w Japonii stosuje
się jednostki długości:

rin

(ok. 0,3 mm),

(ok. 3 mm),

sun

(ok. 3 cm),

shaku

(ok. 30 cm),

ken

(ok. 1,8 m). W fi-

zyce do mierzenia m.in. długości fali używa się jednostki o nazwie „Angstrem” [A].

W Polsce na co dzień posługujemy się powyższymi geodezyjno-kartograficznymi jednostkami metrycznymi, ale
do mniej więcej początków XX wieku, stosowano inne jednostki długości.

W handlu stosowano:

sążeń

(ok. 1787 mm),

łokieć

(ok. 596 mm),

stopę

(ok. 298 mm),

sztych

(ok. 199 mm),

ćwierć

(ok. 149 mm),

dłoń

(ok. 74 mm),

palec

(ok. 25 mm),

ziarno

(ok. 3 mm).

W rolnictwie używano:

zagon

(ok. 134 m),

sznur

(ok. 44,5 m),

laskę

(ok. 9 m),

pręt

(ok. 4,5 m),

krok

(ok. 2 m),

łokieć

(ok. 60 cm),

pręcik

(ok. 44,5 cm),

ławkę

(ok. 4,5 cm).

W ruchu drogowym wyróżniano:

mile

(ok. 8 km),

półmile

(ok. 4 km),

ćwierćmile

(ok. 2 km),

wiorsty

(ok. 1067 m od 1835 r.),

staje

(ok. 1 km).

Wersja z dnia: 30.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Przeliczanie jednostek — strona 15

Zamiana jednostek większych na mniejsze np. kilogramów na gramy

Na początku tego tematu napisałem, że:

dag =

Zauważ, że przy zamianie dag na g, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej dopisane zostało

jedno 0

Zatem zamieniając dag na g do danej liczby trzeba
dopisać

jedno zero

kg =

dag

Zauważ, że przy zamianie kg na dag, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej dopisane zostały

dwa 0

Zatem zamieniając kg na dag do danej liczby trzeba
dopisać

dwa zera

kg =

000

Zauważ, że przy zamianie kg na g, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej dopisane zostały

trzy zera

Zatem zamieniając kg na g do danej liczby trzeba
dopisać

trzy zera

Przykłady:

13 dag = 13

175 dag = 175

563549 dag = 563549

Przykłady:

19 kg = 19

dag

235 kg = 235

dag

111222 kg = 111222

dag

Przykłady:

38 kg = 38

000

321 kg = 321

000

4567 kg = 4567

000

t =

Zauważ, że przy zamianie t na q, cyfra 1 (kolor czer-
wony) występuje po obu stronach znaku równości, a
po stronie prawej dopisane zostało

jedno 0

Zatem zamieniając t na q (kwintale) do danej liczby
trzeba dopisać

jedno zero

q =

Zauważ, że przy zamianie q na kg, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej dopisane zostały

dwa zera

Zatem zamieniając q na kg do danej liczby trzeba
dopisać

dwa zera

t =

000

Zauważ, że przy zamianie t na kg, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej dopisane zostały

trzy zera

Zatem zamieniając t na kg do danej liczby trzeba do-
pisać

trzy zera

Przykłady:

7 t = 7

555 t = 555

112211 t = 112211

Przykłady:

23 q = 23

523 q = 523

7895 q = 7895

Przykłady:

13 t = 13

000

5689 t = 5689

000

554231 t = 554231

000

g =

000

Zauważ, że przy zamianie g na mg, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej dopisane zostały

trzy zera

Zatem zamieniając g na mg (miligramy) do danej
liczby trzeba dopisać

trzy zera

q =

0000

dag

Zauważ, że przy zamianie q na dag, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej dopisane zostały

cztery zera

Zatem zamieniając q na dag do danej liczby trzeba
dopisać

cztery zera

q =

00000

Zauważ, że przy zamianie q na g, cyfra 1 (kolor czer-
wony) występuje po obu stronach znaku równości,
a po stronie prawej dopisane zostało

pięć zer

Zatem zamieniając km na cm do danej liczby trzeba
dopisać

pięć zer

Przykłady:

7 g = 7

000

555 g = 555

000

112211 g = 112211

000

Przykłady:

23 q = 23

0000

dag

523 q = 523

0000

dag

7895 q = 7895

0000

dag

Przykłady:

13 q = 13

00000

5689 q = 5689

00000

554231 q = 554231

00000

t =

000000

Zauważ, że przy zamianie t na g, cyfra 1 (kolor czer-
wony) występuje po obu stronach znaku równości, a
po stronie prawej dopisane zostało

sześć zer

Zatem zamieniając t na g do danej liczby trzeba do-
pisać

sześć zer

Zauważ, że dopisanie do danej liczby:

— 1 zera jest równoważne pomnożeniu jej przez 10

— 2 zer jest równoważne pomnożeniu jej przez 100

— 3 zer jest równoważne pomnożeniu jej przez 1000

— 4 zer jest równoważne pomnożeniu jej przez 10000

— 5 zer jest równoważne pomnożeniu jej przez 100000

— 6 zer jest równoważne pomnożeniu jej przez 1000000.

Przykłady:

13 t = 13

000000

5689 t = 5689

000000

554231 t = 554231

000000

Spostrzeżenie:

Aby zamienić np. tony na gramy nie trzeba się uczyć na pamięć, że 1 km ma 1 000 000 mm. Wystarczy wie-
dzieć, że 1 t = 1

000

kg (dopisanie

zer) oraz, że każdy kilogram ma 1

000

gramów (dopisanie kolejnych

-ch

zer).

W podobny sposób możesz przeliczać np. tony na dekagramy lub miligramy (1 t = 1000000000 mg).

Wersja z dnia: 30.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Przeliczanie jednostek — strona 16

Jednostki dwumianowane

Zacznijmy od tego, że miano to inna nazwa jednostki.

miano miano

5 kg 18 g

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

Analogicznie:

14 kg 8 dag 3 g

— liczba trójmianowana

14 kg 8 dag 3 g 6 mg

— liczba czteromianowana

itd.

Na pierwszy rzut oka można pokusić się o stwierdzenie „liczba 1000-mianowana” itp. ale zastanów się, czy ja-
kąkolwiek długość da się zapisać za pomocą 1000 różnych jednostek? Znasz tony, kilogramy, dekagramy, gra-
my, miligramy czyli 5 mian i do nich możesz dorzucić jeszcze kilka jednostek (mian) mniejszych od miligrama
które nie zostały w tym opracowaniu wymienione. Czy zatem doliczysz się 1000 różnych jednostek masy?

Wyrażanie liczb dwumianowanych w postaci jednego miana

Każdą liczbę dwumianowaną można zamienić na liczbę jednomianowaną. Przypuśćmy, że coś waży 5 kg 7 g
i chcesz masę tego czegoś wyrazić za pomocą jednej jednostki. Zauważasz więc, że skoro 1 kg = 1000 g, to
5 kg = 5000 g. W oparciu o to zapisujesz:

5 kg

ถ

(

7 g

5000 g

+ 7 g

= 5007 g

Zobacz inne przykłady:

8 dag

ᇣᇤᇥ

(

9 g

80 g

+ 9 g

ᇩᇭᇭᇪᇭᇭᇫ

= 89 g

14 kg

ᇣᇤᇥ

(

6 dag

1400 dag

+ 6 dag

ᇩᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇫ

= 1406 dag

7 t

ด

(

24 dag

700000 dag

+ 24 dag

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

= 700024 dag

Spostrzeżenie

Ponieważ tona (t) ma 1000

(

3 zera

), a

kilogram

ma 100 dag (

2 zera

), więc by szybko zamienić 7 ton na de-

kagramy (dag) wystarczy do liczby ton (w tym przypadku do liczby 7) dopisać

5 zer

t =

00000

dag.

Wersja z dnia: 30.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Przeliczanie jednostek — strona 17

Dodawanie liczb dwumianowanych

Wyobraź sobie, że cukiernia zrobiła na zamówienie bardzo duży tort, a osoba zamawiająca go rozcięła go na 2
części. Załóżmy, że jedna z tych części waży np. 3 kg 90 dag a druga 1 kg 40 dag. Ile ważył ten tort przed rozcię-
ciem?

By odpowiedzieć na to pytanie, musisz dodać do siebie podane liczby dwumianowane. Najłatwiej robi się to
dodając do siebie kilogramy z kilogramami i dekagramy z dekagramami:

3 kg

90 dag

1 kg

40 dag

4 kg

130 dag

Proste, prawda? To jednak nie koniec. W otrzymanym wyniku wyszło 130 dag, a to przecież 1 kg 30 dag, zga-
dza się? Zatem w myślach zamiast 130 dag możesz napisać 1 kg 30 dag, co w rezultacie da wynik końcowy
równy 5 kg 30 dag.

3 kg

90 dag

1 kg

40 dag

4 kg

130 dag

ᇣᇧᇤᇧᇥ

( (

= 5 kg 30 dag

Zobacz inne przykłady:

5 kg

800 g

2 kg

600 g

7 kg

1400 g

ᇣᇧᇤᇧᇥ

( (

= 8 kg 400 g

2 t

700 kg

400 kg

53 dag

2 t

1100 kg

ᇣᇧᇤᇧᇥ

(

53 dag

3 t 100 kg 53 dag

Spostrzeżenie:

Wynikiem dodawania liczb dwumianowanych może być np. liczba trójmianowana.

Ćwiczenie:

Wykonaj wskazane działanie. a) 700 kg 80 dag + 500 kg 60 dag = … b) 32 dag 9 g + 78 dag 4 g = …

[Odp. a) 1 t 201 kg 40 dag b) 111 dag 3 g = 1 kg 11 dag 3 g.]

Liczby dwumianowane można do siebie dodawać również poprzez zamianę każdej z nich na liczbę jednomia-
nowaną. Należy jednak pamiętać, że dodawanie liczb jednomianowanych jest możliwe tylko wtedy, gdy obie
te liczby są wyrażone w tej samej jednostce. Nie można więc zrobić czegoś takiego, że pierwszą liczbę dwu-
mianowaną zamienisz np. na gramy a drugą na kilogramy i je do siebie dodasz. Jeśli pierwsza liczba dwumia-
nowana została zamieniona na gramy, to i drugą liczbę też trzeba zamienić na gramy.

Przykład

2 t

ด

(

700 kg

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

(

మళబబబబ

ౚ౗ౝ

400 kg

ᇣᇧᇤᇧᇥ

(

53 dag

ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ

(

270000 dag

40053 dag

ᇩᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇪᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇭᇫ

ą !ć

310053 dag

Spostrzeżenie

Nieco wcześniej na tej stronie (przy dodawaniu liczb dwumianowanych) zostało napisane, że:

2 t 700 kg + 400 kg 53 dag =

3 t 100 kg 53 dag

a tu przy zamianie na liczby jednomianowane, to samo działanie dało wynik

310053 dag

. Nie ma w tym jednak

sprzeczności, bo jak

3 t 100 kg 53 dag

zamienisz na dekagramy, to otrzymasz właśnie

310053 dag

Wersja z dnia: 30.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Przeliczanie jednostek — strona 18

Odejmowanie liczb dwumianowanych

3 kg

90 dag

−

1 kg

40 dag

2 kg

50 dag

— kilogramy odjęto od kilogramów a dekagramy od dekagramów

5 kg

800 g

−

2 kg

600 g

3 kg

200 g

— kilogramy odjęto od kilogramów a gramy od gramów

Nie zawsze jednak odejmowanie liczb dwumianowanych tak łatwo się wykonuje. Zobacz przykład:

15 kg

ᇣᇤᇥ

( (

500 g

ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ

(

−

8 kg

600 g

6 kg

900 g

Tu trzeba było najpierw rozmienić 1 kg w pierwszej liczbie dwumianowanej, bo po-
tem nie można byłoby wykonać odejmowania: 500 g – 900 g, no chyba że znasz już
liczby ujemne (mniejsze od 0) i umiesz się nimi posługiwać.

To samo działanie co wyżej można również było wykonać zamieniając obie liczby mieszane na te same jed-
nostki (miana):

15 kg 500 g

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

(

− 8 kg 600 g

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

(

ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ

ą !ć

= 6900

Ćwiczenie:

Podaj wynik: a) 700 kg 80 dag – 500 kg 60 dag = … b) 32 dag 2 g – 9 dag 8 g = …

[Odp. a) 200 kg 20 dag b) 22 dag 4 g]

Zapisywanie liczb dwumianowanych w postaci ułamka dziesiętnego

Do tej pory w tym opracowaniu zapisywaliśmy masę na ogół za pomocą jednostek dwumianowanych. Zasta-
nów się jednak, czy kiedykolwiek zdarzyło Ci się widzieć jednostki dwumianowane np. w telewizji, w internecie
czy w jakiejkolwiek gazecie? Otóż nie. W praktyce tj. w życiu codziennym nie używa się jednostek które mają
więcej niż jedno miano. Wszystko to co robiliśmy do tej pory zapisuje się za pomocą tzw. ułamków dziesięt-
nych.

Ułamek dziesiętny

— patrz strona 7

Wiedząc już jak zamienia się liczby mieszane na ułamki dziesiętne (strona 7), przejdźmy do zamiany liczb
dwumianowanych na ułamki dziesiętne. Otóż jeśli masz np. zamienić 5

dag

na ułamek dziesiętny to naj-

pierw:

— patrzysz na miana (jednostki) występujące w danej liczbie (w tym przypadku są to

kilogramy

dekagramy

)

— zastanawiasz się ile

kilogram

dekagramów

(przypomnij sobie wagę szalkową z liczbą 100 na końcu)

— piszesz znak równości

— za znakiem równości piszesz liczbę która była przed pierwszą jednostką (przed pierwszym mianem)

— za napisaną liczbą stawiasz przecinek

— zastanawiasz się ile cyfr będzie za przecinkiem (będą dwie, bo kg ma 100 dag, a liczba 100 ma 2 zera)

— wpisujesz za przecinkiem liczbę która była między mianami

— puste miejsca uzupełniasz zerami

— za napisanym ułamkiem dziesiętnym dopisujesz to miano które było większe (tym przypadku są to kg).

Tak więc w tym przypadku masz zapis:

dag =

ᇣᇧᇤᇧᇥ

!#$! '$

($ (

Wersja z dnia: 30.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Przeliczanie jednostek — strona 19

Zobacz inne przykłady:

dag =

,0000

ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

!#$ '$

(

mg =

ᇣᇧᇤᇧᇥ

!#$! '$

($ (

dag

g =

dag

ᇣᇧᇤᇧᇥ

!#$ '$

($ (

dag

mg =

,000

dag

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

!#$! '$

($ (

dag =

ᇣᇧᇤᇧᇥ

!#$! '$

($ (

g =

,0000

ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

!#$ '$

(

Nigdy nie zapominaj o napisaniu jednostki za ułamkiem dziesiętnym.

Ćwiczenie:

Zamień podane liczby dwumianowane na ułamek dziesiętny.

a) 700 kg 80 dag

b) 54 kg 64 mg

c) 7 t 21 g

d) 19 dag 6 g

[Odp. a) 700,80 kg, b) 54,000064 kg, c) 7,000021 t, d) 19,6 dag.]

Wersja z dnia: 30.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Przeliczanie jednostek — strona 20

Zamiana jednostek mniejszych na większe np. gramów na kilogramy

Na początku tego tematu napisałem, że:

dag =

czyli

g =

dag

Zauważ, że przy zamianie g na dag, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej skreślone zostało

jedno 0

Zatem zamieniając g na dag trzeba w danej liczbie
skreślić

jedno zero

kg =

dag

czyli

dag =

Zauważ, że przy zamianie dag na kg, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej skreślone zostały

dwa 0

Zatem zamieniając dag na kg trzeba w danej liczbie
skreślić

dwa zera

kg =

000

czyli

000

g =

Zauważ, że przy zamianie g na kg, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej skreślone zostały

trzy zera

Zatem zamieniając g na kg trzeba w danej liczbie
skreślić

trzy zera

Przykłady:

dag = 13 g

dag = 17 g

56354

dag = 56354 g

Przykłady:

dag = 19 kg

235

dag = 235 kg

11120

dag = 11120 kg

Przykłady:

000

g = 38 kg

3210

000

g = 3210 kg

4567

000

g = 4567 kg

t =

czyli

q =

Zauważ, że przy zamianie q na t, cyfra 1 (kolor czer-
wony) występuje po obu stronach znaku równości,
a po stronie prawej skreślone zostało

jedno 0

Zatem zamieniając q na t trzeba w danej liczbie
skreślić

jedno zero

q =

czyli

kg =

Zauważ, że przy zamianie kg na q, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej skreślone zostały

dwa zera

Zatem zamieniając kg na q trzeba w danej liczbie
skreślić

dwa zera

t =

000

czyli

000

kg =

Zauważ, że przy zamianie kg na t, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej skreślone zostały

trzy zera

Zatem zamieniając kg na t trzeba w danej liczbie
skreślić

trzy zera

Przykłady:

q = 7 t

5550

q = 5550 t

112000

q = 112000 t

Przykłady:

kg = 23 g

523

kg = 523 g

78950

kg = 78950 g

Przykłady:

000

kg = 13 t

5689

000

kg = 5689 t

554200

000

kg = 554200 t

g =

000

czyli

000

mg =

Zauważ, że przy zamianie mt na g, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej skreślone zostały

trzy zera

Zatem zamieniając mg na g trzeba w danej liczbie
skreślić

trzy zera

q =

0000

dag

czyli

0000

dag =

Zauważ, że przy zamianie dag na q, cyfra 1 (kolor
czerwony) występuje po obu stronach znaku równo-
ści, a po stronie prawej skreślone zostały

cztery ze-

Zatem zamieniając dag na q trzeba w danej liczbie
skreślić

cztery zera

q =

00000

czyli

00000

g =

Zauważ, że przy zamianie g na q, cyfra 1 (kolor czer-
wony) występuje po obu stronach znaku równości,
a po stronie prawej skreślone zostało

pięć zer

Zatem zamieniając g na q trzeba w danej liczbie
skreślić

pięć zer

Przykłady:

000

mg = 7 g

555

000

mg = 555 g

1120

000

mg = 1120 g

Przykłady:

0000

dag = 23 q

523

0000

dag = 523 q

7800

0000

dag = 7800 q

Przykłady:

00000

g = 13 q

5689

00000

g = 5689 q

554231

00000

g = 554231 q

t =

000000

czyli

000000

g =

Zauważ, że przy zamianie t na t, cyfra 1 (kolor czer-
wony) występuje po obu stronach znaku równości,
a po stronie prawej skreślone zostało

sześć zer

Zatem zamieniając g na t w danej liczbie trzeba skre-
ślić

sześć zer

Zauważ, że skreślenie w danej liczbie:

— 1 zera jest równoważne podzieleniu jej przez 10

— 2 zer jest równoważne podzieleniu jej przez 100

— 3 zer jest równoważne podzieleniu jej przez 1000

— 4 zer jest równoważne podzieleniu jej przez 10000

— 5 zer jest równoważne podzieleniu jej przez 100000

— 6 zer jest równoważne podzieleniu jej przez 1000000.

Przykłady:

000000

g = 13 t

56890

000000

g = 5689

552244

000000

g = 552244 t

Wersja z dnia: 30.04.2011

http://matematyka.strefa.pl

Przeliczanie jednostek — strona 21

Spostrzeżenie:

Aby zamienić np. gramy na tony nie trzeba się uczyć na pamięć, że 1000000 g to 1 t. Wystarczy wiedzieć, że
1000 kg = 1 t (skreślenie 3 zer) oraz, że 1000 g to 1 kg (skreślenie dodatkowych 3-ch zer).

W podobny sposób możesz przeliczać np. mg na t oraz mg na kg.

Zamiana jednostek — ułamki dziesiętne

Wcześniej pisałem, że:

dag =

t =

oraz mówiłem, że zamieniając dag na g oraz t na q
wystarczy dopisać jedno 0. Zauważ jednak, że dopi-
sanie zera to inaczej pomnożenie danej liczby przez
10 (przesunięcie przecinka o 1 miejsce w prawo).

Wcześniej pisałem, że:

kg =

dag

q =

oraz mówiłem, że zamieniając kg na dag oraz q na kg
wystarczy dopisać 2 zera. Zauważ jednak, że dopisa-
nie dwóch zer to inaczej pomnożenie danej liczby
przez 100 (przesunięcie przecinka o 2 miejsca w
prawo).

Wcześniej pisałem, że:

kg =

000

t =

000

g =

000

oraz  mówiłem,  że  zamieniając  kg  na  g  oraz  t  na  kg
lub  g  na  mg  wystarczy  dopisać  3  zera.  Zauważ  jed-
nak,  że  dopisanie  trzech  zer  to  inaczej  pomnożenie
danej  liczby  przez  1000  (przesunięcie  przecinka  o  3
miejsca w prawo).

Przykłady:

14,7 dag = 147 g

58,129 dag = 581,29 g

13549,3549 dag = 135493,549 g

Przykłady:

5,3 kg = 530 dag

89,146 kg = 8914,6 dag

2357,1675 kg = 235716,75 dag

Przykłady:

8,2 kg = 8200 g

12,56 kg = 12560 g

4676,128 kg = 4676128 g

Wcześniej pisałem, że:

q =

0000

dag

oraz  mówiłem,  że  zamieniając  q  na  dag  wystarczy
dopisać  4  zera.  Zauważ  jednak,  że  dopisanie  czte-
rech  zer  to  inaczej  pomnożenie  danej  liczby  przez
10000 (przesunięcie przecinka o 4 miejsca w prawo).

Wcześniej pisałem, że:

q =

00000

oraz mówiłem, że zamieniając q na  g wystarczy do-
pisać  5  zer.  Zauważ  jednak,  że  dopisanie  pięciu  zer
to  inaczej  pomnożenie  danej  liczby  przez  100000
(przesunięcie przecinka o 5 miejsc w prawo).

Wcześniej pisałem, że:

t =

000000

oraz mówiłem, że zamieniając t na g wystarczy dopi-
sać 6 zer. Zauważ jednak, że dopisanie sześciu zer to
inaczej pomnożenie danej liczby przez milion (prze-
sunięcie przecinka o 6 miejsc w prawo).

Przykłady:

25,123456 q = 251234,56 dag

523,17 q = 5231700 dag

0,0011223344 q = 11,223344 dag

Przykłady:

1,314151617 q = 1331415,1617 g

56,1234 q = 5612340 g

0,0000

q =

Przykłady:

1,314151617 t = 13314151,617 g

56,1234 t = 56123400 g

0,0000

t =

Wcześniej pisałem, że:

g =

dag

q =

oraz  mówiłem,  że  zamieniając  g  na  dag  oraz  q  na  t
wystarczy  skreślić  jedno  0.  Zauważ  jednak,  że  skre-
ślenie  zera  to  inaczej  podzielenie  danej  liczby  przez
10 (przesunięcie przecinka o 1 miejsce w lewo).

Wcześniej pisałem, że:

dag =

kg =

oraz mówiłem, że zamieniając dag na kg oraz kg na q
wystarczy skreślić 2 zera. Zauważ jednak, że skreśle-
nie dwóch zer to inaczej podzielenie danej liczby
przez 100 (przesunięcie przecinka o 2 miejsca w le-
wo).

Wcześniej pisałem, że:

000

g =

000

kg =

oraz  mówiłem,  że  zamieniając  g  na  kg  oraz  kg  na  t
wystarczy skreślić 3 zera. Zauważ jednak, że skreśle-
nie  trzech  zer  to  inaczej  podzielenie  danej  liczby
przez  1000  (przesunięcie  przecinka  o  3  miejsca  w
lewo).

Przykłady:

14,7 g = 147 dag

58,129 g = 581,29 dag

13549,3549 g = 135493,549 dag

Przykłady:

5,3 dag = 0,053 kg

89,146 dag = 0,89146 kg

2357,1675 dag = 23,571675 kg

Przykłady:

8,2 g = 0,0082 kg

12,56 g = 0,01256 kg

4676,128 g = 4,676128 kg

Wcześniej pisałem, że:

0000

dag =

oraz  mówiłem,  że  zamieniając  dag  na  q  wystarczy
skreślić  4  zera.  Zauważ  jednak,  że  skreślenie  czte-
rech  zer  to  inaczej  podzielenie  danej  liczby  przez
10000 (przesunięcie przecinka o 4 miejsca w lewo).

Wcześniej pisałem, że:

00000

g =

oraz mówiłem, że zamieniając g na q wystarczy skre-
ślić 5 zer. Zauważ jednak, że skreślenie pięciu zer to
inaczej podzielenie danej liczby przez 100000 (prze-
sunięcie przecinka o 5 miejsc w lewo).

Wcześniej pisałem, że:

000000

g =

oraz mówiłem, że zamieniając g na t wystarczy skre-
ślić 6 zer. Zauważ jednak, że skreślenie sześciu zer to
inaczej podzielenie danej liczby przez milion (prze-
sunięcie przecinka o 6 miejsc w lewo).

Przykłady:

25,123456 dag = 0,0025123456 q

523,17 dag = 0,052317 q

0,0011223344 dag = 0,00000011223344 q

Przykłady:

1,314151617 g = 0,00001314151617 q

56,1234 g = 0,000561234 q

0,0000

g = 0,000000000

Przykłady:

1,314151617 g = 0,000001314151617 t

56,1234 g = 0,0000561234 t

0,00000

g = 0,00000000000