Matematyka – wybrane zagadnienia
Wybrane elementy analizy funkcjonalnej.
Lista nr 6
Zadanie 1
Niech X =
[ ]
( )
1
,
0
W
oznacza przestrzeń wielomianów na odcinku
[
0,1
]
.
a.) Udowodnić, że funkcja
[
]
(
)
[ ]
)
(
)
(
max
,
,
,
0
X
X
:
2
1
1
,
0
2
1
t
w
t
w
w
w
t
−
=
+∞
→
×
∈
ρ
ρ
jest
metryką w X.
b.) Wykazać, że ciąg
∑
=
=
n
i
i
i
n
t
t
w
1
2
)
(
jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni (X,
ρ
), ale
nie jest ciągiem zbieżnym w (X,
ρ
).
Zadanie 2
Korzystając z twierdzenia BolzanoWeierstrassa (sformułowane na wykładzie)
udowodnić, że przestrzeń
R z normą euklidesową jest przestrzenią Banacha.
Zadanie 3
Niech X = c oznacza przestrzeń unormowaną ciągów rzeczywistych, które są zbieżne z
normą , ∥t
k
∥=
sup
k
∣
t
k
∣ (por. zadanie 2 z listy nr 5). Udowodnić, że przestrzeń ta jest
przestrzenią Banacha.
Zadanie 4
Nich X
1
= c
0
będzie przestrzenią ciągów rzeczywistych zbieżnych do zera z normą jak w
zadaniu 3. Udowodnić, że jest to przestrzeń Banacha.
Zadanie 5
Niech X będzie zespoloną przestrzenią unitarną. Udowodnić następujące własności
iloczynu skalarnego:
•
∀
x , y ∈X ∀ α ∈C
x ,αy
=
α
x , y
•
∀
x , y , z ∈ X
x , yz
=
x , y
x , z
•
∀
x ∈X
0 ,x
=
0
•
∀
x , y ∈X ∣
x , y
∣≤
x , x
y , y
•
∥
x∥=
x , x
spełnia aksjomaty normy.
Zadanie 6
Udowodnić następujące twierdzenie (twierdzenie Pitagorasa):
Niech V będzie przestrzenią unitarną. Niech x
1
,…,x
n
będzie skończonym ciągiem
wektorów V takim, że (x
i
,x
j
) = 0 dla każdego i
≠
j , i,j = 1,2,…,n. Wówczas
∥
x
1
x
2
... x
n
∥
2
=∥
x
1
∥
2
∥
x
21
∥
2
...∥x
n
∥
2
.
Wskazówka: Najpierw udowodnić twierdzenia dla n = 2, a uogólnić dla n, stosując
zasadzie indukcji matematycznej.