Opis metod przenoszenia współrzędnych

1. Metody wykorzystujące punkt pomocniczy.

1.1. Metoda Clarke’a (zadanie wprost)

1.2. Metoda Clarke’a (zadanie odwrotne).

1.3. Metoda Schreibera.

2. Metody wykorzystujące szeregi potęgowe Legendre’a.

2.1. Metoda średniej szerokości Gaussa - zadanie wprost

2.2. Metoda średniej szerokości Gaussa zadanie odwrotne.

3. Metody bezpośrednie.

3.1. Metoda Bessela zadanie wprost

3.2. Metoda Bessela zadanie odwrotne

4. Metody wykorzystujące cięciwy elipsoidy.

4.1. Metoda Mołodeńskiego

Klasyczny problem obliczania współrzędnych geodezyjnych na powierzchni elipsoidy obrotowej 
oraz azymutów i długości linii geodezyjnych nosi nazwę przenoszenia współrzędnych. 
Wyróżniamy dwa rodzaje problemu: tzw. zadanie wprost i zadanie odwrotne.

  Zadanie pierwsze zwane  zadaniem wprost  dotyczy obliczenia współrzędnych geodezyjnych

B

2

,   L

2

  punktu   P

2

  i   azymutu   (odwrotnego)  A

21

  linii   geodezyjnej,   gdy   znane   są   współrzędne

geodezyjne B

1

, L

1

  punktu P

1

, długość linii geodezyjnej s

12

  oraz azymut (wprost) A

12

, pod jakim

linia geodezyjna wychodzi z punktu P

1

.

       Zadanie drugie zwane zadaniem odwrotnym dotyczy obliczenia długości linii geodezyjnej s

12

łączącej na powierzchni elipsoidy dwa punkty o znanych współrzędnych P

1

 (B

1

, L

1

) i P

2

 (B

2

, L

2

)

oraz obliczenia azymutów linii geodezyjnej (wprost i odwrotnego) A

12

 i A

21

. 

W   wyniku   przekroju   elipsoidy   dwoma   przekrojami   głównymi   otrzymujemy   na   jej   powierzchni
dwie 

krzywe

, z których jedna ma krzywiznę największą, a druga – najmniejszą w danym punkcie.

Promienie krzywizn tych krzywych w tym punkcie nazywamy głównymi promieniami krzywizny.
Wyróżniamy dwa główne promienie krzywizny:

• Promień przekroju południkowego (podłużnego) – M 

• Promień przekroju pierwszego wertykału (poprzecznego) – N 

Długość promienia N jest liczona od punktu, w którym normalna do elipsoidy przebija jej 
powierzchnię do punktu, w którym normalna do elipsoidy przecina oś obrotu Ziemi.

Elipsoidę GRS 80 stosowaną w ETRS charakteryzują następujące elementy:

• półoś równikowa a = 6378137 m, 
• półoś biegunowa b = 6 356 752,3141, 
• kwadrat mimośrodu e

2

 = 0,006 694 380 022 90,

 

 

• kwadrat drugiego mimośrodu e’

2

 = 0,006 739 496 775 48,

 

• trzecie spłaszczenie n = 0,001 679 220 394 63,

 

• długość łuku południka od równika do bieguna Q = 10 001 965,7293 m. 

Linia geodezyjna na danej powierzchni to taka krzywa, której płaszczyzna, ściśle styczna w każdym
jej   punkcie,   przechodzi   przez   normalną   do   powierzchni   w   tym   punkcie.   Jest   ona   jednocześnie
najkrótszą odległością między dwoma punktami na powierzchni elipsoidy obrotowej. Ze względu
na   to   taką   linię   geodezyjną   określa   się   jako   ortodromę   na   powierzchni   elipsoidy   obrotowej.
Płaszczyznę   ściśle   styczną   do   pewnej   powierzchni   stanowi   płaszczyzna,   która   przechodzi   przez
styczną do krzywej jak i przez inny punkt na niej, leżący nieskończenie blisko punktu styczności. 

 Linia geodezyjna na powierzchni elipsoidy ( przy azymutach nie zbliżonych do 

i 

) dzieli

kąt między wzajemnymi przekrojami normalnymi w przybliżeniu w stosunku 1:2 i położona jest w

zawartego między przekrojem normalnym wprost a przekrojem odwrotnym w danym punkcie, tj.:

Linia geodezyjna jest najkrótszą odległością pomiędzy dwoma punktami na powierzchni elipsoidy.
Jej   długość   jest   na   pewno   krótsza   niż   długość   łuku   przekroju   normalnego.   W   praktyce   jednak
długość przekroju normalnego i linii geodezyjnej jest wartością bardzo małą i z reguły pomija się
nawet w bardzo dokładnych obliczeniach.

1.2. Przekroje główne elipsoidy

 

W   każdym   punkcie   P   powierzchni   elipsoidy   można   poprowadzić   prostą   n   prostopadłą

(normalną)  do powierzchni.  Nieskończenie wiele płaszczyzn  zawierających  normalną n przecina
powierzchnię elipsoidy w nieskończenie wielu krzywych zbiegających się w punkcie P.

Płaszczyzny,   które   zawierają  w   danym   punkcie  normalną   n,   która   jest   prostopadła   do   elipsoidy
nazywamy płaszczyznami normalnymi.

Natomiast   przekrojami   tej   normalnej   są   krzywe   uzyskane   na   powierzchni   elipsoidy   w

wyniku przecięcia jej płaszczyznami normalnymi, zawierającymi normalną, w danym punkcie do
elipsoidy. Wśród nieskończenie wielu przekrojów normalnych elipsoidy wyróżnia się dwa przekroje
główne,  których  płaszczyzny normalne tworzą z sobą kąt prosty,  a z otrzymanych krzywych  na
powierzchni   elipsoidy   jedna   ma   krzywiznę   największą   a,   druga   zaś   najmniejszą   w   punkcie   P.
Jednym   z   przekrojów   głównych   jest   przekrój   prostopadły   do   południka,   zwany  pierwszym
wertykałem lub przekrojem poprzecznym, a drugim przekrój południkowy – krzywa uzyskana na
powierzchni elipsoidy w wyniku przecięcia jej płaszczyzną południkową.

 

Rys. 4. Przekroje główne elipsoidy w punkcie

Promień   krzywizny   przekroju   południkowego   jest   najmniejszy,   a   więc   krzywizna   jest

największa. Natomiast promień krzywizny pierwszego wertykału jest największy, więc krzywizna

jest najmniejsza.

Przekroje   normalne   zawarte   pomiędzy   przekrojami   głównymi   mają   krzywizny   i   promienie

pośrednie. Są to przekroje normalne dowolne.