Zestaw 2
Stereometria
Poziom podstawowy
Zadanie 1. W graniastosłupie prawidłowym przedstawionym na
rysunku tg
α = 2 . Wówczas długość krawędzi podstawy a równa
jest:
A. 4 2
B. 16
C. 4
D. 16 2
Zadanie 2. Z sześcianu wycięto ostrosłup ABCD (rysunek).
Stosunek objętości sześcianu do objętości ostrosłupa jest równy:
A. 6 : 1
B. 5 : 1
C. 4 : 1
D. 3 : 1
Zadanie 3. Jeżeli długość krawędzi sześcianu jest równa a, to
pole powierzchni całkowitej ostrosłupa ABCD (patrz rysunek)
wynosi:
A. a
2
B.
a
2
3
2
C.
3a
2
2
D.
a
2
3
+ 3
(
)
2
Zadanie 4. W prostopadłościanie o podstawie kwadratowej wysokość jest dwa razy dłuższa od krawędzi
podstawy. Przyjmując, że krawędź podstawy ma długość x długość przekątnej prostopadłościanu jest równa:
A. x 2
B. x 3
C. x 6
D. x
2
+ 2
(
)
Zadanie 5. Krople deszczu mają zwykle kształt kuli o średnicy 2 mm. Wskaż, ile kropel deszczu napełni
szklankę w kształcie walca o średnicy 6 cm i wysokości 8 cm.
A. 108000
B. 432000
C. 54000
D. 162000
Zadanie 6. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość wysokości H = 5. Miara kąta, jaki tworzy
krawędź boczna tego ostrosłupa z płaszczyzna podstawy, jest równa 45°. Pole podstawy ostrosłupa wynosi:
A. 10
B. 25
C. 50
D. 50 5
Zadanie 7. Rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa o podstawie
trójkątnej. Dwie ściany tego ostrosłupa są prostopadłe do jego
podstawy. Objętość tego ostrosłupa wynosi:
A.
125
6
B.
125
2
C.
125
3
D.
125
4
Zadanie 8. Promień kuli o objętości 36
π cm
3
jest równy:
A. 2 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 9 cm
Zadanie 9. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna o długości 6 jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Wysokość tego ostrosłupa jest równa:
A. 3
B.
1
2
C. 12
D. 2 3
Zadanie 10. Walec ma taką samą podstawę i dwa razy dłuższą wysokość niż stożek. Ile razy objętość walca jest
większa od objętości stożka?
A. 2
B. 6
C. 3
D. 4
Zadanie 11. Rozwinięcie powierzchni bocznej stożka jest półkolem o promieniu r = 10 cm. Pole podstawy stożka
wynosi:
A. 100
π cm
2
B. 100 cm
2
C. 25
π cm
2
D. 25 cm
2
Zadanie 12. Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości a = 6 cm
tworzy z płaszczyzną podstawy kąt a = 60°. Wysokość ostrosłupa ma długość:
A. 3 cm
B. 3 3 cm
C. 2 3 cm
D. 9 cm
Zestaw 2
Stereometria
Poziom podstawowy
Zadanie 13. Przekątna przekroju osiowego walca tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 60°. Jeżeli
średnica walca jest równa 6, to pole powierzchni bocznej tego walca wynosi:
A. 12
π 3
B. 24
π 3
C. 36
π 3
D. 72
π 3
Zadanie 14. Objętość prostopadłościanu o wymiarach a
× a × h wynosi 144, a pole powierzchni 168. Wymiary
prostopadłościanu wynoszą:
A. 3
× 3 × 16
B. 12
× 12 × l
C. 6
× 6 × 4
D. 5
× 5× 6
Zadanie 15. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości 8 cm. Pole powierzchni
bocznej tego stożka jest równe:
A. 16
π cm
2
B. 24
π cm
2
C. 32
π cm
2
D. 48
π cm
2
Zadanie 16. Przekrój osiowy walca jest prostokątem o wymiarach 4 cm
× 5 cm (rysunek). Objętość walca jest
równa:
A. 15
π cm
3
B. 20
π cm
3
C. 25
π cm
3
D. 30
π cm
3
Zadanie 17. Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 12 cm, a wysokość tego
graniastosłupa ma długość 6 cm. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem:
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Zadanie 18. Przekrój osiowy walca jest kwadratem polu równym 12. Wówczas promień podstawy tego walca
jest równy:
A. 2 3
B. 6 3
C. 3
D. 6
Zadanie 19. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 7 cm i 10 cm. Wysokość
graniastosłupa jest równa 8 cm. Objętość graniastosłupa jest równa:
A. 280 cm
3
B. 560 cm
3
C.
280
3
cm
3
D.
560
3
cm
3
Zadanie 20. Objętość sześcianu jest równa 8 cm
3
. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu wynosi:
A. 16 cm
2
B. 24 cm
2
C. 8 cm
2
D. 4 cm
2
Zadanie 21. Objętość kuli jest równa 36
π . Pole jej powierzchni wynosi:
A. 72
π
B. 12
π
C. 36
π
D. 24
π
Zadanie 22. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy 4 i wysokości 12. Objętość tego
ostrosłupa wynosi:
A. 16 3
B. 32 3
C. 48 3
D. 4 3
Zadanie 23. Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 8 i tworzy z podstawą kąt 60°. Promień podstawy
walca wynosi:
A. 2 3
B. 2
C. 4
D. 4 3
Zadanie 24. Przekątna prostopadłościanu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Krawędzie
podstawy mają długość 3 i 4. Objętość bryły jest równa:
A. 12 2
B. 60
C. 625
D. 36
Zadanie 25. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym. Objętość stożka jest równa 9
π . Tworząca l
stożka ma długość:
A. l
= 3 2
B. l
= 6
C. l
= 3 3
D. l
= 7
Zestaw 2
Stereometria
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 1. Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm, a przekątna tej
bryły ma długość 9 cm. Oblicz objętość graniastosłupa.
Zadanie 2. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna o długości k tworzy z płaszczyzną
podstawy kąt o mierze 45°. Oblicz wysokość ściany bocznej.
Zadanie 3. Skrzynka balkonowa na kwiaty ma kształt graniastosłupa o podstawie trapezu równoramiennego o
wymiarach przedstawionych na rysunku. Czy zmieści się do niej 30 dm
3
ziemi? Wykonaj odpowiednie
obliczenia.
Zadanie 4. Na siatkę ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości 10 cm zużyto
250 cm
2
kartonu. Oblicz długość wysokości ściany bocznej tego ostrosłupa, jeśli 10% powierzchni kartonu
zajmują zakładki.
Zadanie 5. Do akwarium w kształcie prostopadłościanu o wymiarach podstawy 50 cm i 40 cm, częściowo
wypełnionego wodą, dolano jeszcze 5 litrów wody. O ile podniesie się poziom wody w akwarium?
Zadanie 6. Pole powierzchni bocznej walca jest równe 48
π , a jego objętość 96π . Wyznacz długość promienia
podstawy.
Zadanie 7. Tworząca stożka ma długość 6 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz
długość promienia podstawy oraz wysokość tego stożka.
ZADANIA OTWARTE ROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 1. Na rysunku przedstawiony jest ostrosłup, którego podstawą jest prostokąt o wymiarach 8 cm
× 6 cm.
Stosunek długości krawędzi bocznej tego ostrosłupa do długości przekątnej jego podstawy jest równy 2 : 1.
a) Oblicz długość wysokości tego ostrosłupa.
b)
Czy możliwe jest umieszczenie w tym ostrosłupie stożka o promieniu podstawy długości 3 cm i wysokości
49 15
10
cm? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 2. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź podstawy jest równa 2 i jest trzy razy krótsza od
krawędzi bocznej. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Zadanie 3. Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi 108, a wysokość podstawy, krawędź
podstawy i wysokość graniastosłupa w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz długość krawędzi
podstawy.
Zadanie 4. Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkątem równoramiennym o wysokości h i
kącie przy podstawie
α. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.