Prezentacja programu PowerPoint

Analiza pól – Uwagi wstępne

Bardzo ważnym pojęciem w fizyce a także inżynierii chemicznej jest

pojęcie pola.

Polem nazywamy pewną funkcję wielu zmiennych, w której

argumentami są położenie i czas.

Za pomocą pól opisuje się różne procesy zachodzące w przestrzeni

i czasie.

pole

(po o enie, czas)

ł ż

W zależności od rodzaju wielkości jaką opisuje dane pole rozróżniamy

pola skalarne, wektorowe i tensorowe.

Analiza pól – Uwagi wstępne

Znacznie bardziej złożone jest zagadnienie opisu położenia.
Przyjmuje się, że procesy zachodzą w przestrzeni trójwymiarowej
a zatem do opisu położenia potrzebne są 3 składowe. W zależności
od geometrii opisywanego zjawiska stosowane mogą być różne
układy współrzędnych przestrzennych.

Najczęściej stosowane są trzy rodzaje układów współrzędnych
przestrzennych:

kartezjański układ prostokątny,

układ cylindryczny,

układ sferyczny.

Analiza pól – Układy

współrzędnych przestrzennych

1. Układ kartezjański.

Ustalenie położenia polega na wyborze w przestrzeni trzech

wzajemnie prostopadłych i przecinających się w jednym

punkcie prostych określanych tradycyjnie jako osie

współrzędnych x,y,z.

Położenie „u” danego punktu w przestrzeni określa trójka

liczb x,y,z będących rzutami punktu u na odpowiednie osie.

Możemy to zapisać: u=[u

]

Analiza pól – Układy

współrzędnych przestrzennych

Analiza pól – Układy

współrzędnych przestrzennych

1. Układ kartezjański.

Współrzędne układu kartezjańskiego są dowolnymi liczbami

rzeczywistymi x,y,z:

-∞<x<∞

-∞<y<∞

-∞<z<∞

Analiza pól – Układy

współrzędnych przestrzennych

2. Układ cylindryczny.

Podstawową rolę w układzie cylindrycznym odgrywa płaszczyzna z wyróżnioną

półprostą Ox oraz prostopadła do tej płaszczyzny i przechodząca przez punkt O

oś z. Położenie punktu u określamy za pomocą trójki liczb rzeczywistych

u=[r

,φ,u

]=[r

,φ,z] gdzie:

u’

– odległość punktu u’ będącego

rzutem punktu u na płaszczyznę

od punktu O, czyli długość

odcinka u’O. r

≥0

φ – kąt między półprostą Ox

a odcinkiem Ou’. 0≤φ<2π

=z – współrzędna rzutu punktu

u na oś z. -∞<z<∞

Analiza pól – Układy

współrzędnych przestrzennych

3. Układ sferyczny.

Podstawową rolę w układzie sferycznym odgrywa płaszczyzna z wyróżnioną

półprostą Ox oraz prostopadła do tej płaszczyzny i przechodząca przez punkt O

oś z. Położenie punktu u określamy za pomocą trójki liczb rzeczywistych

u=[r

,φ,θ] gdzie:

u’

– odległość punktu u będącego

od punktu O, czyli długość

odcinka uO. r

≥0

φ – kąt między półprostą Ox

a odcinkiem Ou’. 0≤φ<2π

θ – kąt między dodatnim kierunkiem

osi z a odcinkiem Ou. 0≤θ≤π

Analiza pól – Przeliczanie

współrzędnych

cos

sin

Współrzędne w różnych układach można wzajemnie przeliczać. Szczególnie ważne

są wzory przeliczeniowe między układem kartezjańskim a cylindrycznym i sferycznym.

Wzory te można otrzymać na podstawie elementarnych relacji geometryczno –

trygonometrycznych.

u’

arctan

gdzie

dla x

i y

dla x

i y

Układ cylindryczny –> układ kartezjański:

Układ kartezjański –> układ cylindryczny:

Analiza pól – Przeliczanie

współrzędnych

cos sin

sin sin

cos

Układ sferyczny –> układ kartezjański:

u’

arctan

gdzie

dla x

i y

dla x

i y

dla z

’

Układ kartezjański –> układ sferyczny:

Analiza pól – Pole skalarne

)

(

Polem skalarnym nazywamy funkcję rzeczywistą położenia i czasu.

Pole skalarne jest więc funkcją 4 zmiennych: 3 przestrzennych i czasu. Zmienne

przestrzenne zależą od stosowanego układu współrzędnych:

( , , , )

x y z t

z t

f r

Pole skalarne – powierzchnia

ekwiskalarna

)

(

Powierzchnią ekwiskalarną nazywamy zbiór punktów przestrzennych

dla których wartości funkcji s w określonym czasie są stałe.

Przykład

Niech s będzie polem określonym za pomocą wzoru:

( )

( , )

f u t

const

Powierzchniami ekwiskalarnymi dla tego pola są powłoki kuliste (sfery) dla których

odległości od początku układu są stałe.

Analiza pól – Pole wektorowe

)

(



Polem wektorowym nazywamy funkcję wektorową położenia i czasu.

Ponieważ wektor w przestrzeni R

ma 3 składowe, więc funkcja f musi w sposób

niezależny określać te składowe. Rodzaj tych składowych zależy od rodzaju

stosowanego układu współrzędnych:

[

]

[

]

[

]

w w w






Analiza pól – Pole wektorowe

Pole wektorowe jest zatem równoważne trzem funkcjom rzeczywistym

czterech zmiennych.

W zależności od rodzaju układu funkcje te mają różne postacie:

( , )

[

( , , , ),

( , , , )]

( , )

[

( , , , ),

( , , , )]

( , )

[

( , , , ),

( , , , )]

u t

w x y z t w x y z t w z y z t

f u t

w r

z t w r

z t

f u t

w r

t w r





Analiza pól – Pole tensorowe

( , )

f u t



Polem tensorowym nazywamy funkcję tensorową położenia i czasu.

W przypadku tensorów drugiego rzędu określonych w przestrzeni trójwymiarowej

tensor ma 9 składowych, więc funkcja f musi w sposób niezależny określać te

składowe. Każda ze składowych jest funkcją 4 zmiennych.

Analiza pól – Pole tensorowe

Pole tensorowe jest zatem równoważne 9 - ciu funkcjom rzeczywistym

czterech zmiennych.

W układzie kartezjańskim popularny jest macierzowy zapis tensorów:

( , )

u t



Analiza pól – Różniczkowanie

Pola jako funkcje można różniczkować. Ponieważ jednak są to funkcje

dosyć złożone więc również różniczkowanie nie jest proste.

Ogólnie różniczkowanie jest operatorem.

Istnieją różne operatory różniczkowania pól noszące różne nazwy.

Najważniejsze z nich to:

-gradient pola skalarnego

- dywergencja pola wektorowego

- rotacja pola wektorowego

- laplasjan (operator Laplace’a – nie mylić z transformatą Laplace’a)

pola skalarnego

Analiza pól – Różniczkowanie

Formalne definicje poszczególnych operatorów są niezależne od rodzaju

układu współrzędnych przestrzennych, jednakże nie nadają się one do

obliczeń praktycznych (podobnie jak formalna definicja zwykłej pochodnej

czy całki).

W praktyce stosuje się wzory, których postać zależy od rodzaju układu

współrzędnych. Z reguły najprostsze są wzory dla układu kartezjańskiego

i te wzory przedstawię poniżej.

Analiza pól – Gradient pola

skalarnego

Operację gradientu wykonuje się na polu skalarnym.

Wynikiem jest pole wektorowe. Dla układu kartezjańskiego mamy:

grad

)

(

)

(

Odpowiednie wzory określające gradient w innych układach

współrzędnych można znaleźć w podręcznikach lub poradnikach

matematycznych.

Właściwości gradientu pola

skalarnego

Można wykazać że:

1. Operator gradientu jest liniowy tzn. obowiązuje wzór

gdzie – α i β dowolne liczby rzeczywiste, s

i s

dowolne pola skalarne

2. Wektor gradientu wskazuje kierunek, w którym wartość pola

rośnie najszybciej.

3. Wektor gradientu jest prostopadły do powierzchni ekwiskalarnej.

(

)

( )

grad

grad s

Analiza pól – Dywergencja pola

wektorowego

Operację dywergencji wykonuje się na polu wektorowym.

Wynikiem jest pole skalarne. Inne określenie tego operatora

to rozbieżność.

[

( , , , ),

( , , , )]

( )

w x y z t w x y z t w x y z t

div w



Odpowiednie wzory określające dywergencję w innych układach

współrzędnych można znaleźć w podręcznikach lub poradnikach

matematycznych.

Niektóre właściwości operatora

dywergencji pola wektorowego

Można wykazać że:

(

)

(

)

(

)

div

div w



1. Dywergencja jest operatorem liniowym tzn.

2. Zachodzi wzór:

(

)

( )

div s w

s div w

grad s





gdzie α i β – dowolne liczby rzeczywiste,

i w

dowolne pola wektorowe

gdzie s – dowolne pole skalarne,

w - dowolne pole wektorowe

Analiza pól – Rotacja pola

wektorowego

Operację rotacji wykonuje się na polu wektorowym. Wynikiem jest pole

wektorowe. Polskie określenie tego operatora to wirowość.

[

( , , , ),

( , , , )]

( )

[ , , ]

w x y z t w x y z t w x y z t

rot w

r r r

gdzie



Analiza pól – Laplasjan pola

skalarnego

( , , , )

( )

[

( )]

f x y z t

div grad s

Laplasjan jest operatorem złożonym składającym się z operatorów gradientu

i diwergencji.

Laplasjanem działamy na pole skalarne w wyniku otrzymując inne pole skalarne:

Dla układu kartezjańskiego operator Laplace’a jest sumą drugich pochodnych

cząstkowych pola skalarnego względem współrzędnych przestrzennych:

)

(

Analiza pól – Operator Hamiltona

W układzie kartezjańskim jest to symboliczny wektor, którego składowymi

są operatory różniczkowania względem zmiennych przestrzennych:

W celu uporządkowania i łatwego zapisu powyższych pojęć czasami

jest stosowany tzw. operator Hamiltona oznaczony symbolem „nabla”.

Analiza pól – Operator Hamiltona

Za pomocą operatora „nabla” można otrzymać wszystkie do tej pory

zdefiniowane pojęcia:

( )

(

)

( )

grad s

div w

div grad s

rot w







Analiza pól – Pola potencjalne

Operacją odwrotną do różniczkowania jest całkowanie. W przypadku pola

wektorowego odpowiednikiem całki nieoznaczonej (czyli tzw. funkcji

pierwotnej) może być pojęcie potencjału. Pojęcie to można definiować

tylko dla tzw. pól potencjalnych.

Dane pole wektorowe w nazywamy polem potencjalnym, jeżeli istnieje

pole skalarne U, którego gradientem jest dane pole w. Czyli

( )

grad U



Potencjał danego pola (podobnie jak całka nieoznaczona) jest określony

z dokładnością do pewnej stałej addytywnej.

Analiza pól – Pola potencjalne

Warunkiem koniecznym i wystarczającym aby dane pole wektorowe w

było polem potencjalnym jest jego bezwirowość tzn. że jego rotacja

musi być równa 0:

( )

[

( )]

rot w

rot grad U



Warunek ten w układzie kartezjańskim można zapisać za pomocą 3 równań:

Analiza pól – Całkowanie

W analizie pól rozpatruje się również operacje analogiczne do całki

oznaczonej. Najważniejsze są tzw. całki objętościowe i całki

powierzchniowe.

Dla pola skalarnego s w zamkniętym obszarze przestrzennym Ω

definiuje się całkę objętościową jako granicę:

lim

( ) ( )

( )

sdV

s u V



W dowolnym układzie przestrzennym dla odpowiednio zdefiniowanego

zbioru Ω można całkę objętościową zapisać za pomocą całki potrójnej

W odpowiednich granicach.

Analiza pól – Całkowanie

Dla pola wektorowego w i ograniczonej powierzchni zorientowanej A
definiuje się całkę powierzchniową drugiego rodzaju jako granicę:

lim

( ( )

) ( )

( )

w u

n A a









W dowolnym układzie przestrzennym dla odpowiednio zdefiniowanej

powierzchni A można całkę powierzchniową zapisać za pomocą całki
podwójnej w odpowiednich granicach.

Analiza pól – Twierdzenie

Gaussa

W szczególnym przypadku, gdy mamy dane pole wektorowe w

zdefiniowane w zamkniętym obszarze Ω, którego brzegiem jest

powierzchnia zorientowana na zewnątrz A całkę powierzchniową tego
pola po tej powierzchni można wyrazić za pomocą całki objętościowej.

Umożliwia to tzw. twierdzenie Gaussa:

( )

div w dV



