Egzamin z MPiS 25.06.2010 godz. 8:00 

Część zadaniowa 

Zadanie 1 (4p) Kanałem łączności nadaje się tylko 3  rodzaje ciągów liter: AAA, BBB, CCC 
odpowiednio  z  prawdopodobieństwami  0.5,  0.25,  0.25.  Litery  te  (sygnały)  podlegają 
niezależnie losowym zakłóceniom (przekłamaniom) w  rezultacie czego np. litera A może być 
odebrana  jako  B.  Prawdopodobieństwo  poprawnego  przesłania  albo  przekłamania  liter 
przedstawiono na rys.1 

 

rys.1 

Obliczyć:  a)  (2p)  prawdopodobieństwo  odebrania  na  wyjściu  kanału  ciągu  ABC,  b)  (2p) 
prawdopodobieństwo, że odebrany ciąg ABC został nadany jako BBB. 
 
Zadanie 2 (11p) Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości  

( )

sin   dla  

[0, ]

0           dla  

[0, ]

C

x

x

p x

x

π

π

∈



=



∉



 

Obliczyć: a) (1p) stałą C, b) (2p) wartość przeciętna, c) (2p) medianę, d) (2p) wariancję, e) 
(2p) dystrybuantę, f) (2p) P(X<π/4) 

Zadanie  3  (5p)  Dwuwymiarowy wektor  losowy  

X

Z

Y

 

=

 

 

u

r

 ma  rozkład  prawdopodobieństwa 

łącznego dany tabelą: 

P(X=i,Y=j) 

X=i 

-1 

0 

1 

 
Y=j 

-1 

0 

0 

1/3 

0 

0 

1/3 

0 

1 

1/3 

0 

0 

Oblicz:  a)  (2p)  Dystrybuantę  łączną  WL  Z

u

r

;  b)  (2p)  Współczynnik  korelacji  (unormowany 

współczynnik kowariancji) ZL X i Y, c) (1p) Sprawdź, czy ZL X i Y są zależne statystycznie. 

 

Część teoretyczna (na oddzielnych kartkach!!!) 

 
1.

 

Podaj definicję dystrybuanty zmiennej losowej oraz wymień i opisz jej właściwości. (5p) 

2.

 

Podaj i opisz wzór na gęstość prawdopodobieństwa ZL będącej funkcją deterministyczną 

zmiennej losowej o znanej gęstości prawdopodobieństwa. (5p) 
3.

 

Podaj  definicję  i  wzory  dla  obliczenia  momentu  centralnego  rzędu  k  ZL  dyskretnej  i 

ciągłej.( 3p) 
4.

 

Wymień właściwości wariancji ZL (4p) 

5.

 

Podaj zasadę estymacji parametrów metodą największej wiarygodności. (3p)