1. Przekształcenia izometryczne
2. Operacje symetrii możliwe w sieci
3. Iloczyn przekształceń
4. Symbole elementów symetrii
Wykład 3
Przekształcenia izometryczne w sieci
krystalicznej
1. Przekształcenia izometryczne
2. Operacje symetrii możliwe w sieci
3. Iloczyn przekształceń
4. Symbole elementów symetrii
Wykład 3
Przekształcenia izometryczne w sieci
krystalicznej
Struktura naturalnego klatrasilu
(melanoflogit)
Pseudokryształy - Daniel Shechtman Nagroda
Nobla 2011
srebro/aluminium quasicrystal
Icosahedron
Przekształcenia izometryczne
Przekszta łcenie izometryczne (z grec. izo- ten sam, metri –
odległość;) to przekształcenie, które w wyniku jego
zastosowania nie powoduje zmian odległości między dwoma
dowolnymi, przekształcanymi punktami:
r
=
T(r)
gdzie:
r
- odległość między dowolnymi dwoma punktami,
T(r)
- odległość między tymi samymi punktami po przekształceniu T
Translacja i operacje symetrii
Zamknięte
1. oś obrotu
2. centrum inwersji (symetrii)
3. płaszczyzna symetrii
4. oś inwersyjna (obrót i
odbicie w centrum)
Otwarte
1. oś śrubowa (obrót +
translacja)
2. płaszczyzna poślizgowa
(odbicie + translacja)
Obrót wokół osi
Osie obrotu w sieci
CD = k·AB
gdzie:
k -
liczba całkowita
,
CD = CE + EF + FD
natomiast:
EF = AB
z definicji funkcji cosinus oraz ujemnej
wartości tej funkcji w przedziale kątowym
180-270o:
CE = FD = -
AB·cos
z powyższych równań można
wyprowadzić zależność:
k·AB = AB + 2·(-AB·cos
)
co łatwo można przekształcić w:
k·AB = AB(1-2cos
)
skąd:
cos
= (1-k)/2
Właściwa oś symetrii X
Działanie
właściwej
osi
symetrii X na element „R”
Projekcja
stereograficzna
bieguna
ściany
(hkl)
przekształcanego względem
właściwej osi symetrii X
= 360
o
= 180
o
= 120
o
= 90
o
= 60
o
k
cos
krotność osi
3
-1
180
o
2
2
-½
120
o
3
1
0
90
o
4
0
½
60
o
6
-1
1
360
0
1
Krotność osi
dozwolona w sieci
Współistnienie osi w sieci
Centrum inwersji (symetrii)
Płaszczyzna symetrii
Iloczyn operacji symetrii
iloczyn dwóch operacji symetrii jest również operacją symetrii
Działanie inwersyjnej osi symetrii
X
na element „R”
Projekcja
stereograficzna
bieguna
ściany
(hkl)
przekształcanego
względem inwersyjnej osi symetrii
X
Inwersyjne
osie symetrii
Zamknięte operacje symetrii
Operacje symetrii
Elementy symetrii
PROSTE
obrót
obrót o 360
o
obrót o 180
o
obrót o 120
o
obrót o 90
o
obrót o 60
o
oś jednokrotna
oś dwukrotna
oś trójkrotna
oś czterokrotna
oś sześciokrotna
odbicie względem płaszczyzny
płaszczyzna symetrii
odbicie
względem
centrum
inwersji (inwersja)
centrum inwersji
ZŁOŻONE
obrót z
inwersją
obrót o 360
o
i inwersja
obrót o 180
o
i inwersja
obrót o 120
o
i inwersja
obrót o 90
o
i inwersja
obrót o 60
o
i inwersja
oś jednokrotna inwersyjna
centrum
inwersji
oś dwukrotna inwersyjna
płaszczyzna
symetrii
oś trójkrotna inwersyjna
oś czterokrotna inwersyjna
oś sześciokrotna inwersyjna
Symbole elementów symetrii
występujących w sieci przestrzennej
Element symetrii
Symbol
graficzny:
Kreutza –
Zaremby
Schoenfliesa
Hermanna -
Mauguina
Oś jednokrotna- identyczność
(obrót o 360
o
)
L
1
= E
C
1
1
Oś jednokrotna inwersyjna
(obrót o 360
o
i inwersja)
◦
C
i
1
Oś dwukrotna
(obrót o 180
o
)
L
2
z
C
2
2
Oś dwukrotna inwersyjna –
płaszczyzna zwierciadlana
(obrót o 180
o
i inwersja)
P
y
C
s
m
Oś trójkrotna
(obrót o 120
o
)
L
3
z
,L
3
111
C
3
3
Oś trójkrotna inwersyjna
(obrót o 120
o
i inwersja)
A
3
S
3
3
Oś czterokrotna
(obrót o 90
o
)
L
4
z
C
4
4
Oś czterokrotna inwersyjna
(obrót o 90
o
i inwersja)
A
4
z
S
4
4
Oś sześciokrotna
(obrót o 60
o
)
L
6
z
C
6
6
Oś sześciokrotna inwersyjna
(obrót o 60
o
i inwersja)
A
6
z
S
6
6