Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

1

4.



4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

Rozdział  ten poświęcony  jest  wyprowadzeniu twierdzenia o pracy wirtualnej, jednak wywód  należy

poprzedzić wyjaśnieniem dwóch zagadnień:  przemieszczenia wirtualnego  (niezbędne w wirtualnym stanie
przemieszczeń) oraz obciążenia wirtualnego (niezbędne w wirtualnym stanie obciążeń).

Przemieszczenie wirtualne  musi spełniać kilka charakterystycznych, ale bardzo ważnych warunków,

musi być:

•

 pomyślane,

•

 możliwe, tzn. kinematycznie dopuszczalne,

•

 niezależne od czynników zewnętrznych (np. obciążeń),

•

 bardzo małe w porównaniu z wymiarami ciała,

•

 niezależne od czasu,

•

 ciągłe (co najmniej raz różniczkowalne).

Obciążenie wirtualne (zewnętrzne lub wewnętrzne) podobnie jak przemieszczenie musi być:

•

 pomyślane,

•

 możliwe, tzn. kinematycznie dopuszczalne,

•

 niezależne od czynników zewnętrznych (np. obciążeń),

•

 małe w odniesieniu do wymiarów i obciążeń zewnętrznych,

•

 niezależne od czasu,

•

 nie musi być ciągłe (może być punktowe) – zasada de Saint-Venanta.

4.1. Wirtualny stan przemieszczeń

Interpretacja:

Przyjmujemy dowolny układ pozostający w równowadze

p(x)

U(x)

Rys. 4.1. Rzeczywisty model układu prętowego, obciążonego rzeczywistymi siłami p(x), pod wpływem których

doznaje przemieszczeń 

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

2

U(x)

M

  V

H

Rys. 4.2. Ten sam układ ale z wymuszonym przemieszczeniem wirtualnym 

U

 x

 (kinematycznie dopuszczalnym)

Wyprowadzenie:

Przyjmujemy dowolny pręt (rys. 4.3) o długości skończonej 

l , końcach i, k oraz dowolnie obciążony siłami

zewnętrznymi 

p(x).

k

    i

l

p(x)

Rys. 4.3. Pręt o długości l

Wyobraźmy sobie następnie bardzo mały fragment tego pręta o długości 

dx (rys. 4.4). Działają na niego siły

uogólnione, wewnętrzne przyjmujące dowolną kombinację, powstałą od sił normalnych, tnących i momentów. 

p(x)

T(x)

N(x)

N(x)+dN(x)

M(x)

M(x)+dM(x)

dx

T(x)+dT(x)

Rys. 4.4. Fragment pręta dx

W   celu   uproszczenia   obliczeń   przeanalizujemy  kolejno  przypadki   obciążeń:   siłą   normalną,   siłą   tnącą   i
momentem zginającym. 

4.1.1. Przypadek I (działanie sił normalnych)

Zakładamy, że dowolne obciążenie pręta siłą 

p(x) powoduje powstanie tylko sił biernych poziomych Q

i

 i

Q

k 

wobec czego na nasz element 

dx  będzie działała tylko uogólniona siła normalna (podłużna, osiowa) N(x)

(rys. 4.5).

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

3

p(x)

N(x)

N(x)+dN(x)

dx

dy

k

    i

l

p(x)

Q

i

Q

k

Rys. 4.5. Działanie uogólnionej siły normalnej w pręcie i w elemencie dx

Zapisujemy równanie równowagi dla elementu 

dx (tzn. w każdym punkcie tego pręta) otrzymujemy wyrażenie:

∑

X

=0  −N  xN xdN x p xdx=0

dN

 x p xdx=0/: dx

dN

x

dx

 px=0

 

(4.1)

Następnie   nadajemy   temu   prętowi   pewne   wirtualne   przemieszczenie   (rys.   4.6),   zgodnie   z   działaniem
uogólnionych sił normalnych, spełniające warunki podane na początku rozdziału. Przyjmujemy jego wartość
równą 

 ux

    i

k

δu(X)

u

k

u

i

Rys. 4.6. Wirtualne przemieszczenie pręta

Mnożymy  równanie  (4.1)   obustronnie  przez   przemieszczenie  wirtualne  

 ux

  a   następnie  całkujemy  w

granicach od 

x=0 do x=l,:

[

dN

x

dx

 p x

]

 ux=0

∫

0

l

 ux

[

dN

 x

dx

 p x

]

dx

=0

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

4

∫

0

l

 ux

dN

 x

dx

dx



∫

0

l

 ux pxdx=0

(4.2)

W celu obliczenia całki 

∫

0

l

 ux

dN

 x

dx

dx

 skorzystamy z twierdzenia o całkowaniu przez części,

∫

udv

=uv−

∫

vdu

u

= ux

dv

=

dN

 x

dx

dx

du

=

d

 ux

dx

dx

v

=

∫

dN

 x

dx

dx

=N  x

∫

0

l

 ux

dN

 x

dx

dx

= ux N x

∣

0

l

−

∫

0

l

N

x

d

 ux

dx

dx

  

Równanie (4.2) uzyska więc postać:

 ux N x

∣

0

l

−

∫

0

l

N

 x

d

 ux

dx

dx



∫

0

l

 ux pxdx=0

 ul N l− u0 N 0−

∫

0

l

N

x

d

 ux

dx

dx



∫

0

l

 ux pxdx=0

u

k

Q

k

−u

i

−Q

i



∫

0

l

 ux pxdx=

∫

0

l

N

 x

d

 ux

dx

dx

 (4.3)

Znak “-” przy sile 

Q

i

  wynika z tego, że Q

i

  jest siłą ściskającą (z założenia dodatni znak mają jedynie siły

powodujące rozciąganie pręta) (rys. 4.7)

Q

i

Q

k

    i

k

Rys. 4.7. Znakowanie sił

Po uporządkowaniu otrzymano zależność:

Q

k

u

k

Q

i

u

i



∫

0

l

 ux pxdx=

∫

0

l

N

x

d

 ux

dx

dx

 (4.4)

gdzie:

Q

k

u

k

Q

i

u

i

      

- całkowita praca sił zewnętrznych (biernych) na przemieszczeniach wirtualnych,

∫

0

l

 ux pxdx

 

- całkowita praca sił zewnętrznych (czynnych) na przemieszczeniach wirtualnych,

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

5

∫

0

l

N

 x

d

 ux

dx

dx

- całkowita   praca   sił   wewnętrznych   (normalnych)   na   wirtualnych   przemieszczeniach

wewnętrznych.

Wobec oznaczeń:

L

z

=Q

k

u

k

Q

i

u

i



∫

0

l

 ux pxdx

L

w

=

∫

0

l

N

 x

d

 ux

dx

dx

 (4.5)

mamy:

L

z

=L

w

(4.6.)

L

z

 - praca   wszystkich   rzeczywistych   sił   czynnych   obciążających   układ   oraz   biernych,   pracujących   na

przemieszczeniach wirtualnych (wymuszonych kinematycznie),

L

w

 - praca wszystkich sił wewnętrznych rzeczywistych na wirtualnych przemieszczeniach wewnętrznych.

Definicja: 

Praca  rzeczywistych sił zewnętrznych (biernych i czynnych) na przemieszczeniach wirtualnych jest równa
pracy   sił   wewnętrznych   (wynikających   z   działania   obciążeń   zewnętrznych)   na   wewnętrznych
przemieszczeniach wirtualnych.

Wniosek:

∑

k

P

k





k



∑

j

R

j





j



∑∫

s

p

susds=

∫

s

N

xxdx

d

 ux

dx

=x

 (4.7)

gdzie:

P

k

- siły czynne skupione,

R

j

- siły bierne,

p

s

- obciążenie rozłożone na pręcie czynne,

N

x

- siły wewnętrzne.

Warto zaznaczyć, że we wzorze nadal obowiązują zależności fizyczne odpowiadające stanowi wirtualnemu:

x=

N x

EA

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

6

4.1.2. Przypadek II (działanie sił tnących)

Zakładamy, że dowolne obciążenie pręta siłą 

p(x) powoduje powstanie tylko sił biernych pionowych T

i

 i

T

k 

wobec czego na nasz element 

dx będzie działała tylko uogólniona siła tnąca (poprzeczna) T(x) (rys. 4.8)

k

    i

T

i

  T

k

l

p(x)

dx

p(x)

T(x)

T(x)+dT(x)

Rys. 4.8. Działanie sił poprzecznych na pręt i na wycinek pręta

Zapisując równanie równowagi dla elementu 

dx (tzn. w każdym punkcie tego pręta) otrzymujemy wyrażenie:

∑

Z

=0  −T xT  xdT x p xdx=0

dT

 x pxdx=0/: dx

dT

 x

dx

 px=0

 

(4.8)

Następnie   nadajemy   temu   prętowi   pewne   wirtualne   przemieszczenie   (rys.   4.9),   zgodnie   z   działaniem
uogólnionych sił poprzecznych (tnących), spełniające warunki podane na początku rozdziału. Przyjmujemy
jego wartość równą: 

 vx

v

i

v

k

δv(x)

Rys. 4.9. Wirtualne przemieszczenie pręta

Mnożymy  równanie  (4.8)   obustronnie  przez   przemieszczenie  wirtualne  

 v x

  a   następnie  całkujemy  w

granicach od 

x=0 do x=l :

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

7

[

dT

 x

dx

 px

]

 vx=0

∫

0

l

 vx

[

dT

 x

dx

 px

]

dx

=0

∫

0

l

 vx

dT

 x

dx

dx



∫

0

l

 vx pxdx=0

 (4.9)

W celu obliczenia całki 

∫

0

l

 vx

dT

 x

dx

dx

 skorzystamy z twierdzenia o całkowaniu przez części,

∫

udv

=uv−

∫

vdu

u

= vx

dv

=

dT

 x

dx

dx

du

=

d

 vx

dx

dx

v

=

∫

dT

x

dx

dx

=T  x

∫

0

l

 vx

dT

 x

dx

dx

= vxT x

∣

0

l

−

∫

0

l

T

 x

d

 vx

dx

dx

  

Równanie (4.9) uzyska więc postać:

 vxT x

∣

0

l

−

∫

0

l

T

 x

d

 vx

dx

dx



∫

0

l

 vx pxdx=0

 vlT l−v0T 0−

∫

0

l

T

 x

d

 vx

dx

dx



∫

0

l

 vx pxdx=0

v

k

T

k

−v

i

−T

i



∫

0

l

 vx pxdx=

∫

0

l

T

 x

d

 vx

dx

dx

 (4.10)

Znakowanie: Przyjęto zasadę zgodności zwrotów sił 

T

i

  i T

k

  oraz przemieszczeń im odpowiadającym V

i   

i 

V

k

(rys. 4.10).

i

k

T

i

 T

k

Rys. 4.10. Dodatnie zwroty sił poprzecznych

Znaki w wyrażeniu (4.10) wynikają z faktu, że znak dodatni siły 

T(0)  jest przeciwny do założonego zwrotu

siły 

T

i

 , a znak dodatni siły T(l) jest zgodny z założonym zwrotem siły T

k .

T

k

v

k

T

i

v

i



∫

0

l

vx pxdx=

∫

0

l

T

 x

d

 vx

dx

dx

 (4.11)

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

8

W równaniu (4.11) poszczególne człony oznaczają:

T

k

v

k

T

i

v

i

      

- całkowita praca sił zewnętrznych (biernych) na przemieszczeniach wirtualnych,

∫

0

l

 vx pxdx

   - całkowita praca sił zewnętrznych (czynnych) na przemieszczeniach wirtualnych,

∫

0

l

T

x

d

 vx

dx

dx

-   całkowita   praca   sił   wewnętrznych   (tnących)   na   wirtualnych   przemieszczeniach

wewnętrznych.

Wobec oznaczeń:

L

z

=T

k

v

k

T

i

v

i



∫

0

l

 vx pxdx

L

w

=

∫

0

l

T

 x

d

 vx

dx

dx

 (4.12)

mamy:

L

z

=L

w

(4.13)

L

z

 - praca   wszystkich   rzeczywistych   sił   czynnych   obciążających   układ   oraz   biernych   pracujących   na

przemieszczeniach wirtualnych (wymuszonych kinematycznie),

L

w

 - praca wszystkich sił wewnętrznych rzeczywistych na wirtualnych przemieszczeniach wewnętrznych

Definicja: 

Praca rzeczywistych sił zewnętrznych (biernych 

R

j

 i czynnych 

P

k ,

 p(s)) na przemieszczeniach wirtualnych jest

równa   pracy  sił  wewnętrznych  

T(x)   (wynikających  z  działania  obciążeń  zewnętrznych)  na  wewnętrznych

przemieszczeniach wirtualnych.

Wniosek:

∑

k

P

k





k



∑

j

R

j





j



∑∫

s

p

svsds=

∫

s

T

 x 



śr

xdx

d

 vx

dx

= 



śr

x

 (4.14)

gdzie:



śr

= 

Warto zaznaczyć, że we wzorze nadal obowiązują zależności fizyczne odpowiadające stanowi wirtualnemu.

x=

T x

GA

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

9

4.1.3. Przypadek III (działanie momentów zginających)

Zakładamy czyste zginanie tzn. dowolne obciążenie pręta 

m(x) powoduje powstanie tylko sił biernych w

postaci  momentów  zginających  

M

i

  i  M

k

  ,

 

stąd  na  nasz  myślowo  wycięty  element  

dx  będzie  działał  tylko

uogólniony moment zginający  

M(x) (rys. 4.11)

k

    i

M

i

  M

k

l

m(x)

m(x)

M(x)

M(x)+dM(x)

dx

Rys. 4.11. Działanie momentów zginających na pręt i na element dx

Zapisując równanie równowagi dla elementu 

dx (tzn. w każdym punkcie tego pręta) otrzymujemy wyrażenie:

∑

M

=0  M  x−M x−dM  x−m xdx=0

−dM  x−m xdx=0/:−dx

dM

x

dx

m x=0

 

 

(4.15)

Następnie   (analogicznie   jak   w   poprzednim   przypadku)   nadajemy   temu   prętowi   pewne   wirtualne
przemieszczenie (rys. 4.12), zgodne z działaniem uogólnionych momentów zginających, o wartości równej

  x

l

φ

i

φ

k

δφ(x)

Rys. 4.12. Wirtualne przemieszczenie

Mnożymy  równanie (4.15) obustronnie  przez  przemieszczenie  wirtualne  

 

 x

  a   następnie  całkujemy w

granicach od 

x=0 do x=l :

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

10

[

dM

 x

dx

mx

]

 x=0

∫

0

l

  x

[

dM

 x

dx

m x

]

dx

=0

∫

0

l

  x

dM

 x

dx

dx



∫

0

l

  xm xdx=0

 (4.16)

W celu obliczenia całki 

∫

0

l

  x

dM

 x

dx

dx

 skorzystamy z twierdzenia o całkowaniu przez części,

∫

udv

=uv−

∫

vdu

u

=  x

dv

=

dM

 x

dx

dx

du

=

d

 x

dx

dx

v

=

∫

dM

 x

dx

dx

=M  x

∫

0

l

  x

dM

 x

dx

dx

= 

xM x

∣

0

l

−

∫

0

l

M

x

d

 x

dx

dx

  

Równanie (4.16) uzyska więc postać:

  xM  x

∣

0

l

−

∫

0

l

M

 x

d

  x

dx

dx



∫

0

l

 xm xdx=0

 l M l − 0M 0−

∫

0

l

M

x

d

  x

dx

dx



∫

0

l

 xmxdx=0



k

M

k

 

i

M

i



∫

0

l

  xm xdx−

∫

0

l

M

 x

d

  x

dx

dx

=0

 (4.17)

Znaki w wyrażeniu (4.17) wynikają z faktu, że dodatni moment

  M(0)  jest zgodny z założonym dodatnim

momentem  

M

i

,,  a   dodatni  moment  M(l)   jest   przeciwny  do  założonego  dodatniego  M

k  

  (przyjęto  zasadę

zgodności dodatnich zwrotów 

M

i

 i M

k

 oraz przemieszczeń im odpowiadających 



i

,



k

) (rys. 4.13).

k

    i

M

i

  M

k

l

Rys. 4.13. Znakowanie sił

Po uwzględnieniu znaków otrzymano wyrażenie:

M

k



k

M

i



i



∫

0

l

 xmxdx=

∫

0

l

M

 x

d

  x

dx

dx

 (4.18)

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

11

gdzie:

M

k



k

M

i



i

     

- całkowita praca sił zewnętrznych (biernych) na przemieszczeniach wirtualnych,

∫

0

l

  xm xdx

    - całkowita praca sił zewnętrznych (czynnych) na przemieszczeniach wirtualnych,

∫

0

l

M

x

d

 x

dx

dx

- całkowita   praca   sił   wewnętrznych   (momentów)   na   wirtualnych   przemieszczeniach

wewnętrznych.

Wobec oznaczeń:

L

z

=M

k



k

M

i



i



∫

0

l

  xm xdx

L

w

=

∫

0

l

M

 x

d

  x

dx

dx

 (4.19)

mamy:

L

z

=L

w

(4.20)

L

z

 - praca   wszystkich   rzeczywistych   sił   czynnych   obciążających   układ   oraz   biernych,   pracujących   na

przemieszczeniach wirtualnych (wymuszonych kinematycznie),

L

w

 - praca wszystkich sił wewnętrznych rzeczywistych na wirtualnych przemieszczeniach wewnętrznych.

Definicja: 

Praca rzeczywistych sił zewnętrznych (biernych 

R

j

 i czynnych 

P

k

 , 

p(s)) na przemieszczeniach wirtualnych jest

równa  pracy  sił wewnętrznych  

M(x)  (wynikających  z  działania  obciążeń  zewnętrznych)  na  wewnętrznych

przemieszczeniach wirtualnych.

Wniosek:

∑

k

P

k





k



∑

j

R

j





j



∑∫

s

p

s sds=

∫

s

M

x xdx

d

  x

dx

= x

 (4.21)

Warto zaznaczyć, że we wzorze nadal obowiązują zależności fizyczne odpowiadające stanowi wirtualnemu.

x=



M

x

EJ

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

12

4.1.4. Przypadek IV (wszystkie siły)

Zakładamy, że dowolne obciążenie pręta  

p(x)  powoduje powstanie dowolnych sił biernych w postaci

uogólnionych sił poziomych, pionowych i momentów zginających (rys. 4.14).

 

k

 i

l

p(x)

p(x)

T(x)

N(x)

N(x)+dN(x)

M(x)

M(x)+dM(x)

dx

T(x)+dT(x)

M

i

  M

k

Q

i

Q

k

T

i

T

k

Rys. 4.14. Działanie uogólnionych sił

Zapisując równania równowagi, dla elementu 

dx (tzn. w każdym punkcie  pręta) otrzymujemy:

∑

X

=0 

dN

 x

dx

 p

x

 x=0

∑

Z

=0 

dT

 x

dx

 p

z

 x=0

∑

M

=0 

dM

x

dx

−m x=0

 (4.22)

Moment od sił tnących pomijamy, gdyż ramię działania tych sił jest bliskie zeru.

4.1.5. Podsumowanie

Korzystając z zasady superpozycji dokonujemy sumowania powyższych rozwiązań:

∑

k

P

k





k



∑

j

R

j





j



∑∫

s

p

susds=

∑

{

∫

s

N

 xxdx

∫

s

T

 x xdx

∫

s

M

 x xdx

}

 (4.23)

gdzie:

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

13

∑

k

P

k





k

      

- całkowita praca sił czynnych (skupionych) na przemieszczeniach wirtualnych,

∑

j

R

j





j

      

- całkowita praca sił biernych (reakcji) na przemieszczeniach wirtualnych (osiadaniach),

∑∫

s

p

susds

- całkowita praca obciążeń ciągłych na przemieszczeniach wirtualnych.

Warto   zaznaczyć,   że   we   wzorze   tym   nadal   obowiązują   zależności   fizyczne   odpowiadające   stanowi
wirtualnemu:

x=

N x

EA

 x=

T x

GA

x=



M

x

EJ

Praca   sił   zewnętrznych   na   przemieszczeniach   wirtualnych   równa   się   pracy   sił   wewnętrznych   na
odkształceniach wirtualnych.

Twierdzenie:

Jeżeli   na   układ   działa   obciążenie  zewnętrzne  spełniające   warunki   równowagi,   to   obciążenie  zewnętrzne
wykonuje   na   przemieszczeniach   wirtualnych   pracę   równą   pracy   uogólnionych   sił   przekrojowych   na
wirtualnych odkształceniach (na wirtualnych przemieszczeniach wewnętrznych).

4.2. Wirtualny stan obciążeń (naprężeń)

Dotychczas   korzystaliśmy   z   twierdzenia,   że   siły   zewnętrzne   wykonywały   pracę   na   wirtualnych

przemieszczeniach równą pracy sił wewnętrznych na wewnętrznych przemieszczeniach wirtualnych. Poniższy
wywód jest identyczny jak w akapicie poprzednim, przy czym następuje zamiana wielkości. Przemieszczenia,
odkształcenia są rzeczywiste (symbolika bez nadkreśleń) natomiast obciążenia zewnętrzne i wewnętrzne są
wirtualne   (rys.   4.15).   Musimy  przy   tym  zaznaczyć,   że   wirtualne   obciążenie  spełnia   warunki   statycznej
dopuszczalności  (jest  możliwe),  niezależne  od  obciążeń  zewnętrznych,  czasu.   Jest   małe  w  odniesieniu  do
wymiarów układu.

       dx

dU

F

F+dF

p(x)

Rys. 4.15. Obciążenia i przemieszczenie elementu dx

Twierdzenie:

Jeżeli  na  układ działa zewnętrzne obciążenie  wirtualne, spełniające  warunki  równowagi,  to wykonuje ono

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

14

pracę  na   rzeczywistych  przemieszczeniach  (wywołanych  przez  rzeczywiste  obciążenia  zewnętrzne)  równą
pracy wirtualnych sił przekrojowych na rzeczywistych odkształceniach (na rzeczywistych przemieszczeniach
wewnętrznych).

L

w

=L

z

(4.24)

L

z

 - praca   sił   wirtualnych   pracujących   na   rzeczywistych   przemieszczeniach   (wytworzonych   przez

rzeczywiste przemieszczenia)

L

w

 - praca   wszystkich   wirtualnych   sił   wewnętrznych   pracujących   na   rzeczywistych   odkształceniach

(przemieszczeniach wewnętrznych)

Poniżej został stworzony rzeczywisty model układu (rys. 4.16), obciążony siłami 

p(x), pod wpływem których

doznaje przemieszczeń 

U(x).

p(x)

U(x)

Rys. 4.16. Model rzeczywisty

Kolejny rysunek (rys. 4.17) przedstawia ten sam układ ale obciążony siłami wirtualnymi 

Px

, pod wpływem

których doznaje przemieszczeń wirtualnych 

u x

.

U(x)

P

Rys. 4.17. Obciążenia wirtualne

Pracę sił wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach opisujemy wzorem:

∑

k

P

k



k



∑

j

R

j



j



∑∫

s

psusds=

∑

{

∫

s

N xxdx

∫

s

T x xdx

∫

s



M

 xxdx

}

 (4.25)

Po uwzględnieniu związków fizycznych na rzeczywiste odkształcenia:

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 1

4. RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

15

 x=

N

x

EA

=

N

P

EA

 x=

T

x

GA

=

T

P

GA

x=

M

x

EJ

=

M

P

EJ

Możemy ostatecznie zapisać wzór na pracę sił wirtualnych:

∑

k

P

k



k



∑

j

R

j



j



∑∫

s

psusds=

∑

{

∫

s

N x N

P

EA

dx



∫

s

T xT

P

GA

dx



∫

s



M

 x M

P

EJ

dx

}

 (4.26)

gdzie:

∑

k

P

k



k



∑

j

R

j



j

- całkowita   praca   wirtualnych   sił   zewnętrznych   (biernych  

R

j

  i   czynnych  

P

k

)   na

przemieszczeniach rzeczywistych (np. osiadanie podpór),

∑∫

s

psusds

- całkowita   praca   wirtualnych   sił   zewnętrznych   (czynnych)   na   rzeczywistych

przemieszczeniach,

∑

{

∫

s

N x N

P

EA

dx



∫

s

T xT

P

GA

dx



∫

s



M

x M

P

EJ

dx

}

- praca   wszystkich   wirtualnych   sił   wewnętrznych   na

rzeczywistych odkształceniach (przemieszczeniach wewnętrznych).

N

x

 - funkcja sił normalnych wywołana od obciążenia zewnętrznego (rzeczywistego),



N

x

 - funkcja sił normalnych wywołana od obciążenia wirtualnego,

T

 x

 - funkcja sił poprzecznych wywołana od obciążenia zewnętrznego (rzeczywistego),

T x

 - funkcja sił poprzecznych wywołana od obciążenia wirtualnego,

M

 x

- funkcja momentów wywołana od obciążenia zewnętrznego (rzeczywistego),



M

x

- funkcja momentów wywołana od obciążenia wirtualnego.

Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater