Widmo sygnału

Przypadek ciągły – z rozwinięcia w szereg Fouriera

X =

∫

− ∞

∞

x t e

−

j t

dt  gdzie  = 2 f  a w efekcie  X  f =

∫

−∞

∞

x t e

−

j 2  f t

dt

transformata odwrotna

x t =

1

2 

∫

−∞

∞

X  f  e

j 2  f t

df

Funkcje  e

−

j 2  f t

 są do siebie ortogonalne więc stanowią bazę przestrzeni !!!

Przypadek dyskretny – równanie DFT:

X k =

∑

n =0

N −1

x ne

−

j 2 k n / N

 gdzie 0≤k ≤ N −1 (dyskretne częstotliwości)

formuła wyznaczania częstotliwości dyskretnych:  f

k

=

k F

s

N

(dlaczego akurat takie? !!!)

tr. odwrotna: 

x  n=

1

N

∑

k=0

N−1

X  k  e

j 2 k n / N

 gdzie 

0≤n≤N −1

Jeżeli wynik DFT zapiszemy jako liczbę zespoloną

X k =A k  e

j k 

=

X

r



k  j X

i



k 

to:

–

moduł widma

∣

X k 

∣

=

Ak =





X

r

2



k  X

i

2



k 

–

faza widma

arg  X k =k =arctan



X

i



k 

X

r



k 



–

widmowa gęstość mocy

P  k =∣X k ∣

2

=

X  k  conj X k =[ X

r



k  j X

i



k ] [ X

r



k − j X

i



k ]= X

r

2



k  X

i

2



k 

Transformata DFT dla sygnałów 2D
Jeżeli mamy obraz np.

o  x , y 

x , y ∈ℤ

O k , l=

∑

x=0

N

x

−

1

e

−

j 2 k x / N

x



∑

y=0

N

y

−

1

o x , y  e

−

j 2l y/ N

y



=

∑

x=0

N

x

−

1

∑

y=0

N

y

−

1

o x , y e

−

j 2 l y / N

y

e

−

j 2 k x/ N

x

Własności

Symetria
Dla sygnałów rzeczywistych ciągłych !!! i dyskretnych zachodzi:

∣

X k ∣=∣X −k ∣  i  k =−−k 

lub inaczej  X k =conj  X −k  ,

X

r



k  j X

i



k = X

r

−

k − j X

i

−

k  (można pokazać 

przez wstawienie -k do równania DFT)

Liniowość
Zachodzi dla sygnałów ciągłych i dyskretnych:

dla  x  n=a y nb z n  mamy

X k =a Y  k b Z k 

Okresowość
Dla dyskretnych 

X k =X  m∗N k  , m∈ℤ (pokazać)

Przesunięcie w czasie

dla 

x  n= y nn

0



 mamy 

X k =

∑

k =0

N −1

y  ne

−

j

2 nn

0



N

k

=

e

−

j

2 n

0

N

k

Y k =e

j 

0

k

Y k 

(przesunięcie fazy widma o stały czynnik)

Przesunięcie w częstotliwości

dla  X k =Y  k k

0

=

1

N

∑

k=0

N −1

Y  k k

0



e

−

j

2kk

0



N

n

 mamy 

x  n=e

j

2 k

0

N

n

y  n=e

j 

0

n

y  n

(przemnożenie przez stałą częstotliwość)

Istnienie FT/DFT dla sygnałów okresowych i nieokresowych
DFT istnieje tylko dla sygnałów okresowych !!!
(proszę sobie przypomnieć przykład z aproksymacją linii prostej – Notatki4 BS)
Jeżeli sygnał transformowany nie jest okresowy to konsekwencją jest przeciek widma.

N=512; Fs=512; n=(0:N-1)/Fs; x=sin(2*pi*50*n); y=sin(2*pi*50.17*n);

plot(n,x,n,y);
X = fft(x); Y = fft(y); f = ((0:N-1)/N)*Fs;

plot(f,abs(X),'b*',f,abs(Y),'r*');

Najpowszechniejsze lekarstwo – okienkowanie sygnału

x

w



n=w n x n 

N=256; Fs=N; n=(0:N-1)./Fs;

x=sin(2*pi*20*n); y=sin(2*pi*20.17*n);
plot(n,x,';x(n);',n,y,';y(n);');

w = bartlett(N)';plot(n,w,n,y.*w); %% okienko trójkątne
w = hamming(N)';plot(n,w,n,y.*w);

w = hanning(N)';plot(n,w,n,y.*w);
w = gausswin(N,3)';plot(n,w,n,y.*w);

xw= x.*w; yw = y.*w; 
X=fft(x);XW=fft(xw);Y=fft(y);YW = fft(yw);f = ((0:N-1)/N)*Fs;

plot(f,abs(Y),'ro',f,abs(YW),'b*'); %% zmniejszony przeciek, ale nic za darmo
plot(f,abs(X),'ro',f,abs(XW),'b*');

Dlaczego tak się dzieje (rozmycie głównego prążka)?

x

w



n=w n x n  

X

w



k =X  k ∗W k 

wb = bartlett(N);

whm = hamming (N);
whn = hanning (N);

wg3 = gausswin (N,3); wg10 = gausswin(N,10);
plot(n,wb,n,whm,n,whn,n,wg3,n,wg10); 

Wb = fft(wb);
Whn = fft(whn);

Whm = fft(whm);
Wg3=fft(wg3); Wg10=fft(wg10);

f = (0:N-1)/N;
plot(f,log10(abs(Wb)),f,log10(abs(Whn)),f,log10(abs(Whm)));

plot(f,log10(abs(Wg3)),f,log10(abs(Wg10)));

Zwiększanie rozdzielczości częstotliwościowej
Zwiększenie N powoduje więcej prążków częstotliwości – skąd wziąć dodatkowe próbki ?

N=32;n=(0:N-1);Fs=1;x=sin(2*pi*.27*n);plot(n,x); 

X=fft(x);f=(-N/2:N/2-1)/N;plot(f,fftshift(abs(X)));

N=32;n=(0:N-1);Fs=1;x=sin(2*pi*.27*n);

y=[x,zeros(1,N)];M=size(y,2);m=(0:M-1);plot(m,y);
X=fft(x);fx=(-N/2:N/2-1)/N; Y=fft(y);fy=(-M/2:M/2-1)/M;

plot(fx,fftshift(abs(X)),fy,fftshift(abs(Y)));

FFT

Koszt obliczeniowy

DFT =  N

2

FFT = 

N /2 log

2



N 

FFT o podstawie 2

X k =

∑

n=1

N

x  ne

−

j 2 k n/ N

podstawmy 

W

N

=

e

−

j2/ N

X k =

∑

n=1

N

x  nW

N

k n

i podzielmy próbki na parzyste i nieparzyste:

X k =

∑

n=1

N / 2

x  2nW

N

2nk



∑

n=1

N / 2

x 2n1W

N



2n 1 k

=

∑

n=1

N /2

x 2n W

N

2nk



W

N

k

∑

n=1

N / 2

x  2n1W

N

2nk

ponieważ 

W

N

2

=

e

−

j 2 2 / N

=

e

−

j 2  /N /2 

=

W

N / 2

to

X k =

∑

n=1

N / 2

x  2nW

N /2

nk



W

N

k

∑

n=1

N / 2

x 2n 1 W

N / 2

nk

Podzielmy teraz częstotliwości na dwie połowy  l dla 1≤k ≤ N /2  i 

lN /2 dla N /21≤k ≤N

X lN /2=

∑

n=1

N /2

x 2n W

N / 2

n l N / 2



W

N



l N / 2

∑

n=1

N / 2

x  2n1W

N / 2

n l N / 2

zobaczmy, że 

W

N / 2

n l N / 2

=

W

N / 2

nl

W

N / 2

nN /2

=

W

N /2

nl

e

−

j 2 n N /2 / N / 2

=

W

N / 2

nl

e

−

j 2 n

=

W

N / 2

nl

oraz 

W

N



l N /2 

=

W

N

l

W

N

N / 2

=

W

N

l

e

−

j 2 n N / 2/ N

=

W

N

l

e

−

j n

=

W

N

l

−

1=−W

N

l

tak więc:

X lN /2=

∑

n=1

N /2

x 2n W

N / 2

nl

−

W

N

l

∑

n=1

N /2

x 2n1W

N /2

nl

i dla dolnych częstotliwości (poniżej N/2)

X l=

∑

n =1

N /2

x 2n W

N / 2

nl



W

N

l

∑

n =1

N / 2

x 2n1W

N / 2

nl

czyli:

X l = AlW

N

l

B l

X lN /2 = Al−W

N

l

B l