GEOMETRIA ANALITYCZNA
ZAD. 1. Obliczyć długość podanych wektorów
a) −
→
a = [3, −4, 12],
b)
−→
P Q, gdzie P (1, 2, 3),
Q(4, 6, 15),
c) −
→
x = 2−
→
a −
−
→
b + 3−
→
c , gdzie −
→
a = [1, 0, 2],
−
→
b = [0, 2, −3]
−
→
c = [1, −1, 2],
d) −
→
a = 6−
→
p − 8−
→
q , gdzie p ⊥ q i |−
→
p | = |−
→
q | = 1.
ZAD. 2. Obliczyć iloczyn skalarny podanych par wektorów
a) −
→
a = [1, −2, 5],
−
→
b = [3, −1, 0],
b) −
→
u = 3
−
→
i − 2
−
→
k , −
→
v = −
−
→
i + 3
−
→
j + 7
−
→
k .
ZAD. 3. Obliczyć iloczyn wektorowy podanych par wektorów
a) −
→
a = [−3, 2, 0],
−
→
b = [1, 5, −2],
b) −
→
u = 2
−
→
j − 3
−
→
k , −
→
v = −
−
→
i + 3
−
→
j − 4
−
→
k .
ZAD. 4. Wyznaczyć tg α wiedząc, że α jest kątem zawartym pomiędzy wektorami −
→
a = [0, 1, 2],
−
→
b = [2, −1, 0],
ZAD. 5. Obliczyć pola podanych powierzchni:
a) równoległoboku rozpiętego na wektorach −
→
a = [1, 2, 3],
−
→
b = [0, −2, 5],
b) trójkąta o wierzchołkach A(1, −1, 3),
B(0, 2, −3),
C(2, 2, 1).
ZAD. 6. Dany jest trójkąt ABC o wierzchołkach A(−3, 1, −1),
B(6, −2, −5),
C(1, −2, −1). Obliczyć dłu-
gość wysokości opuczczonej z wierzchołka B na bok AC.
ZAD. 7. Obliczyć iloczyn mieszany podanych trójek wektorów
a) −
→
a = [−3, 2, 1],
−
→
b = [0, 1, −5], −
→
c = [2, 3, −4],
b) −
→
p + −
→
q , 2−
→
p − −
→
q , −
→
r , jeśli iloczyn mieszany (−
→
p , −
→
q , −
→
r ) = 3.
ZAD. 8. Obliczyć objętość podanych wielościanów:
a) równoległościanu rozpiętego na wektorach −
→
a = [0, 0, 1],
−
→
b = [−1, 2, 3], −
→
c = [2, 5, −1],
b) czworościanu o wierzchołkach A(1, 1, 1),
B(1, 2, 3),
C(2, 3, −1),
D(−1, 3, 5).
ZAD. 9. Dany jest czworościan o wierzchołkach A(3, 1, 1),
B(1, 4, 1),
C(1, 1, 7),
D(3, 4, 9). Obliczyć jego
objętość oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka D.
ZAD. 10. Napisać równanie płaszczyzny, która przechodzi przez
a) punkt A(3, −1, 2) i jest prostopadła do wektora −
→
v = [3, −1, 2],
b) punkt B(1, 5, 1) i jest równoległa do wektorów −
→
u = [2, 1, 6] i −
→
v = [−3, 5, 6],
