Równania ró˙zniczkowe fizyki matematycznej

Jan Derezi´nski

Katedra Metod Matematycznych Fizyki

Wydział Fizyki, Uniwersytet Warszawski

e-mail derezins@fuw.edu.pl

Metody Matematyczne Fizyki B, skrypt II

rok 1999

Spis rzeczy

1

Równania ró˙zniczkowe w dziedzinie zespolonej

2

1.1

Punkty regularne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Punkt regularny w niesko ´nczono´sci

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Regularne punkty osobliwe.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Regularny punkt osobliwy w niesko ´nczono´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5

Wro ´nskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2

Równania typu hipergeometrycznego

12

2.1

Klasyfikacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Rozwi ˛

azania równania typu

0

F

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3

Rozwi ˛

azania równania konfluentnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.4

Rozwi ˛

azania równania hipergeometrycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3

Równanie Bessela

14

3.1

Równanie Bessela i pokrewne równania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.2

Reprezentacje całkowe rozwi ˛

aza ´n równania Bessela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.3

Funkcja Bessela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.4

Funkcje Bessela dla całkowitych parametrów

m

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.5

Funkcje Hankela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.6

Dodatkowe reprezentacje całkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.7

Funkcja Neumanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.8

Zmodyfikowane równanie Bessela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.9

Relacje rekurencyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.10 Funkcje Bessela połówkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.11 Wro ´nskiany rozwi ˛

aza ´n równania Bessela

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.12 Równanie Helmholtza w 2 wymiarach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.13 Wzór składania Grafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.14 Równanie Airy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1

1

Równania ró˙zniczkowe w dziedzinie zespolonej

1.1

Punkty regularne

W tym rozdziale rozwa˙zamy równania ró˙zniczkowe pierwszego rz˛edu w

C

n

i drugiego rz˛edu w

C

. W

C

n

b˛e-

dziemy posługiwa´c si˛e norm ˛

a wektorów

k

v

k

=

0

@

n

X

j

=0

j

v

j

j

2

1

A

1

2

 v

2

C

n

:

Je´sli

A

jest odwzorowaniem liniowym na

C

n

, to norma

A

jest zdefiniowana jako

k

A

k

:= sup

k

x

k=1

k

Ax

k

:

B˛edziemy rozwa˙za´c równanie ró˙zniczkowe

@

z

v(z) = A(z)v(z):

(1.1)

gdzie

v(z)

2

C

n

.

Definicja 1.1 Je´sli w (1.1) funkcja

A(z)

jest analityczna w

z

0

, to mówimy, ˙ze

z

0

jest regularnym punktem osobli-

wym tego równania.

Twierdzenie 1.2 Niech



b˛edzie spójnym jednospójnym zbiorem otwartym w

C

. Niech



3

z

7!

A(z) =

2

4

a

11

(

z) ::: a

1

n

(

z)

:::

a

n

1

(

z) ::: a

nn

(

z)

3

5

b˛edzie funkcj ˛

a holomorficzn ˛

a o warto´sciach w macierzach

n



n

i

w =

2

4

w

1

:::

w

n

3

5

2

C

n

. Wtedy istnieje jedna i

tylko jedna funkcja holomorficzna



3

z

7!

v(z) =

2

4

v

1

(

z)

:::

v

n

(

z)

3

5

2

C

n

b˛ed ˛

aca rozwi ˛

azaniem zagadnienia

(

d

v

(

z

)

d

z

=

A(z)v(z)

v(z

0

) =

w:

(1.2)

Dowód. Ograniczmy si˛e najpierw do koła

K(z

0

r)

takiego, ˙ze

K(z

0

r)





. Mo˙zna równie˙z zało˙zy ´c, ˙ze

z

0

= 0

.

Niech

A(z) =

1

X

k

=0

A

k

z

k

Wtedy szereg

v(z) :=

1

X

k

=0

v

k

z

k



2

gdzie

(

v

0

=

w

v

m

+1

:=

1

m

+1

P

m

k

=0

A

m

;

k

v

k

:

jest jedynym szeregiem formalnie spełniaj ˛

acym równanie (1.2).

Poka˙zmy, ˙ze szereg ten jest zbie˙zny w kole

K(0r)

. Wiemy z nierówno´sci Cauchy’ego, ˙ze

k

A

k

k



Cr

;

k

:

Je´sli poło˙zymy

(

p

0

=

k

w

k

p

m

+1

:=

1

m

+1

P

m

k

=0

Cr

;

m

+

k

p

k



to mo˙zemy dowie´s´c indukcyjnie, ˙ze

k

v

m

k



p

m

:

(1.3)

W rzeczy samej, mamy

k

v

0

k

=

p

0

:

Załó˙zmy, ˙ze

k

v

k

k



p

k

 k = 0:::m:

Wtedy

k

v

m

+1

k



1

m

+1

P

m

k

=0

k

A

m

;

k

v

k

k



1

m

+1

P

m

k

=0

k

A

m

;

k

kk

v

k

k



1

m

+1

P

m

k

=0

Cr

k

;

m

p

k

=

p

m

+1

:

To ko ´nczy dowód (1.3).

Je´sli odejmiemy wzory

r(m + 1)p

m

+1

=

P

m

k

=0

Cr

;

m

+

k

+1

p

k



mp

m

=

P

m

;1

k

=0

Cr

;

m

+

k

+1

p

k



to dostaniemy

r(m + 1)p

m

+1

= (

Cr + m)p

m

:

Wynika st ˛

ad natychmiast ˙ze

lim

m

!1

p

m

+1

p

m

=

r

;1

:

Czyli na mocy kryterium d’Alemberta, szereg

1

X

k

=0

p

k

z

k

jest zbie˙zny w kole

K(0r)

. Zatem równie˙z szereg

1

X

k

=0

v

k

z

k

jest zbie˙zny w kole

K(0r)

.

Powy˙zsze rozumowanie mo˙zemy przeprowadzi ´c dla dowolnego koła zawartego w



. W ten sposób, ponie-

wa˙z



jest spójny, mo˙zemy przedłu˙zy ´c funkcj˛e

v(z)

na cały obszar



. Jego jednospójno´s´c gwarantuje, ˙ze nie

dostaniemy funkcji wieloznacznej.

2

3

Przykład 1.3

(

@

z

;

1)

v(z) = 0 v(0) = 1:

Podstawiamy

v(z) =

1

X

n

=0

v

n

z

n

:

Dostajemy wzór rekurencyjny;

nv

n

=

v

n

;1

:

Czyli

v(z) =

1

X

n

=0

z

n

n!  z

2

C

:

Oczywi´scie,

v(z) = e

z

.

Przykład 1.4 Niech



2

C

,

z

6

=

;

1

;

@

z

;

(z + 1)

;1

v(z) v(0) = 1:

Podstawiamy

v(z) =

1

X

n

=0

v

n

z

n

:

Dostajemy wzór rekurencyjny;

nv

n

= (



;

n + 1)v

n

;1

:

Czyli

v(z) =

1

X

n

=0

:::(

;

n + 1)z

n

n!



j

z

j

< 1:

Oczywi´scie,

v(z) = (1 + z)



.

Rozwa˙zmy teraz równanie skalarne drugiego rz˛edu

;

@

2

z

+

c(z)@

z

+

d(z)

u(z) = 0:

(1.4)

Definicja 1.5 Mówimy, ˙ze punkt

z

0

jest regularnym punktem równania (1.4), je´sli

c(z)

i

d(z)

s ˛

a analityczne w

z

0

.

Stwierdzenie 1.6 Niech

c(z) d(z)

b˛ed ˛

a holomorficzne w spójnym jednospójnym zbiorze otwartym



. Wtedy

zagadnienie

(

;

@

2

z

+

c(z)@

z

+

d(z)

u(z) = 0

u(z

0

) =

w

0

 @

z

u(z

0

) =

w

1



(1.5)

ma jedno i tylko jedno rozwi ˛

azanie w



.

Dowód. Zdefiniujmy

v(z) :=



u(z)

u

0

(

z)



 w :=



w

0

w

1



oraz

A(z) :=



0

1

;

d(z)

;

c(z)



4

Wtedy (1.5) mo˙zemy przepisa ´c w postaci

(

d

v

(

z

)

d

z

=

A(z)v(z)

v(z

0

) =

w:

i zastosowa´c twierdzenie 1.2.

2

Podajmy jeszcze wzór rekurencyjny na współczynniki rozwini˛ecia

u(z) :=

1

X

k

=0

u

k

z

k

:

dla rozwi ˛

azania równania

;

b(z)@

2

z

+

c(z)@

z

+

d(z)

u(z) = 0

gdzie

b(0)

6

= 0

. Mamy:

(

u

0

=

w

0

 u

1

=

w

1



P

m

k

=0

k(k

;

1)

u

k

b

m

;

k

+

P

m

;1

k

=0

kc

m

;

k

;1

u

k

+

P

m

;2

k

=0

d

m

;

k

;2

u

k

= 0

:

Przykład 1.7 Załó˙zmy, ˙ze

A(z)

jest macierz ˛

a

2



2

. Wtedy je´sli

v(z)

spełnia (1.1), to współrz˛edne

v

1

v

2

spełniaj ˛

a

równanie drugiego stopnia

(

@

2

z

;

Tr

A(z)@

z

+ det

A(z))u(z) = 0:

(1.6)

Załó˙zmy na przykład, ˙ze

A(z) = B + Cz

. Wtedy (1.6) przybiera posta´c

(

@

2

z

+ (

b

0

+

b

1

z)@

z

+

c

0

+

c

1

z + c

2

z

2

)

u(z) = 0

gdzie

b

0

=

;

Tr

B b

1

=

;

Tr

C

c

0

= det

B c

1

= det(

B + C)

;

det

B

;

det

C c

2

= det

C:

1.2

Punkt regularny w niesko´nczono´sci

Definicja 1.8 Załó˙zmy, ˙ze

A(z)

jest zdefiniowane dla

j

z

j

> R

. Mówimy, ˙ze

1

jest punktem regularnym równania

(1.1), gdy po zamianie zmiennych

w = z

;1

dostajemy punkt regularny w

0

.

Oczywi´scie,

@

z

=

;

w

2

@

w

. Dlatego po zamianie zmiennych (1.1) zmienia si˛e w równanie

@

w

v(w

;1

) =

;

w

;2

A(w

;1

)

v(w

;1

)

:

Dlatego

1

jest punktem regularnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica

lim

z

!1

z

2

A(z):

Twierdzenie 1.9 Niech

1

b˛edzie regularnym punktem osobliwym. Wtedy dla zadanego

w

2

C

n

, istnieje dokład-

nie jedno analityczne w niesko´nczono´sci rozwi ˛

azanie zagadnienia

(

d

v

(

z

)

d

z

=

A(z)v(z)

lim

z

!1

v(z) = w:

(1.7)

Rozwa˙zmy teraz równania drugiego rz˛edu postaci (1.4).

5

Definicja 1.10 Załó˙zmy, ˙ze

c(z)

,

d(z)

s ˛

a zdefiniowane dla

j

z

j

> R

. Mówimy, ˙ze

1

jest punktem regularnym

równania (1.4), gdy po zamianie zmiennych

w = z

;1

dostajemy punkt regularny w

0

.

Zamiana zmiennych prowadzi do równania

@

2

w

+ (2

w

;1

;

w

;2

c(w

;1

))

@

w

+

w

;4

d(w

;1

)



u(w

;1

) = 0

:

Zatem

1

jest punktem regularnym, gdy istniej ˛

a granice

lim

z

!1

(2

z

;

z

2

c(z)) lim

z

!1

z

4

d(z):

Twierdzenie 1.11 Niech

1

b˛edzie regularnym punktem równania. Wtedy dla zadanych

w

0

,

w

1

istnieje dokładnie

jedno analityczne w niesko´nczono´sci rozwi ˛

azanie zagadnienia

(

;

@

2

z

+

c(z)@

z

+

d(z)

u(z) = 0

lim

z

!1

u(z) = w

0

 lim

z

!1

(

u(z)

;

w

0

)

z = w

1

:

(1.8)

1.3

Regularne punkty osobliwe.

Rozwa˙zmy teraz równanie ró˙zniczkowe (1.2) dla którego prawa strona ma osobliwo ´sci.

Definicja 1.12 Mówimy, ˙ze równanie

d

v(z)

d

z =

~A(z)v(z)

(1.9)

ma w

z

0

regularny punkt osobliwy, gdy

A(z)

ma w

z

0

biegun co najwy˙zej pierwszego rz˛edu.

Mo˙zna wtedy zapisa´c (1.2) w postaci

(

z

;

z

0

)

@

z

v(z) = A(z)v(z)

gdzie

A(z)

jest holomorficzne w otoczeniu

z

0

. Warto´sci własne macierzy

A(z

0

)

nazywamy indeksami punktu

osobliwego

z

0

. Opiszmy teraz metod˛e znajdowania rozwi ˛

aza ´n wokół regularnego punktu osobliwego. Dla uprosz-

czenia przyjmiemy, ˙ze tym punktem jest

0

.

Twierdzenie 1.13 Niech



b˛edzie spójnym jednospójnym zbiorem otwartymn w

C

zawieraj ˛

acym

0

. Niech



3

z

7!

A(z) =

2

4

a

11

(

z) ::: a

1

n

(

z)

:::

a

n

1

(

z) ::: a

nn

(

z)

3

5

b˛edzie funkcj ˛

a holomorficzn ˛

a o warto´sciach w macierzach

n



n

. Niech

w

2

C

n

i



2

C

spełniaj ˛

a

(

A(0)

;

)w = 0

 + m

nie jest warto´sci ˛

a własn ˛

a

A(0)

dla

m = 12::::

(1.10)

Wtedy istnieje jedna i tylko jedna funkcja

~

v(z)

holomorficzna na



taka, ˙ze

v(z) := z



~

v(z)

jest rozwi ˛

azaniem

równania

8

<

:

z

d

v

(

z

)

d

z

=

A(z)v(z)

lim

z

!0

z

;



v(z) = w:

(1.11)

6

Dowód. Ograniczmy si˛e najpierw do koła

K(0r)

takiej, ˙ze

K(0r)





.

Niech

A(z) =

1

X

k

=0

A

k

z

k

Wtedy szereg

v(z) := z



1

X

k

=0

v

k

z

k



gdzie

(

v

0

=

w

v

m

:= (

 + m

;

A

0

)

;1

P

m

;1

k

=0

A

m

;

k

v

k

:

jest jedynym szeregiem formalnie spełniaj ˛

acym równanie (1.11).

Poka˙zemy, ˙ze szereg ten jest zbie˙zny w kole

K(0r)

. Wiemy z nierówno´sci Cauchy’ego, ˙ze

k

A

k

k



Cr

;

k

:

Je´sli poło˙zymy

(

p

0

=

k

w

k

p

m

:=





(

 + m

;

A

0

)

;1





P

m

;1

k

=0

Cr

;

m

+

k

p

k



to mo˙zemy dowie´s´c indukcyjnie, ˙ze

k

v

m

k



p

m

:

Je´sli odejmiemy wzory

r





(

 + m + 1

;

A

0

)

;1





;1

p

m

+1

=

P

m

k

=0

Cr

;

m

+

k

p

k







(

 + m

;

A

0

)

;1





;1

p

m

=

P

m

;1

k

=0

Cr

;

m

+

k

p

k



to dostaniemy

r





(

 + m + 1

;

A

0

)

;1





;1

p

m

+1

=

C +





(

 + m

;

A

0

)

;1





;1

)



p

m

:

Łatwo si˛e przekona´c, ˙ze

lim

m

!1

m





(

 + m

;

A

0

)

;1





= 1

:

Wynika st ˛

ad natychmiast ˙ze

lim

m

!1

p

m

+1

p

m

=

r

;1

:

Czyli na mocy kryterium d’Alemberta, szereg definiuj ˛

acy

v(z)

jest zbie˙zny w kole

K(0r)

.

Stosuj ˛

ac Twierdzenie 1.2 mo˙zemy przedłu˙zy ´c

~

v(z)

na cały obszar



.

2

Rozwa˙zymy teraz równania drugiego rz˛edu.

Definicja 1.14 Mówimy, ˙ze równanie

@

2

z

+~

b(z)@

z

+ ~

c(z)



u(z) = 0

ma w

z

0

regularny punkt osobliwy, gdy

~b(z)

ma w

z

0

biegun co najwy˙zej pierwszego rz˛edu a

~

c(z)

ma w

z

0

biegun

co najwy˙zej drugiego rz˛edu

7

Dla uproszczenia załó˙zmy, ˙ze

z

0

= 0

. Mo˙zemy wtedy zapisa´c powy˙zsze równanie w formie:

;

z

2

@

2

z

+

b(z)z@

z

+

c(z)

u(z) = 0:

Stwierdzenie 1.15 Niech

b(z) c(z)

b˛ed ˛

a holomorficzne w jednospójnym obszarze



zawieraj ˛

acym

0

. Niech



2

C

spełnia

(

;

1) +

b(0) + c(0) = 0

(

 + m)( + m

;

1) + (

 + m)b(0) + c(0)

6

= 0

 m = 12::::

Wtedy istnieje jedna i tylko jedna funkcja

~

u(z)

holomorficzna w



, taka, ˙ze

u(z) := z



~

u(z)

jest rozwi ˛

azaniem

zagadnienia

8

<

:

;

z

2

@

2

z

+

b(z)z@

z

+

c(z)

u(z) = 0

lim

z

!0

z

;



u(z) = 1

(1.12)

Dowód. Zdefiniujmy

v(z) :=



u(z)

zu

0

(

z)



 w :=



1





oraz

A(z) :=



0

1

;

c(z) 1

;

b(z)



:

Mamy wtedy

A(z)v(z) =



zu

0

(

z)

;

c(z)u(z)

;

b(z)zu

0

(

z) + zu

0

(

z)





z@

z



u(z)

zu

0

(

z)



=



zu

0

(

z)

z

2

u

00

(

z) + zu

0

(

z)





z

;



v(z) =



~

u(z)

z~u

0

(

z) + ~u(z)



:

Zatem (1.12) mo˙zemy przepisa ´c w postaci

8

<

:

z

d

v

(

z

)

d

z

=

A(z)v(z)

lim

z

!0

z

;



v(z) = w:

i zastosowa´c twierdzenie 1.13.

2

Podajmy jeszcze wzór rekurencyjny na współczynniki rozwini˛ecia

u(z) :=

1

X

k

=0

u

k

z



+

k

dla równania

;

a(z)z

2

@

2

z

+

b(z)z@

z

+

c(z)

u(z) = 0

gdzie

a(0)

6

= 0

. Mamy:

8

>

>

>

<

>

>

>

:

u

0

= 1



u

m

=

;

((

 + m)( + m

;

1)

a

0

+ (

 + m)b

0

+

c

0

)

;1



P

m

;1

k

=0

;

(

 + k)( + k

;

1)

a

m

;

k

+ (

 + k)b

m

;

k

+

c

m

;

k

u

k

:

8

Czyli, je´sli szukamy rozwi ˛

aza ´n równania postaci

;

a(z)z

2

@

2

z

+

b(z)z@

z

+

c(z)

u(z) = 0

gdzie

a(0)

6

= 0

, to najpierw powinni´smy znale˙z´c pierwiastki



1



2

tak zwanego równania wska´znikowego:

(

;

1)

a(0) + b(0) + c(0) = 0:

Je´sli



1

;



2

62

Z

, to mo˙zemy znale˙z´c dwa liniowo niezale˙zne rozwi ˛

azania zachowuj ˛

ace si˛e w zerze jak

z



1

i

z



1

.

Je´sli



1

;



2

2

Z

, to w ogólno´sci mo˙zemy wy˙zej opisan ˛

a metod ˛

a znale˙z ´c tylko rozwi ˛

azanie o zachowaniu

z



1

,

gdzie



1

;



2



0

.

Przykład 1.16 Niech

G

,

H

b˛ed ˛

a macierzami

n



n

. Wtedy nast˛epuj ˛

ace równanie ma regularny punkt osbliwy w

0

:

@

z

v(z) = (Gz

;1

+

H)v(z):

Je´sli

n = 2

, to równanie na współrz˛edne

v

1

 v

2

ma posta´c:

(

z

2

@

2

z

+ (

b

1

z + b

2

z

2

)

@

z

+

c

0

+

c

1

z + c

2

z

2

)

u(z) = 0

gdzie

b

1

=

;

Tr

G b

2

=

;

Tr

H

c

0

= det

G c

1

= det(

G + H)

;

det

G

;

det

H c

2

= det

H:

1.4

Regularny punkt osobliwy w niesko´nczono´sci

Definicja 1.17 Załó˙zmy, ˙ze

~A(z)

jest zdefiniowane dla

j

z

j

> R

. Mówimy, ˙ze

1

jest regularnym punktem osobli-

wym równania (1.9), gdy po zamianie zmiennych

w = z

;1

dostajemy regularny punkt osobliwy w

0

.

?latwo zauwa˙zy´c, ˙ze równanie (1.9) ma regularny punkt osobliwy w

1

, gdy istnieje granica

lim

z

!1

z ~A(z):

Wtedy mo˙zemy przepisa´c równanie (1.9) w postaci

z@

z

v(z) = A(z)v(z)

gdzie

A(z)

jest analityczne w

1

. Warto´sci własne

;

A(

1

)

nazywamy indeksami punktu

1

.

Twierdzenie 1.18 Niech



b˛edzie spójnym jednospójnym zbiorem otwartym w

C

zawieraj ˛

acym

1

. Niech



3

z

7!

A(z) =

2

4

a

11

(

z) ::: a

1

n

(

z)

:::

a

n

1

(

z) ::: a

nn

(

z)

3

5

b˛edzie funkcj ˛

a holomorficzn ˛

a o warto´sciach w macierzach

n



n

. Niech

w

2

C

n

i



2

C

spełniaj ˛

a

(

A(

1

) +

)w = 0

 + m

nie jest warto´sci ˛

a własn ˛

a

A(

1

)

dla

m = 12::::

(1.13)

Wtedy istnieje jedna i tylko jedna funkcja

~

v(z)

holomorficzna na



taka, ˙ze

v(z) := z

;



~

v(z)

jest rozwi ˛

azaniem

równania

8

<

:

z

d

v

(

z

)

d

z

=

A(z)v(z)

lim

z

!1

z



v(z) = w:

(1.14)

9

Przykład 1.19 Ka˙zde równanie pierwszego rz˛edu, które w

C

ma wył ˛

acznie punkty regularne prócz regularnych

punktów osobliwych w

z

1

,

z

2

i

1

jest postaci

@

z

v(z) =

A

1

(

z

;

z

1

)

;1

+

A

2

(

z

;

z

2

)

;1



v(z)

(1.15)

Je´sli

n = 1

,

A

1

=

a

1

,

A

2

=

a

2

, to ma ono indeksy

z

1

:

a

1



z

2

:

a

2



1

:

;

a

1

;

a

2



i rozwi ˛

azanie

(

z

;

z

1

)

a

1

(

z

;

z

2

)

a

2

.

Je´sli

n = 2

, to współrz˛edne spełniaj ˛

a równanie

@

2

z

+

g

1

(

z

;

z

1

)

;1

+

g

2

(

z

;

z

2

)

;1



@

z

+

h

1

(

z

;

z

1

)

;2

+

h

2

(

z

;

z

2

)

;2

+

h(z

;

z

1

)

;1

(

z

;

z

2

)

;1



u(z) = 0:

gdzie

g

1

=

;

Tr

A

1

 g

2

=

;

Tr

A

2

h

1

= det

A

1

 h = det(A

1

+

A

2

)

;

det

A

1

;

det

A

2

 h

2

= det

A

2

:

(Patrz (1.22)).

Stwierdzenie 1.20 Niech

b(z) c(z)

b˛ed ˛

a holomorficzne w jednospójnym spójnym zbiorze otwartym





C

za-

wieraj ˛

acym

1

. Niech



2

C

spełnia

( + 1)

;

b(

1

) +

c(

1

) = 0



(

 + m)( + m + 1)

;

(

 + m)b(

1

) +

c(

1

)

6

= 0

 m = 12::::

Wtedy istnieje jedna i tylko jedna funkcja

~

u(z)

holomorficzna w



, taka, ˙ze

u(z) := z

;



~

u(z)

jest rozwi ˛

azaniem

równania

(

;

z

2

@

2

z

+

b(z)z@

z

+

c(z)

u(z) = 0

lim

z

!1

z



u(z) = 1

(1.16)

Przykład 1.21 Ka˙zde równanie drugiego rz˛edu, które w

C

ma wył ˛

acznie punkty regularne prócz regularnych

punktów osobliwych w

0

i

1

jest postaci

(

z

2

@

2

z

+

bz@

c

+

c)u(z) = 0:

(1.17)

Bywa ono nazywane równaniem jednorodnym Eulera. Jego równania wska´znikowe maj ˛

a posta´c

0 :

(

;

1) +

b + c = 0

1

:

( + 1)

;

b + c = 0:

Je´sli

 ~

s ˛

a indeksami równania w

0

, to

;



;

~

s ˛

a indeksami w

1

. Rozwi ˛

azania s ˛

a równe

z



,

z

~



je´sli

6

= ~

i

z



,

z



log

z

gdy

 = ~

. Mo˙zna równanie (1.17) zapisa´c w postaci

(

z

2

@

z

+ (1

;

;

~

)z@

z

+

~ )u(z) = 0:

10

Przykład 1.22 Ka˙zde równanie drugiego rz˛edu, które w

C

ma wył ˛

acznie punkty regularne prócz regularnych

punktów osobliwych w

z

1

i

z

2

jest postaci

@

2

z

+

g

1

(

z

;

z

1

)

;1

+

g

2

(

z

;

z

2

)

;1



@

z

+

h(z

;

z

1

)

;2

(

z

;

z

2

)

;2



u(z) = 0

(1.18)

gdzie

g

1

+

g

2

= 2

. Mamy równania wska´znikowe

z

1

:

(

;

1) +

g

1

 + h(z

1

;

z

2

)

;2

= 0



z

2

:

(

;

1) +

g

2

 + h(z

1

;

z

2

)

;2

= 0

:

Je´sli

 ~

s ˛

a indeksami w

z

1

, to

;



;

~

s ˛

a indeksami w

z

2

. Rozwi ˛

azania maj ˛

a posta´c

(

z

;

z

1

)



(

z

;

z

2

)

;



,

(

z

;

z

1

)

~



(

z

;

z

2

)

;

~



, je´sli

6

= ~

i

(

z

;

z

1

)



(

z

;

z

2

)

;



,

(

z

;

z

1

)



(

z

;

z

2

)

;



log(

z

;

z

1

)(

z

;

z

2

)

;1

, je´sli

 = ~

.

Rownanie (1.18) mo˙zna przepisa´c w postaci

@

2

z

+

(1

;

;

~

)(z

;

z

1

)

;1

+ (1 +

 + ~ )(z

;

z

2

)

;1



@

z

+

~ (z

1

;

z

2

)

2

(

z

;

z

1

)

;2

(

z

;

z

2

)

;2



u(z) = 0:

Przykład 1.23 Ka˙zde równanie drugiego rz˛edu, które w

C

ma wył ˛

acznie punkty regularne prócz regularnych

punktów osobliwych w

z

1

,

z

2

i

1

jest postaci

@

2

z

+

g

1

(

z

;

z

1

)

;1

+

g

2

(

z

;

z

2

)

;1



@

z

+

h

1

(

z

;

z

1

)

;2

+

h

2

(

z

;

z

2

)

;2

+

h(z

;

z

1

)

;1

(

z

;

z

2

)

;1



u(z) = 0:

(1.19)

Jest to szczególna posta´c równania Riemanna (albo równania Riemanna-Papperitza) Mamy równania wska´z-
nikowe

z

1

:

(

;

1) +

g

1

 + h

1

= 0



z

2

:

(

;

1) +

g

2

 + h

2

= 0



1

:

( + 1)

;

(

g

1

+

g

2

)

 + h

1

+

h

2

+

h = 0:

Je´sli

1

,

~

1

s ˛

a indeksami w

z

1

,

2

,

~

2

s ˛

a indeksami w

z

2

i

3

,

~

3

s ˛

a indeksami w

1

, to

1

+ ~

1

+

2

+ ~

2

+

3

+ ~

3

= 1

:

(1.20)

Równanie (1.19) mo˙zna zapisa´c w postaci

@

2

z

+

(1

;

1

;

~

1

)(

z

;

z

1

)

;1

+ (1

;

2

;

~

2

)(

z

;

z

2

)

;1



@

z

+

1

~

1

(

z

1

;

z

2

)(

z

;

z

1

)

;2

(

z

;

z

2

)

;1

+

2

~

2

(

z

2

;

z

1

)(

z

;

z

2

)

;2

(

z

;

z

1

)

;1

+

3

~

3

(

z

;

z

1

)

;1

(

z

;

z

2

)

;1



u(z) = 0:

(1.21)

Oznaczmy operator ró˙zniczkowy wyst˛epuj ˛

acy w (1.21) przez

P

2

4

z

1

 z

2



1

1

 

2

 

3

~

1

 ~

2

 ~

3

3

5

:

11

Wtedy przez podstawienie

u(z

1

(1

;

t) + z

2

t) = t



1

(1

;

t)



2

równanie (1.21) przechodzi w

P

2

4

0



1



1

0



0



3

;

1

;

2

~

1

;

1

 ~

2

;

2

 ~

3

;

rho

1

;

2

3

5

w(t) = 0:

(1.22)

Równanie (1.22) mo˙zna parametryzowa´c trzema dowolnymi liczbami

abc

:

P

2

4

0



1



1

0



0



a

1

;

c c

;

a

;

b b

3

5

w(t) = 0:

(1.23)

Je´sli pomno˙zymy (1.23) prez

t(1

;

t)

, to dostajemy równanie hipergeometryczne (Patrz podrozdział (2.4)).

1.5

Wro ´nskian

Niech

u

1

(

z)

,

u

2

(

z)

b˛edzie par ˛

a rozwi ˛

aza ´n równania

;

@

2

z

+

b(z)@

z

+

c(z)

u(z) = 0:

Wro´nskian tej pary jest zdefiniowany jako

W(u

1

u

2

)(

z) = W(z) := u

1

(

z)u

0

2

(

z)

;

u

0

1

(

z)u

2

(

z):

Spełnia on równanie

;

@

z

+

b(z)

W(z) = 0:

Je´sli

~

u

1

(

z) = a

11

u

1

(

z) + a

12

u

2

(

z)

~

u

2

(

z) = a

21

u

1

(

z) + a

22

u

2

(

z)

jest drug ˛

a par ˛

a rozwi ˛

aza ´n, to mamy

W(~u

1

 ~u

2

) = (

a

11

a

22

;

a

12

a

21

)

W(u

1

u

2

)

:

2

Równania typu hipergeometrycznego

2.1

Klasyfikacja

Nast˛epuj ˛

ace równania stanowi klas˛e równa´n typu hipergeometrycznego.

;

(z)@

2

z

+

(z)@

z

+



u(z) = 0

(2.24)

gdzie

(z) (z)

s ˛

a wielomianami takimi, ˙ze

deg(

)



2

 deg()



1

:

Niech

(z)

spełnia

(

(z)

;

(z) + 

0

(

z)) (z) = 0

(2.25)

(co definiuje

(z)

z dokładno´sci ˛

a do czynnika). Wtedy (2.24) jest równowa˙zne

;

;1

(

z)@

z

(z) (z)@

z

+



u(z) = 0:

(2.26)

Sklasyfikujmy typy (2.24) przy zało˙zeniu

(z)

6

= 0

.

12

Typ 0.0

deg

 = 0

,

deg

 = 0

(równanie ze stałymi współczynnikami).

(

@

2

z

+

c@

z

+

a)u(z) = 0  (z) = e

cz

:

Od tej chwili b˛edziemy upraszczali równania dziel ˛

ac przez stał ˛

a, stosuj ˛

ac translacj˛e i skalowanie.

Typ 0.1

deg

 = 0

,

deg

 = 1

(równanie Hermite’a)

(

@

2

z

;

2

z@

z

+ 2

a)u(z) = 0  (z) = e

;

z

2

:

Typ 1.0a

deg

 = 1

,

deg

 = 0

,

 = 0

(redukuje si˛e do równania 1-go stopnia)

(

z@

2

z

+

c@

z

)

u(z) = 0  (z) = z

c

;1

:

Typ 1.0b

deg

 = 1

,

deg

 = 0

,



6

= 0

(równanie hipergeometric typu

0

F

1

, równowa˙zne równaniu Bessela).

(

z@

2

z

+

c@

z

;

1)

u(z) = 0  (z) = z

c

;1

:

Typ 1.1

deg

 = 1

,

deg

 = 1

, (równanie hipergeometryczne typu

1

F

1

, czyli równanie konfluentne).

(

z@

2

z

+ (

c

;

z)@

z

;

a)u(z) = 0  (z) = e

;

z

z

c

;1

:

Typ 2.1a

deg

 = 2

,

(z)

ma podwójny pierwiastek w

z

0

,

(z

0

) = 0

(“równanie jednorodne” Eulera).

;

z

2

@

2

z

+

bz@

z

+

a

u(z) = 0  (z) = z

b

;2

:

Typ 2.1b

deg

 = 2

,

(z)

ma podwójny pierwiastek w

z

0

,

(z

0

)

6

= 0

(równanie hipergeometryczne typu

2

F

0

równowa˙zne

równaniu konfluentnemu).

;

z

2

@

2

z

+ (1 + (1 +

a + b)z)@

z

+

ab

u(z) = 0  (z) = z

a

+

b

;1

e

;

1

z

Typ 2.2

deg

 = 2

,

(z)

ma 2 ró˙zne pierwiastki (równanie hipergeometryczne typu

2

F

1

, lub po prostu równanie hiperge-

ometryczne).

;

z(1

;

z)@

2

z

+ (

c

;

(

a + b + 1)z)@

z

;

ab

u(z) = 0  (z) = z

c

;1

(1

;

z)

a

+

b

;

c

:

2.2

Rozwi ˛

azania równania typu

0

F

1

(

z@

2

z

+

c@

z

;

1)

u(z) = 0

ma w 0 indeksy

0

,

1

;

c

. Równanie na współczynniki szeregu

a

n

(

n + )(n + 

;

1 +

c) = a

n

;1

:

Rozwi ˛

azania

F(

;



cz) =

P

1

n

=0

1

n

!(

c

)

n

z

n



z

1;

c

F(

;

2

;

cz) =

P

1

n

=0

1

n

!(2;

c

)

n

z

1;

c

+

n

:

13

2.3

Rozwi ˛

azania równania konfluentnego

(

z@

2

z

+ (

c

;

z)@

z

;

a)u(z) = 0

ma w 0 indeksy

0

,

1

;

c

. Równanie na współczynniki szeregu

a

n

(

n + )(n + 

;

1 +

c) = (n + 

;

1 +

a)a

n

;1

:

Rozwi ˛

azania

F(acz) =

P

1

n

=0

(

a

)

n

n

!(

c

)

n

z

n



z

1;

c

F(a

;

c + 12

;

cz) =

P

1

n

=0

(

a

;

c

+1)

n

n

!(2;

c

)

n

z

1;

c

+

n

:

2.4

Rozwi ˛

azania równania hipergeometrycznego

;

z(1

;

z)@

2

z

+ (

c

;

(

a + b + 1)z)@

z

;

ab

u(z) = 0

ma w 0 indeksy

0

,

1

;

c

. Równanie na współczynniki szeregu

a

n

(

n + )(n + 

;

1 +

c) = (n + 

;

1 +

a)(n + 

;

1 +

b)a

n

;1

:

Rozwi ˛

azania

F(abcz) =

P

1

n

=0

(

a

)

n

(

b

)

n

n

!(

c

)

n

z

n



z

1;

c

F(a

;

c + 1b

;

c + 12

;

cz) =

P

1

n

=0

(

a

;

c

+1)

n

(

b

;

c

+1)

n

n

!(2;

c

)

n

z

1;

c

+

n

:

3

Równanie Bessela

3.1

Równanie Bessela i pokrewne równania

Równanie Bessela ma posta´c

(

z

2

@

2

z

+

z@

z

+

z

2

;

m

2

)

v(z) = 0:

W zastosowaniach cz˛esto spotyka si˛e

d

-wymiarowe równanie Bessela:

(

z

2

@

2

z

+ (

d

;

1)

z@

z

+

z

2

;

l(l + d

;

2))

u(z) = 0:

Podstawiaj ˛

ac

u(z) = z

1;

d

2

v(z)

sprowadzamy je do równania Bessela:

(

z

2

@

2

z

+

z@

z

+

z

2

;

(

l +

d

2

;

1)

2

)

v(z) = 0:

Podstawienie do równania Bessela

v(z) = z

m

~

v(z)

prowadzi do równania

(

z@

2

z

+ (1 + 2

m)@

z

+

z)~v(z) = 0:

(3.27)

Podstawienie

v(z) = (

z

2

)

m

u(

;

z

2

4

)

 c = 1 + m t =

;

z

2

4

14

prowadzi do równania typu hipergeometrycznego

(

t@

2

t

+

c@

t

;

1)

u(t) = 0:

Podstawienie

p

zv(z) = w(z)

prowadzi do równania Schrödingera postaci

@

2

z

+ (

1

4

;

m

2

)

1

z

2

+ 1



w(z) = 0:

(3.28)

Bardziej ogólnie: podstawienie

p

tv(t



) =

w(t)

prowadzi do równania Schrödingera postaci

@

2

t

+ (

t



;1

)

2

+ (

1

4

;

m

2



2

)

1

t

2

+ 1



w(t) = 0:

(3.29)

Z tego wynika, ˙ze je´sli

v

1



+1

jest rozwi ˛

azaniem równania Bessela z parametrem

1



+1

, to

u(t) =

p

tv

1



+1



2

 + 2t

1+



2



jest rozwi ˛

azaniem równania

(

@

2

t

+

t



)

u = 0:

3.2

Reprezentacje całkowe rozwi ˛

aza´n równania Bessela

Rozwi ˛

aza´n równania Bessela mo˙zna szuka´c w postaci nast˛epuj ˛

acych całek.

Twierdzenie 3.1 Przedstawienia typu Bessela–Schläfli Niech

b˛edzie konturem (na powierzchni Riemanna

funkcji

t

7!

t

;

m

. Załó˙zmy,˙ze

z

2(t + t

;1

) +

m



exp

z

2(t

;

t

;1

)



1

t

m











(1)



(0)

= 0



(3.30)

Wtedy dla dowolnej stałej

C

C

Z



exp

z

2(t

;

t

;1

)



d

t

t

m

+1

(3.31)

jest rozwi ˛

azaniem równania Bessela.

Dowód. Najpierw stosujemy ró˙zniczkowanie całki po parametrze

z

:

(

z

2

@

2

z

+

z@

z

+

z

2

;

m

2

)

R



exp

;

z

2

(

t

;

t

;1

)

d

t

t

m

+1

=

R



;

z

2

2

;

t

;

t

;1

2

+

z

2

;

t

;

t

;1

+

z

2

;

m

2



exp

;

z

2

(

t

;

t

;1

)

d

t

t

m

+1

:

(3.32)

Z drugiej strony, poniewa˙z całka z pochodnej jest ró˙znic ˛

a warto ´sci funkcji na ko ´ncach konturu, dostajemy

0 =

;

z

2

(

t + t

;1

) +

m

exp

;

z

2

(

t

;

t

;1

)

1

t

m







(1)



(0)

=

R



@

t

;;

z

2

(

t + t

;1

) +

m

exp

;

z

2

(

t

;

t

;1

)

1

t

m

d

t

=

R



;

z

2

2

;

t + t

;1

2

+

z

2

;

t

;

t

;1

;

m

2



exp

;

z

2

(

t

;

t

;1

)

d

t

t

m

+1

:

(3.33)

Łatwo wida´c, ˙ze (3.32) jest równe (3.33).

2

Istnieje te˙z druga nierównowa˙zna klasa reprezentacji całkowych.

15

Twierdzenie 3.2 Przedstawienia typu Poissona Niech

(1

;

t

2

)

m

+

1

2

e

i

zt









(1)



(0)

= 0

:

Wtedy

v(z) = z

m

Z



(1

;

t

2

)

m

;

1

2

e

i

zt

d

t

jest rozwi ˛

azaniem równania Bessela.

Dowód.

(

z

2

@

2

z

+

z@

z

+

z

2

;

m

2

)

v(z)

=

m(m

;

1)

v(z) + 2miz

m

+1

R



(1

;

t

2

)

m

;

1

2

e

i

zt

tdt

;

z

m

+2

R



(1

;

t

2

)

m

;

1

2

e

i

zt

t

2

d

t

+

mv(z) + iz

m

+1

R



(1

;

t

2

)

m

;

1

2

e

i

zt

tdt + (z

2

;

m

2

)

v(z)

= 2i(

m +

1

2

)

z

m

+1

R



(1

;

t

2

)

m

;

1

2

e

i

zt

tdt + z

m

+2

R



(1

;

t

2

)

m

+

1

2

e

i

zt

d

t

=

;

z

m

+1

i

R



@

t

(1

;

t

2

)

m

+

1

2

e

i

zt



d

t = 0

3.3

Funkcja Bessela

Równanie Bessela ma w

0

regularny punkt osobliwy z równaniem wska´znikowym

(

;

1) +



;

m

2

= 0

:

Indeksy równania Bessela w

0

s ˛

a równe





=

m

.

Metoda opisana w Stwierdzeniu 1.15 pozwala na znalezienie rozwi ˛

aza ´n równania Bessela postaci

v(z) =

1

X

k

=0

v

k

z

k

+

m



przynajmniej wtedy, gdy



+

;



;

=

m

;

(

;

m) = 2m

6

=

;

1



;

2

:::

.

Mamy nast˛epuj ˛

ace równanie rekurencyjne na współczynniki

v

k

;

(

m + k)(m + k

;

1) + (

m + k)

;

m

2

+

v

k

;2

= 0

:

Czyli

v

k

=

;

v

k

;2

k(2m + k):

J´sli

m

6

=

;

1



;

2

:::

, to mamy nast˛epuj ˛

ace rozwi ˛

azanie rekurencji:

v

2

n

+1

= 0

 v

2

n

=

(;1)

n

v

0

2

2

n

n

!(

m

+1)

:::

(

m

+

n

)

:

(Je´sli dodatkowo

m

6

=

;

1

2



;

3

2

:::

, to jest to jedyne rozwi ˛

azanie). Tradycyjnie zakładamy, ˙ze

v

0

:=

1

2

m

;(

m

+1)

i

dostajemy

v

2

n

=

(

;

1)

n

2

2

n

+

m

n!;(m + n + 1):

Zauwa˙zmy, ˙ze w ten sposób zdefiniowane

v

k

jest dobrze okre´slone dla ka˙zdego

m

. Prowadzi to do nast˛epuj ˛

acej

definicji.

16

Definicja 3.3 Funkcj ˛

a Bessela

J

m

(

z)

nazywamy

J

m

(

z) =

1

X

n

=0

(

;

1)

n

;

z

2

2

n

+

m

n!;(m + n + 1):

Funkcja Bessela

J

m

jest rozwi ˛

azaniem równania Bessela z parametrem

m

. Zauwa˙zmy, ˙ze

1

;(

m

+1)

6

= 0

dla

m

6

=

;

1



;

2

:::

Dla

2

m

6

=

;

1



;

2

:::

funkcja

J

m

jest jedynym rozwi ˛

azaniem równania Bessela spełniaj ˛

acym

J

m

(

z)



z

2



m

1

;(

m + 1) z



0



co mo˙ze by´c traktowane jako definicja funkcji Bessela. (Przez

f(z)



g(z)

,

z



0

rozumiemy, ˙ze

f

(

z

)

g

(

z

)

jest

analityczne w zerze i równe w zerze

1

Je´sli

m

62

Z

, to funkcje

J

;

m

(

z)

i

J

m

(

z)

s ˛

a liniowo niezale˙zne i rozpinaj ˛

a przestrze ´n rozwi ˛

aza ´n równania

Bessela.

Dla dowolnego

m

mamy nast˛epuj ˛

ac ˛

a reprezentacj˛e całkow ˛

a funkcji Bessela.

Twierdzenie 3.4 Je´sli

Re

z > 0

, to

J

m

(

z) =

1

2



i

R

];1

0

+

;1

exp

;

z

2

(

t

;

t

;1

)

d

t

t

m

+1

=

1

2



i

;

z

2

m

R

];1

0

+

;1

exp

s

;

z

2

4

s



d

s

s

m

+1

:

(3.34)

Dowód. Poniewa˙z

lim

Re

t

!;1

z

2(t + t

;1

) +

m



exp

z

2(t

;

t

;1

)



1

t

m

= 0



zatem spełniony jest warunek (3.30) dla konturu

]

;

1

0

+



;1



i

v(z) = C

Z

];1

0

+

;1

exp

z

2(t

;

t

;1

)



d

t

t

m

+1

jest rozwi ˛

azaniem równania Bessela.

Przez podstawienie

s =

zt

2

dostajemy

v(z) = C

z

2



m

Z

];1

0

+

;1

exp



s

;

z

2

4

s



d

s

s

m

+1

:

Zatem

lim

z

!0

v(z)

z

2



;

m

=

C

Z

];1

0

+

;1

e

s

d

s

s

m

+1

=

C 2i

;(

m + 1):

Czyli je´sli

C =

1

2



i

i

m

6

=

;

1



;

2

:::

, to

v(z) = J

m

(

z):

Na

m =

;

1



;

2

:::

rozszerzamy t˛e równo´s´c przez ci ˛

agło´s´c.

2

Je´sli

0

< argz < 

, to odpowiednim konturem w (3.34) jest

]i

1

0

+

i

1



.

Poprzez wybór odpowiedniego konturu i jego parametryzacji w Twierdzeniu 3.1 dostajemy reprezentacj˛e

Schläfli

J

m

(

z) = 1

Z



0

cos(

z sin

;

m)d

;

1

 sin(m)

Z

1

0

e

;

z

(sh

+

m

)

d

 Rez > 0:

17

Mamy te˙z reprezentacj˛e całkow ˛

a Poissona

J

m

(

z) =

(

z

2

)

m

p



;(

m

+

1

2

)

R

1

;1

(1

;

t

2

)

m

;

1

2

e

i

zt

d

t m >

;

1

2

:

A oto konturowe reprezentacje typu Poissona (pochodz ˛

ace od Hankela):

J

m

(

z) = 1

2

i

p

;(

1

2

;

m)(z2)

m

Z

1

;1

;

1

+

]

(

t

;

1)

m

;

1

2

(

t + 1)

m

;

1

2



J

;

m

(

z) = e

;i

m

1

2

i

p

;(

1

2

;

m)(z2)

m

Z

i1

;1

+

1

+

i1]

(

t

;

1)

m

;

1

2

(

t + 1)

m

;

1

2



Funkcja Bessela i funkcje hipergeometryczne

0

F

1

i

1

F

1

s ˛

a ze sob ˛

a blisko zwi ˛

azane:

J

m

(

z) =

1

;(

m

+1)

(

z

2

)

m

0

F

1

(

;

1 +

m

;

z

2

4

)

=

1

;(

m

+1)

(

z

2

)

m

e

;i

z

1

F

1

(

m +

1

2

2

m + 12iz):

3.4

Funkcje Bessela dla całkowitych parametrów

m

Dla

m

2

Z

funkcje Bessela s ˛

a liniowo zale˙zne, o czym mówi nast˛epuj ˛

ace twierdzenie.

Twierdzenie 3.5

J

m

(

z) = (

;

1)

m

J

;

m

(

z) m

2

Z

:

Dowód. Wystarczy zało˙zy´c, ˙ze

m = 01:::

Mamy wtedy

J

m

(

z) =

P

1

n

=0

(;1)

n

(

z

2

)

2

n

+

m

n

!(

n

+

m

)!

= (

;

1)

m

P

1

n

=0

(;1)

n

+

m

(

z

2

)

2(

n

+

m

);

m

(

n

+

m

)!(

n

+

m

;

m

)!

= (

;

1)

m

P

1

n

=

m

(;1)

n

(

z

2

)

2

n

;

m

n

!(

n

;

m

)!

= (

;

1)

m

P

1

n

=0

(;1)

n

(

z

2

)

2

n

;

m

n

!;(

n

;

m

+1)

=

J

;

m

(

z):

2

Je´sli

m

2

Z

, to funkcja podcałkowa w (3.31) jest jednoznaczna i ma punkt osobliwy w

0

. Wtedy ka˙zdy kontur

zamkni˛ety okr ˛

a˙zaj ˛

acy

0

(na przykład przeciwnie do ruchu wskazówek) spełnia warunek (3.30). Okazuje si˛e, ˙ze

przy odpowiednim wyborze stałej

C

prowadzi on do funkcji

J

m

(

z)

.

Twierdzenie 3.6 Niech

m

2

Z

. Wtedy

J

m

(

z) =

1

2



i

R

0

+

]

exp

;

z

2

(

t

;

t

;1

)

d

t

t

m

+1

=

1

2



i

;

z

2

m

R

0

+

]

exp

s

;

z

2

4

s



d

s

s

m

+1

:

18

Dowód. Twierdzenie to wynika z Twierdzenia 3.4 przez deformacj˛e konturu. Mo˙zna je równie˙z wykaza ´c

niezale˙znie jak nast˛epuje. Wiemy, ˙ze

v(z) = C

Z

0

+

]

exp

z

2(t

;

t

;1

)



d

t

t

m

+1

jest rozwi ˛

azaniem równania Bessela. Przez podstawienie

s =

zt

2

dostajemy

v(z) = C

z

2



m

Z

0

+

]

exp



s

;

z

2

4

s



d

s

s

m

+1

:

Zatem

lim

z

!0

v(z)

z

2



;

m

=

C

Z

0

+

]

e

s

d

s

s

m

+1

=

C 2i

m! :

Czyli je´sli

C =

1

2



i

i

m = 012:::

, to

v(z) = J

m

(

z):

Je´sli podstawimy

w =

;

1

t

to mamy

t

;

t

;1

=

w

;

w

;1

,

d

tt

=

;

d

w

w

i kontur

0

+

]

przechodzi w

0

;

]

. Zatem

R

0

+

]

exp

;

z

2

(

t

;

t

;1

)

d

t

t

m

+1

= (

;

1)

;

m

+1

R

0

;

]

exp

;

z

2

(

w

;

w

;1

)

d

w

w

;

m

+1

= (

;

1)

;

m

R

0

+

]

exp

;

z

2

(

w

;

w

;1

)

d

w

w

;

m

+1

(3.35)

Je´sli

m = 0

;

1



;

2

:::

to wiemy ju˙z, ˙ze prawa strona (3.35) jest równa

(

;

1)

;

m

J

;

m

(

z)

. Bior ˛

ac pod uwag˛e

twierdzenie 3.5 widzimy, ˙ze (3.35) jest równe

J

m

(

z)

. Zatem nasza reprezentacja całkowa jest słuszna równie˙z dla

m =

;

1



;

2

:::

.

2

Wniosek 3.7 Funkcje Bessela dla całkowitych parametrów maj ˛

a nast˛epuj ˛

ac ˛

a funkcj˛e generuj ˛

ac ˛

a:

exp

z

2(t

;

t

;1

)



=

1

X

m

=;1

t

m

J

m

(

z):

Dowód. Funkcja

t

7!

exp

z

2(t

;

t

;1

)



jest holomorficzna w pier´scieniu

Cnf

0

g

i rozwija si˛e w szereg Laurenta.

2

Bior ˛

ac w Twierdzeniu 3.1 jako kontur okr˛eg o promieniu 1 dostajemy wzór Bessela

J

m

(

z) = 1

Z



0

cos(

z sin

;

m)d m

2

Z

:

3.5

Funkcje Hankela

Funkcje Bessela maj ˛

a proste zachowanie blisko zera. Poni˙zej zdefiniujemy par˛e rozwi ˛

aza ´n równania Bessela,

zwan ˛

a funkcjami Hankela, które maj ˛

a, jak si˛e pó´zniej oka˙ze, proste zachowanie w niesko ´nczono´sci. Przy okazji

dostaniemy funkcje, które rozpinaj ˛

a przestrze ´n rozwi ˛

aza ´n równania Bessela równie˙z dla

m

2

Z

.

Definicja 3.8 Funkcje Hankela (dla

Re

z > 0

) s ˛

a zdefiniowane jako

H

(1)

m

(

z) =

;

1

i

Z

];1

(0+10)

;



exp

z

2(t

;

t

;1

)



d

t

t

m

+1



19

H

(2)

m

(

z) = 1i

Z

];1

(0+10)

+



exp

z

2(t

;

t

;1

)



d

t

t

m

+1

Przez

]

;

1

(0 + 1



0)

;



rozumiemy kontur zaczynaj ˛

acy si˛e w

;1

, okr ˛

a˙zaj ˛

acy

0

zgodnie z ruchem wskazówek

i dochodz ˛

acy do zera z kierunku dodatniego. Podobnie, przez

]

;

1

(0 + 1



0)

+



rozumiemy kontur zaczynaj ˛

acy

si˛e w

;1

, okr ˛

a˙zaj ˛

acy

0

przeciwnie do ruchu wskazówek i dochodz ˛

acy do zera z kierunku dodatniego.

Zauwa˙zmy, ˙ze

lim

t

!0+10

z

2(t + t

;1

) +

m



exp

z

2(t

;

t

;1

)



1

t

m

= 0



gdzie przez

t

!

0 + 1



0

oznaczamy zbieganie do zera poprzez dodatnie warto ´sci

t

(czasem oznacza si˛e to przez

t

!

0

+

). Zatem kontury

]

;

1

(0 + 1



0)

+



i

]

;

1

(0 + 1



0)

;



spełniaj ˛

a warunek (3.30). Zatem funkcje

Hankela s ˛

a rozwi ˛

azaniami równania Bessela.

Je´sli

0

< argz < 

, to dobrym konturem w definicji funkcji

H

(1)

m

jest

i

1

0]

. Je´sli

;

 < arg < 0

, to dla

H

(2)

m

mo˙zna u˙zy´c konturu



;

i

1

0]

.

Twierdzenie 3.9 Mamy nast˛epuj ˛

ace to˙zsamo´sci:

H

(1)

;

m

(

z) = e

m

i

H

(1)

m

(

z)

H

(2)

;

m

(

z) = e

;

m

i

H

(2)

m

(

z)

J

m

(

z) =

1

2

H

(1)

m

(

z) + H

(2)

m

(

z)





J

;

m

(

z) =

1

2

e

m

i

H

(1)

m

(

z) + e

;

m

i

H

(2)

m

(

z)





H

(1)

m

(

z) =

ie

;

m

i

J

m

(

z

);i

J

;

m

(

z

)

sin

m



H

(2)

m

(

z) =

;ie

m

i

J

m

(

z

)+i

J

;

m

(

z

)

sin

m

:

Dowód. Aby pokaza´c pierwsz ˛

a i drug ˛

a to˙zsamo´s´c stosujemy podstawienie

t =

;

1

s

. Rozwa˙zmy na przykład

drugi wzór. Klasa krzywych

]

;

1

(0+1



0)

+

]

mo˙ze by´c reprezentowana przez łaman ˛

a

]

;

1



;

1]



f;

ie

i





2



;



2





2

]

g



1

0]

. Po zastosowaniu zamiany zmiennych

w =

;

1

t

łamana ta przechodzi w siebie ze zmian ˛

a

orientacji. Dalej:

t

;

t

;1

=

w

;

w

;1

,

t

;1

d

t =

;

w

;1

d

w

,

t

;1

= (

;

1)

;

m

w

;

m

= e

i

m

w

m

. (Pami˛etajmy,

˙ze zamiana zmiennych zachowuje doln ˛

a półpłaszczyzn˛e, w której znajduje si˛e krzywa).

Łatwo przekonamy si˛e, ˙ze deformuj ˛

ac

]

;

1

(0 + 1



0)

+





](0 + 1



0)

+



;1



dostaniemy

]

;

1

0

+



;1



. To implikuje trzeci ˛

a to˙zsamo´s´c.

To˙zsamo´sci czwarta, pi ˛

ata i szósta wynikaj ˛

a natychmiast z pierwszych trzech.

2

Twierdzenie 3.10 Po obej´sciu punktu

0

dostajemy

J

m

(e

i2



z) = e

i

m

2



J

m

(

z)

H

(1)

m

(e

i



z) =

;

e

;i

m

2



H

(2)

m

(

z)

H

(2)

m

(e

i



z) =

;

e

i

m

2



H

(1)

m

(

z):

20

Drugi wzór wynika z pierwszego:

H

(1)

m

(e

i



z) = ie

;

m

i



J

m

(e

i



z)

;

i

J

;

m

(e

i



z)

sin

m

= iJ

m

(

z)

;

ie

;i

m

J

;

m

(

z)

sin

m

=

;

e

;i

m

H

(2)

m

(

z):

Mo˙zna go te˙z dowie´s´c przez zamian˛e zmiennych

w =

;

t

w reprezentacji całkowej.

2

Twierdzenie 3.11 Mamy nast˛epuj ˛

ace wzory asymptotyczne słuszne dla

;

 +  < argz < 2

;



,

 > 0

:

lim

z

!1

H

(1)

m

(

z)

;

2

z

1

2

e

i

z

e

;

i

m

2

;

i



4

= 1



lim

z

!1

H

(2)

m

(

z)

;

2

z

1

2

e

;i

z

e

i

m

2

+

i



4

= 1

:

Dowód. Mamy

H

(1)

m

(

z) =

;

1

i

Z

];1

(0+10)

;



e



(

t

)

d

t

t

m

+1



gdzie

(t) =

z

2

(

t

;

t

;1

)





0

(

t) =

z

2

(1 +

t

;2

)





00

(

t) =

;

zt

;3

:

Punkty stacjonarne

(t)

s ˛

a dla

t



=

i

. Mamy

(

i) =

zi 

00

(

i) =



zi:

Mo˙zemy wybra´c kontur dla

H

(1)

tak, ˙zeby przechodził przez

t

+

= i

, i prócz

t = t

+

mie´c

Re

(t)

;

(t

+

) =

Re

z

2

(

t

;

i

)

2

t

< 0

. Dostajemy wtedy

H

(1)

m

(

z)



;

1



i

e



(

i

)

i

m

+1

R

1

;1

e

1

2



00

(

i

)(

t

;

i

)

2

d

t

=

;

1



i

e

i

z

e

i

(

m

+1)



slash

2

q

2



i

z

=

;

2

z

1

2

e

i

z

e

;

i

m

2

;

i



4

:

(Je´sli

0

< argz < 

, to jako ten kontur mo˙zna wzi ˛

a ´c

0



1



; je´sli

;

 < argz < 0

, to

0



;

i]



f

e

i



 : 

2



;



2



;

5



2

]

g





;

i



;

i

1



, je´sli

 < argz < 2

, to

0



;

i]



f

e

i



 : 

2



;



2



3



2

]

g





;

i



;

i

1



.

2

Wybór odpowiednich konturów prowadzi do reprezentacji

H

(1)

m

(

z) =

;

ie

;

i

m

2



R

1

;1

e

i

z

c

h

t

;

mt

d

t 0 < argz < 

H

(2)

m

(

z) =

2ie

i

m

2



R

1

0

e

i

z

c

h

t

ch(

mt

;

i

m)dt

;

i

R



0

e

;i

z

cos

t

cos

mtdt



 0 < argz < 

H

(1)

m

(

z) =

;

2ie

;i

m

2



R

1

0

e

;i

z

c

h

t

ch(

mt + im)dt + i

R



0

e

i

z

cos

t

cos

mtdt





;

 < argz < 0

H

(2)

m

(

z) =

ie

i

m

2



R

1

;1

e

;i

z

c

h

t

;

mt

d

t

;

 < argz < 0

Oto reprezentacje konturowe typu Poissona:

H

(1)

m

(

z) = ;(

1

2

;

m)

i

p

 (

z

2)

m

Z

]i1

1

+

i1

e

i

zt

(

t

;

1)

m

;

1

2

(

t + 1)

m

;

1

2

d

t

21

H

(2)

m

(

z) = ;(

1

2

;

m)

i

p

 (

z

2)

m

Z

]i1

;1

;

i1

e

i

zt

(

t

;

1)

m

;

1

2

(

t + 1)

m

;

1

2

d

t

Mamy te˙z reprezentacje typu Poissona prawdziwe je´sli

m



;

1

2

.

H

(1)

m

(

z) =

;

2

p

;(m +

1

2

)(

z

2)

m

Z

]1

i1

e

i

zt

(1

;

t

2

)

m

;

1

2

d

t

H

(2)

m

(

z) =

2

p

;(m +

1

2

)(

z

2)

m

Z

];1

i1

e

i

zt

(1

;

t

2

)

m

;

1

2

d

t

Przez wybór odpowiedniego konturu dostaniemy

H

(1)

m

(

z) =

q

2



z

m

e

i(

z

;

m

2

;



4

)

;(

m

+

1

2

)

R

1

0

e

;

zt

t

m

;

1

2

(1 +

i

t

2

)

m

;

1

2

d

t

H

(2)

m

(

z) =

q

2



z

m

e

;i(

z

;

m

2

;



4

)

;(

m

+

1

2

)

R

1

0

e

;

zt

t

m

;

1

2

(1

;

i

t

2

)

m

;

1

2

d

t:

3.6

Dodatkowe reprezentacje całkowe

Przyjmujemy konwencj˛e, ˙ze

lim

u

!1

p

1 +

u

2

u = 1

(3.36)

co ustala gał ˛

a´z funkcji

u

7!

p

1 +

u

2

na

Cn



;

i

i]

.

Rozwa˙zmy odwzorowanie

Cnf

0

g

3

t

7!

u(t) = 12(t

;

t

;1

)

:

(3.37)

Podzielmy

Cnf

0

g

na 3 sektory:



+

:=

f

t

2

C

:

j

t

j

> 1

g





0

:=

f

t

2

C

:

j

t

j

= 1

g





;

:=

f

t

2

C

:

j

t

j

< 1

g

:

Obrazem



+

i



;

wzgl˛edem funkcji (3.37) jest

Cn



;

i

i]

. Obrazem



0

jest



;

i

i]

. Mamy w szczególno´sci

u(

;

1) =

u(1) = 0

,

u(

;

i) =

;

i

i

u(i) = i

.

Funkcja odwrotna

u

7!

t(u)

jest wieloznaczna. Wyró˙znimy w niej dwie jednoznaczne gał˛ezie

Cn



;

i

i]

3

u

7!

t

+

(

u) = u +

p

1 +

u

2

2



+



Cn



;

i

i]

3

u

7!

t

;

(

u) = u

;

p

1 +

u

2

2



;



(pami˛etajmy o konwencji (3.36)).

Poni˙zej omówimy reprezentacje całkowe które otrzymujemy z reprezentacji typu Bessela-Schläfli po zastoso-

waniu zamiany zmiennych

t

7!

u(t)

.

Twierdzenie 3.12 Je´sli

Re

z > 0

, to

J

m

(

z) =

1

2



i

R

;1

;i

+

i

+

;1]

e

zu

d

u

p

1+

u

2

(

u

+

p

1+

u

2

)

m

22

Dowód. Stosujemy zamian˛e zmiennych

t

7!

u(t)

omówion ˛

a w dowodzie nast˛epnego twierdzenia(Tw. 3.6). Wtedy kontur

]

;

1



;

i]



f

e

i



:



2



;



2



2]

g





i

1





b˛ed ˛

acy przykładem konturu typu

]

;

1

0

+



;1



przechodzi w kontur

]

;

1



;

i

+

i

+



;1



:

Zauwa˙zmy przy tym, ˙ze osobliwo´s´c funkcji podcałkowej w

i

jest całkowalna.

2

Twierdzenie 3.13 Niech

m

2

Z

. Wtedy

J

m

(

z) =

1

2

i

R

;i

i

+

;i

+

]

e

zu

d

u

p

1+

u

2

(

u

+

p

1+

u

2

)

m

=

1

2



i

R

;i

i

+

;i

+

]

e

zu

d

u

p

1+

u

2

(

u

;

p

1+

u

2

)

m

:

Dowód. Dla dowolnego

r > 0

mamy

J

m

(

z) = 1

2

i

Z

@K

(0

r

)

exp

z

2(t

;

t

;1

)



d

t

t

m

+1

Je´sli

r > 1

, to

@K(0r)





+

. Zamiana zmiennych

t

7!

u(t)

prowadzi od konturu

@K(0r)

do konturu typu



;

i

i

+



;

i

+

]

. Poza tym, dla

t

2



+

mamy

d

u

d

t =

u +

p

1 +

u

2

p

1 +

u

2

:

St ˛

ad prawdziwa jest pierwsza reprezentacja całkowa.

Je´sli

1

> r > 0

, to

@K(0r)





;

. Zamiana zmiennych

t

7!

u(t)

prowadzi od konturu

@K(0r)

do konturu

typu



;

i

i

;



;

i

;

]

. Poza tym, dla

t

2



;

mamy

d

u

d

t =

u

;

p

1 +

u

2

;

p

1 +

u

2

:

Zamiana konturu



;

i

i

;



;

i

;

]

na



;

i

i

+



;

i

+

]

wprowadza dodatkowy znak minus. St ˛

ad prawdziwa jest druga

reprezentacja całkowa.

2

Podajmy jeszcze dodatkowe reprezentacje funkcji Hankela.

Twierdzenie 3.14

H

(1)

m

=

1



i

R

;1

i

+

;1]

e

zu

d

u

p

1+

u

2

(

u

+

p

1+

u

2

)

m

=

1



i

R

;1

i

;

;1]

e

zu

d

u

p

1+

u

2

(

u

+

p

1+

u

2

)

m

=

1



i

R

;1

i]

e

zu

d

u

p

1+

u

2

(

u

+

p

1+

u

2

)

m

+

1



i

R

;1

i]

e

zu

d

u

p

1+

u

2

(

u

;

p

1+

u

2

)

m



H

(2)

m

=

;

1



i

R

;1

;i

+

;1]

e

zu

d

u

p

1+

u

2

(

u

+

p

1+

u

2

)

m

=

;

1



i

R

;1

;i

;

;1]

e

zu

d

u

p

1+

u

2

(

u

+

p

1+

u

2

)

m

=

;

1



i

R

;1

;i]

e

zu

d

u

p

1+

u

2

(

u

+

p

1+

u

2

)

m

;

1



i

R

;1

;i]

e

zu

d

u

p

1+

u

2

(

u

;

p

1+

u

2

)

m

23